第四章

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

4.1變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

套核心素養(yǎng)概說（教師獨具內(nèi)容）

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想

及其內(nèi)涵.

2.通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3,能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函

數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4.重點提升數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

考試要求（教師獨具內(nèi)容）

本考點以考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算為主，而與切線有關(guān)的問

題是高考的熱點.預(yù)計導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用仍是2023年高考考查的重點內(nèi)

容.

您核心知識導(dǎo)圖（教師獨具內(nèi)容）

怒5年考頻統(tǒng)計(教師獨具內(nèi)容)

5年考情

考點分值題型難度核心素養(yǎng)

考題示例考向關(guān)聯(lián)考點

2021全國甲卷?理13

基本初等函數(shù)的

2020全國I卷，理6.文15

導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的幾2019全國I卷.理13選擇題數(shù)學(xué)運算

求切線方程的四則運算法5易

何意義2019全國n卷,文10填空題邏輯推理

則、函數(shù)的奇

2018全國1卷.理5.文6

偶性

2018全國II卷?理13,文13

導(dǎo)數(shù)幾何2021新高考I卷,7求參數(shù)的基本初等函數(shù)的

選擇題數(shù)學(xué)運算

意義的應(yīng)2019全國HI卷,理6,文7值或范圍、導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)5易

填空題邏輯推理

用2018全國［fl卷.理14比較大小的四則運算法則

導(dǎo)數(shù)的四則基本初等函數(shù)的數(shù)學(xué)運算

導(dǎo)數(shù)的運算2020全國山卷，文155填空題中

運算法則導(dǎo)數(shù)公式邏輯推理

心基礎(chǔ)知識過關(guān)

O知識梳理

1.導(dǎo)數(shù)的概念

AyAyf(xo+Ax)-f(xo)

(1)平均變化率：我們把比值＜，即(=/一X一=叫做函數(shù)y

=兀0從X0到X0+At的平均變化率.

Ay

(2)瞬時變化率:如果當(dāng)以fO時，平均變化率丁無限趨近于一個國確定的值，

即/有極限，貝稱y=/W在x=xo處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做了=於)在％=

工。處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作了(刀。)或yk-o,即

八網(wǎng))=礴竽=圓?--+^)/5).

△x-?0AJ*a—o

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線段)的割線PoP,其中曲(孫兀砌,P(x,?),則割線尸0尸的斜率是左

f(%)-f(xo)

=-------：------,記Ax=x-xo,當(dāng)點尸沿著曲線y=Ax)無限趨近于點Po時，

X—X0

即當(dāng)Ax-0時，左無限趨近于函數(shù)y=Hx)在x=xo處的導(dǎo)數(shù).因此，函數(shù)y=/(x)

在x=xo處的導(dǎo)數(shù)/(xo)就是切線PoT的斜率ko,即ko=

而]./（0+^^一/（見），

丹巴△工T5）.

3.導(dǎo)函數(shù)的概念

當(dāng)x=xo時，/（X0）是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時，y=回片x）就

是x的函數(shù)，我們稱它為丁=?。┑膶?dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）"於）的導(dǎo)函數(shù)有時也記作

y,即「（x）=y=…△]—

4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

於）=c（c為常數(shù)）rw=o

/(%)=Q,且aWO)f(x)-回8十一1

fix)=sinxf(x)=四COSX

火x)=cosXf'(x)=@-sinx

fix)=ax(a>0,且1)f(x)-因〃%Ina

1X)=e"f(%)=因e%

f(x)=logax(a>0,且〃W1)/(x)=Bf

力>)=InXf?=B|

5.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(1)\Ax)±g(x)]'=回[(x)土短(x)；

(2)[/(x)g(x)[=園；

6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴一般地，對于兩個函數(shù)了=火口和1/=8（%）,如果通過中間變量M,y可以表

示成X的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=/（M）和M=g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作叫

以⑺）.

