專題05年面向堡鳥要撤

■

5年考情?探規(guī)律

考點五年考情（2020-2024）命題趨勢

2024天津卷：平面向量基本定理的應用平面向

量線性運算的坐標表示數(shù)量積的運算律數(shù)量

積的坐標表示；

2022天津卷:用基底表示向量向量夾角的計算；

考點1平面向

2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向

量數(shù)量積

量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的

（5年5考）

最大值；1.向量在高考的考查主要包含了，

2021天津卷：數(shù)量積的運算律；向量的加減與數(shù)量積運算，通常運

2020天津卷：已知向量共線（平行）求參數(shù)用定用基底法與建系法數(shù)形結合。

義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示；2.平面向量的線性表示，通常會與

2024天津卷：平面向量基本定理的應用平面向共線結合，同時結合基本不等式求

量線性運算的坐標表示數(shù)量積的運算律數(shù)量解最值與取值范圍問題.

考點2平面向積的坐標表示；3.向量的夾角與模長問題是高考中

量的線性表示2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向中的重點內容，通常會結合最值與

（5年3考）量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的取值范圍進行考察

最大值；4.復數(shù)在高考中主要考察了復數(shù)的

2022天津卷:用基底表示向量向量夾角的計算；基本運算，包含了加減乘除運算.

考點3向量夾

角2022天津卷:用基底表示向量向量夾角的計算；

（5年1考）

考點4向量模2021天津卷：數(shù)量積的運算律；

長2020天津卷：已知向量共線（平行）求參數(shù)用定

（5年2考）義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示；

2024天津卷：復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算；

考點5復數(shù)的2023天津卷：復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算復數(shù)的

加減乘除運算除法運算；

（5年2考）2022天津卷：復數(shù)的除法運算；

2021天津卷：復數(shù)的除法運算；

2020天津卷：復數(shù)的除法運算;

5年真題?分點精準練

考點01平面向量數(shù)量積

1.(2024?天津?高考真題)在邊長為1的正方形力BCD中，點E為線段CD的三等分點，CE=\DE,~BE=

ABA+/1BC,則2+〃=—；F為線段BE上的動點，G為4F中點，則赤?赤的最小值為—.

(祥解懈法一：以｛瑟阮｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求就，即可得2+設前=kBE,^AF,DG,

結合數(shù)量積的運算律求前?瓦的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求顯，即可得4+

設尸(a,—3a),ae[-±0],求方，而，結合數(shù)量積的坐標運算求方?南的最小值.

【詳析】解法一：因為CE=^DE,即CE=：B4則期=前+而=]瓦＜+前，

可得2=[,〃=1,所以4+〃=]；

由題意可知：|屁|=|瓦?|=1,瓦5?麗=0,

因為尸為線段BE上的動點，設方=kBE=+kBC,ke[0,1],

則方=AB+SF=AB+kBE=(^k-1)BA+kBC,

又因為G為2F中點，則麗=瓦？+正=-BC+1AF=I(I/c-1)^4+Qfc-1)5C,

可得都?比=[gfc-l)BA+kBc]-[|Q/c-1)BA+Qfc-l)sc]

=i(-fc-I?+fc(-fc-1)=-(fc--)2-

2\3J\2/9V5710

又因為ke[0,1],可知：當k=l時，都?瓦取到最小值—三

18

解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，

則4(-1,0),B(0,0),C(O,1),D(-1,1),

可得府=(-1,0),BC=(0,1),BE=1),

因為前=40+〃麗=(一尢〃)，貝力—"=一所以4+〃=±

因為點尸在線段BE:y=-3%,xe[-|,0]±,設F(a,-3a),ae卜：，0)

且G為4F中點，則ga),

可得4F=(a+1,—3ci),DG=(2?>—3a-1)，

則方■DG=+(—3a)(一|a—1)=5(a+I?-春

且ae[—go],所以當a=—1時，衣?而取到最小值為—*

故答案為：一總

318

2.（2020?天津?高考真題）如圖，在四邊形ABC。中，NB=60°,2B=3,8C=6,且而=4就，通?麗=

-|,則實數(shù)4的值為，若M,N是線段BC上的動點，且|說|=1,則麗?麗的最小值為.

k祥解』可得NB4D=120。，利用平面向量數(shù)量積的定義求得;I的值，然后以點8為坐標原點，BC所在直

線為x軸建立平面直角坐標系，設點時（無,0）,則點N（x+l,0）（其中0W*W5）,得出詢?而關于x的函數(shù)

表達式，利用二次函數(shù)的基本性質求得麗?麗的最小值.

