一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第二課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容一元線性回歸模型的應(yīng)用.二、教學(xué)目標(biāo)1.能通過具體實(shí)例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.2.通過對(duì)具體問題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3.能通過實(shí)例說明決定系數(shù)的意義和作用，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：一元線性回歸模型的修改，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，決定系數(shù)的意義和作用.難點(diǎn):運(yùn)用合適的變換將非線性相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題，決定系數(shù)的理解.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.復(fù)習(xí)回顧例經(jīng)驗(yàn)表明,對(duì)于同一樹種,一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大,樹就越高.由于測(cè)量樹高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí),某林場(chǎng)收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.表1師生活動(dòng)：學(xué)生自主解決問題，教師對(duì)有困難的學(xué)生加以適當(dāng)引導(dǎo).設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)回顧，檢查學(xué)生對(duì)一元線性回歸模型掌握的情況，并由此歸納求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的一般步驟.2.案例分析問題1：人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95師生活動(dòng)：要求學(xué)生按照例題中建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟求解.設(shè)計(jì)意圖：通過具體案例鞏固求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的具體步驟，為進(jìn)一步探求回歸分析過程中存在的問題和改進(jìn)的方法作準(zhǔn)備.追問1：從圖中可以看到，經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎?師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察各散點(diǎn)的分布特征，分析經(jīng)驗(yàn)回歸方程的不足.進(jìn)而教師加以總結(jié)：從圖上看，第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方，這說明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)具體實(shí)例，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.8559，散點(diǎn)的分布也近乎呈線性分布，也可以利用最小二乘法求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，但用直線方程進(jìn)行擬合可能不是描述這個(gè)問題的最好方法.追問2：你能對(duì)模型進(jìn)行修改,以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近，教師要求學(xué)生回顧已有的函數(shù)知識(shí)，找出符合散點(diǎn)圖的函數(shù)模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象具有類似的特征.教師適時(shí)指出，注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年,因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1,c2為未知參數(shù)，且c2<0.設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)在實(shí)際問題中除直線模型外，還可以有其他曲線模型，能夠更好地體現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的分布特征.問題2：你能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸模型y=c1+c2ln(t-1895)轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，從而求出非線性的回歸方程嗎？師生活動(dòng)：觀察非線性回歸模型中方程的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過適當(dāng)?shù)拇鷵Q，可轉(zhuǎn)化為線性方程.令x=ln(t-1895)，則Y=c2x+c1，這是一元線性回歸模型.接著，師生共同求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，從而得到回歸方程.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)經(jīng)過適當(dāng)?shù)拇鷵Q將某些非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題的過程與方法.問題3：對(duì)于通過創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程：和，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？師生活動(dòng)：組織學(xué)生討論，如何比較兩個(gè)回歸方程的優(yōu)劣，引導(dǎo)學(xué)生得出以擬合的精度作為標(biāo)準(zhǔn)來判斷回歸方程的優(yōu)劣，由此可以產(chǎn)生以下幾種方法：(1)直接觀察法.在同一坐標(biāo)系中畫出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程的圖象(紅色).我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非常靠近非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的圖象，表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于直線回歸方程.（2）殘差分析法:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.經(jīng)計(jì)算，Q2明顯小于Q1，說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.（3）利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果.決定系數(shù)，其中總偏差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)，因此R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.顯然0≤R2≤1，所以R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.方程①和②的R2分別為0.7325和0.9983，可見②的刻畫效果比①好很多.設(shè)計(jì)意圖：通過此問題解決兩個(gè)回歸模型優(yōu)度的判別，主要是引入決定系數(shù)R2衡量回歸模型擬合的優(yōu)劣，這是回歸模型有效性檢驗(yàn)的重要指標(biāo).3.歸納總結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問題：（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請(qǐng)你總結(jié)使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意哪些問題？（2）解決非線性回歸問題的步驟是什么？（3）如何判斷回歸模型的有效性？師生活