(2)一般地，對于由函數(shù)y=_A")和M=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=#g(x)),它的導(dǎo)

數(shù)與函數(shù)a=a(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為管y[=y',M'工,即'對了的導(dǎo)數(shù)

等于y對"的導(dǎo)數(shù)與M對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

7.常用結(jié)論

(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是

周期函數(shù).

(2)熟記以下結(jié)論：①⑶=-2；②就''=一日備吊如產(chǎn)°)；

?[af{x)±bg(x)]'=af(x)±bg\x).

色課前自我鑒定

1.若函數(shù)人x)=2f-1的圖象上一點(1,1)及鄰近一點(1+Ax,1+Ay),則

Ay

展等于()

A.4B.4%

C.4+2ArD.4+2(Ax)2

答案C

解析因為Ay=[2(1+—)2一i]—i=23)2+4?,所以寺=4+2AX

2.已知函數(shù)為0的圖象如圖，/㈤是/)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確

的是()

A.0</(2)</(3)<X3)-X2)

B.0</(3)</(2)<^3)-/2)

C.0</(3)</3)-/2)</(2)

D.0</3)-/2)</(2)</(3)

答案C

f(3)-f(2)

解析人3)-八2)可寫為----------,表示過點(2,火2)),(3,汽3))的直線

3-乙

的斜率，/'(2),/'(3)分別表示曲線外)在點(2,次2)),(3,13))處切線的斜率，

設(shè)過點(2,/2)),(3,43))的直線為m,曲線在點(2,汽2)),(3,汽3))處的切線分

別為/,n,畫出它們的圖象，如圖.由圖可知0<%,<&<松故0</(3)<火3)

-/2)</(2).

3.若函數(shù)於廣3-町0-/),且片-1)=0,貝卜等于()

A.0B.-1C.1D.2

答案C

解析依題意得，/'(X)=2X(X—)+(X2_4)=3X2—2及-4,所以了(-1)=3

+2t—4=0,即1=1.

4.曲線五幻二好-》在點(-1,八-1))處的切線方程為()

A.2x+y+2=0B.2%+>-2=0

C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0

答案C

解析v?=x3-x,則/(%)=3/一1,(-1)=2,--1)=0,曲線y=

加)在點(-1,八-1))處的切線方程為y=2(x+l),即2x-y+2=0.

5.如圖，函數(shù)y=Hx)的圖象在點P處的切線方程是y=-工+8,則15)+了(5)

答案2

解析切線的斜率1=了(5)=—1,45)=-5+8=3,所以汽5)+片5)=3-1

=2.

色真題賞析

1.(2021.新高考I卷)若過點(a,。)可以作曲線y=e，的兩條切線，貝女)

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ca

答案D

解析解法一：設(shè)切點為(xo,yo),yo>O,則切線方程為y-6=exo(x-a),

yo-b=eA'o(%o-a),

由，得eYo(l-xo+a)=b,則由題意知關(guān)于xo的方程

yo=eAo,

e*o(l-xo+a)=6有兩個不同的解.設(shè)火工)=式1-x+a),則/(x)=e%l-x+a)-

xx

e=-c(x-a),由/(x)=0得x=a,所以當(dāng)x<a時，f(x)>0,1Ax)單調(diào)遞增，當(dāng)

x>a時，/(尤)<0,兀0單調(diào)遞減,所以兀v)max=y(a)=e"(l-a+a)=e。，當(dāng)尤<a時,

a-x>0,所以人x)>0,當(dāng)％-—8時，1》)一0,當(dāng)》一+8時，八%)一—8,函數(shù)

火》)=叭1-x+a)的大致圖象如圖所示，因為火x)的圖象與直線y=6有兩個交點，

所以0<0<e。.故選D.

解法二：過點(。，。)可以作曲線y=e、的兩條切線，則點(凡。)在曲線y=ex

的下方且在x軸的上方，得0<6<e。.故選D.