【詳析】AD=ABC,：.AD//BC,???/.BAD=180°-乙B=120°,

ABAD=ABC■AB=A\BC\■|ZB|cosl20°

17

=Ax6x3x（—）=-9A=—,

、2，2

解得4=p

6

以點B為坐標原點，8C所在直線為工軸建立如下圖所示的平面直角坐標系%By,

AD

畫、CX-.BC=6,C(6,0),

'：\AB\=3/ABC=60。*...、的坐標為4(|,誓),

?.?又?.?而=；阮，則屋，平)，設M(x,O),則N(x+l,O)(其中0WxW5),

622

血="|,-吟，而=(T，專),

DM-DN=(x-|)(x-|)+(芋)2=X2-4%+y=(x-2)2+y,

所以，當x=2時，麗?麗取得最小值日.

故答案為：

62

【『點石成金』】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標運算，考查計算能力,

屬于中等題.

考點02平面向量的線性表示

->1TT1_>___>___>—

3.(2023?天津?高考真題)在AZBC中，BC=1,ZX=60°,AD^^AB,CE=^CD,記4B=a,AC=b,

用表示ZE=；若而=［前,則荏?赤的最大值為.

【答案】"+竟

4224

"羊解』空1：根據(jù)向量的線性運算，結合E為CD的中點進行求解；空2：用21表示出赤，結合上一空答

案，于是族?荏可由日石表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.

【詳析】空1：因為E為CD的中點，則麗+前=6,可得，AE+ED=AD

-AE+EC=AC'

兩式相加，可得到2荏=同+前,

即2族=工4+立則荏=三江+23；

242

空2：因為加=工就，貝1|2麗+麗=6,可得［竺+竺=”，

3MF+FB=AB

得到/+FC+2（AF+麗）=前+2AB,

即3后:=2江+另，即存=三江+三3.

33

于是荏-~AF=G五+轉）?（|五+的）=~（2324-5a-fe+2b2）.

記/B=x,AC=y,

則/E?AF="（2a2+52?b+2b2）="（2x2+5xycos60°+2y2）="（2x2+芋+2y2）,

在aABC中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=%2+y2—xy=1,

于是荏,衣=/2孫+號+2)=義等+2),

由/+y2_%y=i和基本不等式，x2+y2—xy=1>2xy—xy=xy,

故xy<1,當且僅當％=y=1取得等號，

則％=y=1時，AE-都有最大值蘭.

24

故答案為：：,+/；?

4224

考點03向量夾角

4.(2022?天津?高考真題)在AaBC中，CA=a,CB=b,D是AC中點，CB=2BE,試用表示赤

為,若南1而，則N&CB的最大值為

【答案】￡

(祥解』法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出反，以｛五，可為基底，表示出屈，赤，由ZB

可得3貶+五2=43?五，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標系，設E(0,0),BCL,0),C(3,0),a(x,y),由1DE可得點4的軌跡為以

M(-1,0)為圓心，以丁=2為半徑的圓，方程為(％+I)2+y?=4,即可根據(jù)幾何性質可知，當且僅當C/與。M

相切時，4c最大，即求出.

【詳析】方法一：

=|B-*AB=CB-CA=b-a,ABIDE

(3b—a)-(b—a)=0,

3留+或=4五不2“=磊=糯N繳詈,當且僅當同=同犧取等號,而。<

4ACB<Ji,所以乙4cBe(0,-].

6J

故答案為：：b一p

226

方法二：如圖所示，建立坐標系：

y

F(0,0),B(l,0),C(3,0)M(x,y),反=(一等，一鄉(xiāng),荏=(1—

%,-y)，

DELAB(^Xx-1)+^=0=(x+1)2+y2=4,所以點4的軌跡是以M(—1,0)為圓心，以r=2為半

徑的圓，當且僅當C4與。”相切時，NC最大，此時sinC=W=；==￡

CM426

故答案為：-b—~d；

考點04向量模長

5.(2021?天津?高考真題)在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，DE1且交AB于

點E.D/〃4B且交AC于點F,則|2就+而|的值為；(而+而)?病的最小值為.

