內(nèi)蒙古鄂爾多斯市重點中學2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．53．盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，4．若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．5．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．6．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．7．（）A． B． C． D．8．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A． B． C．7 D．29．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．11．的展開式中，項的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．6312．若,,,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.14．在中，點在邊上，且，設(shè)，，則________（用，表示）15．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.16．如果拋物線上一點到準線的距離是6，那么______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.18．（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.20．（12分）如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，，，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實線部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；求當為何值時，棧道總長度最短.21．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．22．（10分）已知，，設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，在上為減函數(shù).A選項，的定義域為，在上為增函數(shù)，不符合.B選項，的定義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數(shù)，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學期望，由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球，所以.表示取出一個黑球，，所以.表示取出兩個球，其中一黑一白，，表示取出兩個球為黑球，，表示取出兩個球為白球，，所以.所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望的計算，屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為，令，利用導數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值．【詳解】因為不等式有正整數(shù)解，所以，于是轉(zhuǎn)化為，顯然不是不等式的解，當時，，所以可變形為．令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當時，，故，解得．故選：A．【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導數(shù)的應(yīng)用等，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．5、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長，由此求得邊上的高.【詳解】過作，交的延長線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.6、A【解析】

先利用向量坐標運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標運算和向量投影的概念，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.7、B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】．故選B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．8、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果．【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時.【詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【點睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡單題目.11、B【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出，則出，該項為：；②出，則出，該項為：；③出，則出，該項為：；綜上所述：合并后的項的系數(shù)為17.故選：B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應(yīng)用意識.12、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.14、【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結(jié)果．【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化．15、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.16、【解析】

先求出拋物線的準線方程，然后根據(jù)點到準線的距離為6，列出，直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準線方程為，由題意得，解得.∵點在拋物線上，∴，∴，故答案為：.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，在中，，，，、、、，設(shè)平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設(shè)平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.19、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設(shè)，，當時，，即可求得答案.【詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設(shè)，，當時，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當時，對任意恒成立，即當時，對任意恒成立.【點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.20、，；當時，棧道總長度最短.【解析】

連，，由切線長定理知：，，，，即，，則，，進而確定的取值范圍；根據(jù)求導得，利用增減性算出，進而求得取值.【詳解】解：連，，由切線長定理知：，，，又，，故，則劣弧的長為，因此，優(yōu)弧的長為，又，故，，即，，所以，，，則；，，其中，，-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時，所以當時，棧道總長度最短.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)當中的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據(jù)中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設(shè)線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h?，當且僅當9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以S△ABC的最大值為．【點睛】此題考查根據(jù)焦點和準線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)