2.(2020?全國I卷)函數(shù)?=X4-2X3的圖象在點(1,火1))處的切線方程為

A.y=-2x-lB.y=-2x+1

C.y=2x-3D.y=2x+1

答案B

解析VXX)=X4-2X3,：.f(X)=4^3-6X2,(l)=-2,/.

所求切線的方程為y+l=-2(X-1),即丁=-2x+l.故選B.

3.(2019?全國III卷)已知曲線丁=。股+兀也%在點(1,ae)處的切線方程為丁=

2x+b,則()

A.a=c,b=—1B.a=e,b=1

C.=e-1,b=1D.(2=e-1,b=-1

答案D

fxr

解析y=ae+Inx+1,k=y\x=i=tze+1,

二切線方程為y-〃e=(〃e+l)(x-1),

即y=(〃e+l)x-1.

又切線方程為y=2x+b,

〃e+1=2,

「Ii即〃=匕-1,6=-1.故選口.

[b=-1,

2x-1

4.(2021.全國甲卷)曲線丁二一■在點(-1,-3)處的切線方程為.

xi乙

答案5x-y+2=0

2(x+2)-(2x-1)52x-l

解析因為廣--------=BP，所以曲線y=77T在

點(-1,-3)處的切線的斜率左=5,故所求切線方程為y+3=5(x+l),即5x-y

+2=0.

5.(2020.全國HI卷)設(shè)函數(shù)/)=號.若/(1)=會見|。=

JCtCL'

答案1

ex(x+a)-exe*(%+〃-1),tzee

解析f(x)(x+a)2-(x+〃)2'則/⑴=(a+1)2=W整理

可得a2-2a+1=0,解得a-\.

E核心素養(yǎng)例析

一、基礎(chǔ)知識鞏固

考點■導(dǎo)數(shù)的運算

例1?=x（2021+lnx）,若了（xo）=2O22,則xo等于（）

A.e2B.1C.In2D.e

答案B

解析故由得

f(x)=2021+ln%+x-X-=2022+Inx,/(xo)=2022,2022+Inxo

-2022,則In%o=0,解得xo=1.

例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

]cosX(兀、(兀、

(l)y=^sinx；(2)y=lnx+j(3)y=~-r；(4)y=xsin(2x+]Jcos(2x+

解(1)/=(x2)rsinx+/(sinx)'=2xsinx+/cosx.

(2)”(lnx+?=(ln無)，+(%)]

(cos心(cosx)rex-cosx(ex)'sinx+cosx

◎)y='=(e_2=~-

(7l\兀)

(4).)；=xsin\2x+2)cosI2x+I

?〃、

=~1^xsin(4x+兀)=一1那si?n44x,

.,,y'=-]sin4x-/4cos4x=-]sin4x-2xcos4x.

「追蹤練習(xí)，1.（多選）已知函數(shù)於）在X=1處的導(dǎo)數(shù)為-3,貝於）的解析式

可能為()

A.f(x)=-%2+ginx

B.火%)=xex

C.火犬)=sin(2%+

D./x)=1+Vx

答案AD

解析A中/(x)=(—*+x+(1)=—1+3=-g；B中了(x)

=(xe7=eA+xe\f(l)=2e;C中9(x)=sin"x+抑=2cos"x+?,f(D

2+§力-^；D中了（九）

=2cos

選AD.

2

2.(2021?贛州模擬)已知函數(shù)八x)=^"^+f02i+sinx(xGR),則人2021)

+火-2021)+f(2021)-/(-2021)的值為

答案2

-2X202Pin2021…

解析由題意，得了(x)=-(202^+1)2+2021*2。+?os],f(-x)=

2X202IF20212X202Pin2021

+2021(-x)2020+cos(-x)=-+2021X2020+

(202「'+1)2(202P+1)2

2

cosx=/(x),：.f(x)是偶函數(shù)，(x)-/(一X)=0,又火為+八一x)=2021r+1+

r+￥22021

X~021+SinX+2021-^+1+(-X)2021+sin(一無)=2021+12021+1="--^)

+火-2021)+f(2021)-/(-2021)=2.