【答案】1募

(祥解D設=由(2麗+而＞=4麗2+4旗?麗+前2可求出；將(歷+麗).瓦為關于％的關

系式即可求出最值.

【詳析】設8E=x,xe(0,|),???△ABC為邊長為1的等邊三角形，DELAB,

Z.BDE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=1—2x,

DF//AB,.?.△DFC為邊長為1-2%的等邊三角形，DE1DF,

■.(2BE+DF)2=4BF2+4BE-DF+DF2=4x2+4x(1-2x)Xcos0°4-(1-2%)2=1,

|2BE+DF|=1,

■：(DE+DFYDA=(DE+DFy(DE+EA)=DE2+DF-EA

2

=(V3x)2+(1—2%)x(1—%)=5x2—3%+1=5(%—2)+

所以當％時，(岳+而)?礪的最小值為奈

故答案為：1；養(yǎng)

BD

考點05復數(shù)的加減乘除運算

6.（2024?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)（逐2i）=.

【答案】7—遙i

（祥解I借助復數(shù)的乘法運算法則計算即可得.

【詳析】（遍+i）?（遍—2i）=5+而i-2岔i+2=7-遍i.

故答案為：7-遙i.

7.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡萼的結果為

2+31------

【答案】4+i/i+4

R祥解可由題意利用復數(shù)的運算法則，分子分母同時乘以2-3i,然后計算其運算結果即可.

故答案為：4+i.

8.（2022?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡腎的結果為

【答案】1一5i/-5i+1

k祥解》根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出.

ll-3i_(ll-3i)(l-2i)_11-6-251

【詳析】1-5i.

(l+2i)(l-2i)

故答案為：1—5i.

9.（2021?天津?高考真題）i是虛數(shù)單位，復數(shù)禁=

【答案】4-i

（祥解力利用復數(shù)的除法化簡可得結果.

故答案為：4-i.

10.（2020?天津?高考真題）i是虛數(shù)單位，復數(shù)篝=.

【答案】3-2i

（祥解』將分子分母同乘以分母的共朝復數(shù)，然后利用運算化簡可得結果.

【詳析】篝=

(2+i)(2-0—5-二§一”?

故答案為：3-2i.

【『點石成金』】本題考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

1年模擬?精選?？碱}

11.(2024?天津河北?二模)△ABC是等腰直角三角形，其中SB14C,|荏|=1,P是A/IBC所在平面內

的一點，若加=4且+〃方(420,〃20且2+2〃=2),則方在加上的投影向量的長度的取值范圍是

A-(譚B?即C.[1,V2]D.[V2,2]

【答案】B

"羊解》根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結合，即可求解.

【詳析】設曲=2m，CP=ACA+nCB(420/20且；1+2〃=2),

則而=(&+通(A>0,420且(+〃=1),

則P在線段QB上，如圖所示，

當P與Q重合時，不在京上的投影向量的長度取得最大值，最大值為|C*=1;

當P與B重合時，襦在加上的投影向量的長度取得最小值，最大值為，CB|=

則刀在而上的投影向量的長度的取值范圍是[曰,1].

故選：B.

12.(2024?天津河東?二模)如圖所示，正方形4BCD的邊長為正方形EFG”邊長為1,則族?布的

值為.若在線段4B上有一個動點M,則磁■流的最小值為

K祥解工易知正方形4BCD與正方形EFGH的中心為。，然后將涉及到的向量用前,如或詬，而來表示，結

合數(shù)量積的運算律即可求解.

【詳析】由已知得正方形4BCD與正方形EFGH的中心重合，不妨設為。，

所以力。=亨，OG=OE=F，

則族.血=（而+時.函+兩=杼+而.（荏+呵―0G2=杼_痔=（釣2_（曰）2=6；

M￡-MG=（MO+0E）-（M0+0G）=MO2+M0?（0G+0F）-0G2=MO2-0G2=M02-1,

顯然，當M為4B的中點時，|MO|min=手，

所以（禧砌m「卜；藍

13.（2024?天津南開?二模）已知在平行四邊形A8CD中，DE=1EC,BF=^FC,記荏=2,AD=b,

用2和3表示族=；若4E=2,AF=V6,則前?加值為.

【答案】-d+b-/2.25

34

K祥解X對于空1,由尻=［說得歷=］尻=:荏，結合版=而+尻即可得解；對于空2,利用己知

條件將向量左和麗轉換成向量而和荏來表示即可得解.