【方法點撥I1

1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則

先化簡解析式，再求導(dǎo).

2.常見形式及具體求導(dǎo)的六種方法

連乘形式先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)

三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)

分式形式先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)

根式形式先化為分數(shù)指數(shù)屬的形式，再求導(dǎo)

對數(shù)形式先化為和、差形式，再求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元

考點2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象

例3（2021?江蘇金湖高三期中）已知函數(shù)尸危）的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函

數(shù)的圖象大致形狀為（）

答案A

解析由兀Y）的圖象可知，函數(shù)Hx）單調(diào)遞增，速度先由快到慢，再由慢到

快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，fQ）先減后增，且恒大于等于0,故符合題意的

只有A.故選A.

例4（2022.北京清華附中高三月考）已知函數(shù)y=_/（x）的圖象如圖所示/（x）

是函數(shù)於）的導(dǎo)函數(shù)，記。="（2）,b=2f（4）,c=/4）-^2）,見|a,b,。數(shù)值

排序正確的是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.a<c<b

答案D

f(4)-f(2)

解析結(jié)合圖象，知kh=f(2),kh=----「----，kh=/(4),f

*4-Z

f(4)-f(2)

(2)<L-------寸(4),故)(2)勺(4)一人2)<?(4),即a<c<。.故選D.

-Z

追蹤練習(xí)，3.函數(shù)人x）的圖象如圖所示，貝1（)

A/⑴次2討(3)

B.f(2)>/(1)>/(3)

C./⑶決2)必)

D.f(3)>^(1)>/(2)

答案C

解析由函數(shù)的圖象可知，曲線在點A（由加））,8（2,42））,C（3,解3））處切

線的斜率大小關(guān)系為kc>kB>kA,故了（3問（2討⑴.

4.(2021.湖北孝感模擬)如圖，函數(shù)y=/(x)在x=2處的切線過點(4,0)和(0,

-2),則/(2)-/2)的值為(

3

2

答案C

解析因為函數(shù)在x=2處的切線過點(4,0)和(0,-2),所以切線的

0+2111

斜率為左=/(2)=口=],切線方程為丁一0=手工-4),即丁=呼一2,所以12)

=|x2-2=-1,則/(2)_八2)=(+1=1?故選?.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，已知切點4次，人xo))求

斜率k,即求該點處的導(dǎo)數(shù)值左=/(xo).函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情

況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點附近的變化情況.

考點3求切線方程

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A

處的切線經(jīng)過點(-e,-l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標(biāo)是.

答案(e,1)

解析設(shè)〃)，則曲線y=lnx在點A處的切線方程為丁-〃=5(％-機).

又切線過點(一e,-1),所以有-1一“=%-e-"z).再由"=lnm,解得加=

e,〃=1.故點A的坐標(biāo)為(e,1).

例6已知曲線人x)=必-x,則曲線在點(1,0)處的切線方程

為,曲線過點(1,0)的切線方程為.

答案2x-y-2=02%-y-2=0或x+4y-l=0

解析了(x)=3f-1.曲線在點(1,0)處切線的斜率為k=f⑴=2,所以所求

3

切線方程為y=2(x-1),即2x-y—2=0.設(shè)切點為P(xo,xo-xo),貝k切=/(xo)

=3xo-l,所以所求切線方程為y-第+xo=(3云-l)(x-xo),又切線過點(1,0),

所以一京+刈=(3云-1)(1一xo),所以(xo-1)2(2XO+1)=O,解得刈=1或-g.故所

求切線方程為y=2(x_1)或y_|=+即2x—y—2=0或x+4y—1=0.

,追蹤練習(xí)」5.(2021.深圳模擬)已知火x)=xIn(x—1),則曲線y=?？谠邳c(2,

火2))處的切線方程是.

答案y=2x-4

X2

解析由題意知，/'Q)=ln(x-1)+—所以/(2)=ln(2-1)+丁一r=2,

X—LZ—1

火2)=21n(2-l)=0,則在點(2,汽2))處的切線方程為y=2(x-2),即y=2x-4.

6.設(shè)aGR,函數(shù)Hx)=ex+《的導(dǎo)函數(shù)是/'(x),且Ax)是奇函數(shù).若曲線

3

y=7(x)的一條切線的斜率是則切點的橫坐標(biāo)為.

答案In2

解析函數(shù)於)=&"+*］導(dǎo)函數(shù)是又因為人力是奇函數(shù)，所以

f(x)=m即eX—S=—(e-x—a?),則e%l-a)=e-、(a-1),所以e2」+1)(1

1131

-a)=0,解得。=1.所以/(%)=^-晟.令e*-最=],解得e?2或e'=-1(舍去),

所以x=ln2.

.方法點撥與切線有關(guān)的問題的處理策略

(1)已知切點A(xo,泗)求斜率左，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值左=/(xo).

(2)已知斜率左，求切點A(xi,加1)),即解方程了(H)=左

(3)若已知曲線y=/(x)過點P(xo,刈)，求曲線過點P的切線方程，則需分點

P(xo,*)是切點和不是切點兩種情況求解.

①當(dāng)點P(xo,yo)是切點時，切線方程為丁-加=/(xo)(x-xo).

②當(dāng)點P(xo,加)不是切點時，可分以下幾步：

第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P'(xi,加1))；

第二步：寫出曲線在點P(xi,加1))處的切線方程y-危1)=/3)。-》);

第三步：將點尸的坐標(biāo)(優(yōu)，”)代入切線方程求出XI；

第四步：將XI的值代入方程y-火XI)=/(xi)(x-xi),可得過點P(xo,yo)的

切線方程.

考點4由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值范圍

例7(2021?銀川模擬)已知函數(shù)兀c)=-爐+依2+優(yōu)25CR)圖象上任意一

點處的切線的斜率都小于1,則實數(shù)。的取值范圍是_____________.

答案(-S，V3)

解析因為?x)=-必+以2+6(凡)€R),所以，(x)=-Bd+Zax.由題意得

-3f+lax<1恒成立，即3A2-lax+1>0恒成立，則』=4a2-12<0,解得一小

<a<小.

例8若曲線y=ln尤與曲線y=N+2x+a(x<0)有公切線，則實數(shù)a的取值

范圍是.

答案(in=+8)

解析設(shè)(xi,yi)是公切線和曲線y=lnx的切點，則切線斜率心=(lnx)"=

Xi=77,切線方程為y-ln幻=!(X-XI),整理得y=占?x+InXI-1.設(shè)⑴，")是

公切線和曲線y=/+2x+a(x<0)的切點，則切線斜率依=(x2+2x+a)'\x=X2=2x2

+2,切線方程為y-(X2+2x2+a)=(2x2+2)(尤-xi),整理得y=(2x2+2)尤-君+a,

住=2x2+2,①

其中X2<0,貝“XI2

llnxi-1=-X2+a,②

1o

由①得為=^代入②得〃=—111(212+2)+應(yīng)一1.又陽>0,貝lJ—142<0.

設(shè)段)二一In(2x+2)+X2-1,-l<x<0,貝lj/(x)=2x-J][<0,即危)在(-1,0)

上單調(diào)遞減，又火0)=-In2-l=ln=當(dāng)l-1時，段)一+8,所以

危)+8),故實數(shù)a的取值范圍是1in=+8).

追蹤練習(xí)，

7.(2021.齊齊哈爾模擬)若直線丁=履+6是曲線》=111》+2的切

線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，貝］_!》=()

1

A.1B.2

C.l-ln2D.1-21n2

答案C

解析設(shè)直線y=Ax+人與曲線y=lnx+2和y=ln(x+1)的切點分別為(xi,

Inxi+2)和(X2,In(%2+1)),則切線方程分別為y-Inxi-2=((x-xi),y-In(%2

1]1X2

+D=；7T7(x—X2).化簡得丁=工-x+lnxi+1,y=~~7-x--777+In(%2+1),

X2十141尤2?J-421k

依題意，

‘1_1

XI-X2+1'

得彳

Yo

In陽+1=---+In(%2+1),

、X2+1

解得xi=g,從而匕=Inxi+1=1-In2.

8.對于曲線/U)=-ex-x(e為自然對數(shù)的底數(shù))上任意一點處的切線/1,總

存在曲線g(x)=3ax+2cosx上某點處的切線心使得/11伉則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.[-1,2]B.(3,+8)

2in「12一

C[一K3jD.[-T3J

答案D

解析由7(x)=—e^—x,得了(x)=-卜一1,?.0+1>1,.?.裝上￡。1).由

g(x)=3ax+2cosx,得g'(%)=3a-2sinx,又-2sinx€[-2,2],：.3a-2sinx€[-

2+3〃，2+3〃].要使過曲線八%)=-爐-%上任意一點的切線心總存在曲線g(x)

—2+3〃W0,i2

=3ax+2cosx上某點處的切線上使得/山2,解得-產(chǎn)

［方法點撥口

1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值或取值范圍的解題思路

一般是利用切點p（xo,yo）求出切線方程再轉(zhuǎn)化研究.

2.兩曲線存在公切線求參數(shù)的取值范圍問題的解題思路

由兩切線為同一直線得到兩個方程，然后消去XI和X2中的一個，轉(zhuǎn)化為方

程在特定區(qū)間上有解的問題，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的值域問題，其中要關(guān)

注自變量的取值范圍.

二、核心素養(yǎng)提升

例1（2021.江西吉安一模）過點P（l,1）且與曲線y=必相切的直線的條數(shù)為

（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析當(dāng)點尸為切點時，=3/,Q=3,則曲線y='在點P處

的切線方程為丁-1=3（》-1）,即3x-y-2=0.當(dāng)點P不是切點時，設(shè)直線與曲

VO—1%0—12c

線切于點（孫yo）（xo力1）,則k=--=-=%3+xo+l.vy=3x2,：.y'\x

X0—1X0—1x=u

=3xj,「.x；+xo+l=3x；,「.xo=l（舍去）或xo="，二過點PQ，1）與曲線丁=

好相切的直線方程為%-4丁+1=0.綜上，過點P的切線有2條.故選C.

例2已知點尸在曲線丁=5垣2^-852|上，a為曲線在點P處的切線的傾斜

角，則a的取值范圍是（)

「3兀）兀3兀

A.萬，兀）B.-45T_

「兀3兀1兀］「3兀

C.45~4D.0.4UT171

答案D

解析,/y=sin2^-cos2^=-cosx,：.y'=sinx.設(shè)P(xo,yo),則曲線在點

、兀

尸處的切線的斜率為左二tana二sinxo,.?.一lWtana&l「「O<av兀，.?.。€0,

例3設(shè)函數(shù)y=f-2x+2的圖象為G,函數(shù)y=-^+仆+》的圖象為C2,

已知過Q與。2的一個交點的兩切線互相垂直.

（1）求。，匕之間的關(guān)系；

⑵求時的最大值.

解（1）對于Ci：y=x2-2x+2,有y'=2x-2,對于Q:y=-x1+ax+b,

有y=_2x+a,設(shè)Ci與C2的一個交點為（xo,yo）,

由題意知過交點（孫加）的兩條切線互相垂直.所以（2xo-2）（-2xo+a）=-1,

即4xo-2（a+2）xo+2a-1=0,

又點（孫州）為Ci與C2的交點，

故有=>2xo-(t?+2)xo+2-/?=0,消去xo,可得<2+6=5.

jo=-%o+axo+b

⑵由⑴知，。=|-a,所以ab=a\-5'

°-4,

取到最大值元.

1.求切線傾斜角的范圍要注意結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性計算.

2.最值問題的計算注意向函數(shù)或不等式問題轉(zhuǎn)化.

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.（2021.煙臺模擬）設(shè)次x）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足把T-----

1,則了⑴為（）

A.1B.-1C.2D.-2

答案B

解析因為lim.⑴一尸―2"=—J,所以

LOLX

一/⑴一尸—2外=_],即Hm八一2『⑴

2x-*0LX-2x->o—LX

=—1,所以/(1)=-1.故選B.

x

2.(2021.廈門模擬)曲線丁=二刀在點(1，-1)處的切線方程為()

A.y=-2x+1B.y=-3x+2

C.y=2x-3D.y=x-2

答案A

Y2Y

解析y=一々的導(dǎo)數(shù)為丁'=-英~不，可得曲線y=—在點(1,-D

X—L\X—L)X—Z

X

處切線的斜率為左=丁'屋1=-2,所以曲線丁=一；在點(1，-1)處的切線方程為

X—Z

y+1=-2(x-1),即y=-2x+l.

3.已知y=Hx)的圖象如圖所示，則了(到)與了(心)的大小關(guān)系是()

A.f(XA)>f(XB)

B.f(,XA)=f(XB)

C.f(XA)</(XB)

D.f(XA)與/(XB)大小不能確定

答案A

解析由圖象可得，曲線y=/(x)在》=身處切線的斜率大于在X=XB處切線

的斜率，則有了(X4)>/(XB).故選A.

4.設(shè)點P是曲線丁=好-小x+W上的任意一點，則曲線在點P處的切線的

傾斜角a的取值范圍為()

c兀5兀2兀

A.0,2U不‘兀B.T5兀

答案C

解析y=3%2-^3,-'-y'小，.".tana>-小，又aG[0,7T），故aG0,

5.（2021.東莞檢測）已知直線,=履+1與曲線Hx）=lnx相切，則上等于（）

A.AB.~C.eD.e2

e~e

答案A

解析由?x）=lnx,得/（x）=：,設(shè)切點坐標(biāo)為（xo,Inxo）,則<

解得xo=e2,貝1Jk=±=±.

/LUc

6.（2021?廣州高三一模）已知點P（xo,泗）在曲線C:y=x3-x2+l上移動，

曲線C在點P處的切線的斜率為左，若左?-1,21,則xo的取值范圍是（）

751「7」

A.一yB.-3

C.-1,+8)D.[-7,9]

答案B

解析由得y=3/-2x,則曲線C在點P(xo,刈)處的切線

f

的斜率為k=y\x=xQ=3%o-2xo,€-；，21,3%o-2xo€-；，21,即

f3%o-2xo<21,「一

]21.,.xo€—T?3.

I3%o-2xo>-,

7.若函數(shù)八%)=必+1的圖象與曲線C：g(x)=aex+l(a>0)存在公共切線，

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.(0,富B.(0,*

答案A

解析設(shè)公切線與火x)=f+1的圖象切于點(xi,xi+1),與曲線c：g(x)=

22

ae%2+1-xj-1〃e%2-xx

ae*+l切于點(%2,〃e%2+l),.,.2xi=6zex2==,化簡可得，

X2-XIXI-XI

2x1-xi、

2xi=,得%i=0或2x2=%i+2,..,2xi=〃e%2且〃>0,.,.xi>0,則2%2=%I

X2-XI.

ZH_2xi_4(X2-1)4(x-1)

+2>2,即%2>1,由2xi=oe%2

倚°=的=^2.?設(shè)h(x)=(%>1),

4(2-x)

則=(x)=一二一，二//。)在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，.-.A(x)max

4(41

=以2)=苫，.?,實數(shù)〃的取值范圍為0,群?故選A.

8.設(shè)點P為函數(shù)找X)=1%2+2ax與g(x)=3/山x+20(a>0)的圖象的公共點,

以P為切點可作直線/與兩曲線都相切，則實數(shù)。的最大值為()

2333422

A—eTB.c.正Dn.-3eT

3乙

答案D

12

解析設(shè)P(xo,yo),由于尸為公共點，則于+2axo=3a21nx0+25.又兩曲線

3a2

在點P處的切線相同,則f(xo)=g'(xo),EPxo+2a=—,即(xo+3tz)(xo-tz)=0.

又〃>0,xo>O,貝=于是2~二援雇一3〃2]n設(shè)力(1)二色一B/ln%,x>0,貝lj

11

33

/zXx)=2x(l-31nx),可知當(dāng)x￡(0,e)時，單調(diào)遞增；當(dāng)元金小，+8)時，

122

3Q35

/2(元)單調(diào)遞減.故/2(%)max=〃(e)=]e,于是實數(shù)6的最大值為矛,故選D.

二、多項選擇題

9.若直線y=%+》是函數(shù)人冷圖象的一條切線，則下列曲線中可以與直線

y=相切的有()

A.危)=：B.於)=d

C.火工)=sinxD.兀r)=ex

答案BCD

解析直線y=%+6的斜率為左=3，由於)=十的導(dǎo)數(shù)為了(》)=一點知切

線的斜率小于0,故A不正確；的導(dǎo)數(shù)為F(x)=4x\由4/=；,解得X

=1,故B正確；“x)=sinx的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=cosx,而cosx=T有解，故C正確；

Hx)=T-的導(dǎo)數(shù)為/'。)=巴由e、=3,解得％=-比2,故D正確.故選BCD.

10.已知函數(shù)人X)及其導(dǎo)函數(shù)/(X),若存在X0使得人xo)=/(xo),則稱X0是五X)

的一個“巧值點”.下列函數(shù)中有“巧值點”的是()

A.火工)=%2B.?x)=e~x

C.fix)=InxD.,/(x)=tanx

答案AC

解析若危)=f,則/(x)=2x,令f=2x,得x=0或x=2,方程顯然有解，

故A符合要求；若火勸=}"則力＞)=-e"A',令-x=-e-x,此方程無解，故B

不符合要求；若於)=lnx,則/(x)=g令lnx=］在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函

數(shù)丁=111%與丁=《的圖象(作圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程八%)

(sinx\1

=/(x)存在實數(shù)解，故C符合要求；若/(x)=tanx,則/㈤=匕二，=7高，令

tan%=方宏,化簡得sinxcosx=1,變形可得sin2x=2,無解，故D不符合要求.故

選AC.

三、填空題

11.(2021.葫蘆島模擬)已知函數(shù)於)的導(dǎo)函數(shù)為了(x),?=2--3*1)+Inx,

則加)=.

答案-三

解析V?=2x2-3V，(l)+lnx,：.f(X)=4X-3/(1)+7,將x=l代入，

得了(1)=4_3/(1)+1,得-果+lnx,.■.汽1)=2_9=一土

12.(2021.山東省實驗中學(xué)四校聯(lián)考)曲線y=f-lnx上的點到直線x-y-2

=0的最短距離是________.

答案也

解析設(shè)曲線在點Pg州)(次>0)處的切線與直線x-y-2=0平行，則仆

=%=2xo-±=l.，xo=1,yo=l,則P(l,1),則曲線y=f-Inx上的點到直線x

u人u

11-1-21L

_y_2=0的最短距離’,、，=6?

w+(T)

13.(2021?青島一診)設(shè)八工)=。卜+以11占且了⑴=e,/'(-1)=11貝人

答案1

n/7

解析對於)求導(dǎo)得了(所以

x)=ae*+;4,/C(l)=ae+b=e?,f(-1)=--

b==②.故由①②可得。=1,b=0,則a+0=l.

14.已知a—In6=0,c-d=l,則(a-c>+-的最小值是____.

答案2

解析設(shè)(。，。)是曲線C：y=lnx上的點，(d,c)是直線/：y=x+l上的點，

貝1J(a-4+(b-d)2可看成曲線C上的點到直線I上的點的距離的平方.對函數(shù)y

=lnx求導(dǎo)得y=；,令y=l,得x=l,則y=0,所以曲線C上到直線y=x+1