【詳析】因為反=1說，所以尻=1瓦=1而，

因為游=3而，所以麗=,近=1而，

所以前=屈+前=（XF-BF）+（AE-DE）^AF+AE-^（AB+AD）=AF+AE-^AC,

故（前=都+荏，即衣=：衣+|荏=；（都+荏），

又礪=屈一而=（而一而荏-兩=/-荏+（屁-畫=AF-AE+^（AB-AD'）=AF-

AE+-DB,

3

故2麗=都一荏，即麗=|衣_|版=|（衣—族），

因為4E=2,AF=V6,

所以前.礪=|（而+荏）?式衣一荏）=3（而2_荏2）=:*（6-4）=（

故答案為：+b；2

14.（2024?天津濱海新?三模）在平行四邊形4BCD中，NA=60。,4。=|aB,點E在邊DC上,滿足屁=［反,

則向量荏在向量而上的投影向量為（請用而表示）；若4B=3,點M,N分別為線段AB,BC上

的動點，滿足BM+BN=1,則前?前的最小值為.

【答案】^ADq

48

K祥解』第一空：作EF12。于F,根據(jù)幾何關系求出DF和AD的比例關系即可；第二空：可以A為原點，

AB為x軸建立直角坐標系，設M（x,0）,利用函數(shù)方法求最值.

【詳析】作EF1/W于F.

,：/.DAB=60",且四邊形4BCD為平行四邊形，故ZB||CO,

貝！UFDE=^DAB=60",

1

那么DF=D￡cos60°=^DE,

5LDE=-DC,：.DE^-DC^-AB,

333

5LAD=-AB,ikAB=-AD,：.DE^-X-AD=-AD,

32322

故DF=-DE=-AD,

24

.?.竺=三，即前J而，

AD44

則版在向量同上的投影向量為3同；

4

■>

X

2

AB=3,AD=BC^-AB=2,

3

如圖以A為原點建立平面直角坐標系,

作OQ1x軸于Q,則4Q=ADcos60°=1,DQ=2Dsin60。=V3,則0（1,遮）.

DE=渺="B=L貝！|E（2,百）.

設M（x,0）,則BM=3—x,

又BM+BN=1,；.BN=l-BM=x—2,

BM<1=>x>2,BN<1=%—2<1=%<3,2<%<3.

作NP1%軸于P,貝！jBP=BNcos60。=^x-1,AP=\-1+3=^x+2,

NP=BWsin60°=當(x-2)=%一回

則N0X+2,亨x—8).

故兩=(x-2,-V3),W=(|x,yx-2V3),

故EA^-￡W=-x2-x--x+6=-x2--%+6,

2222

令/'(x)=|x2-|x+6,2<x<3,

在(2,(J單調遞減，在(I，3)單調遞增，

4b,/、rZ5\12525,-23

故==5*工一丁+6=石，

即前?前的最小值為空.

8

故答案為：J/。；

48

【『點石成金』】關鍵點『點石成金』：本題的關鍵是采用建系法，從而構建出關于前?前的表達式，最后

利用二次函數(shù)的性質即可求出最值.

15.(2023?天津和平?三模)已知△ABC中，點。是4C中點，點M滿足麗=2而，記瓦5=優(yōu)BD=b,

請用工石表示詢=；若瓦？?麗=-5,向量前在向量曲上的投影向量的模的最小值

為.

【答案】軟-|江y

R祥解可由題意可得病=|就一雨，BC=2BD-BA,可求得前=軟一］；向量前在向量麗上的投

影向量的模為嚅且=申青),臼,計算可求得最小值.

【詳析】根據(jù)題意，可得碗=就一瓦5=:屁-瓦?，

由點。是4c中點，可得品=2前一瓦t

所以前=前一市=|fiC-=I(2BD-BA)-BA=^BD--~BA^^b--a,

向量初在向量而上的投影向量得器?矗，

因為瓦？?前=一5,所以,不=一5,

所以向量前在向量而上的投影向量的模為：

麗.麗_凈爭后_4?鬲25?卜向"""25__20

下〒=一一―網+詞224網.麗=了，

當且僅當1|臼=簫，即\b\=|時取等號，

所以向量前在向量前上的投影向量的模的最小值為

故答案為：①《反—|石；②等

16.（2024?天津河西?三模）如圖，動點C在以AB為直徑的半圓0上（異于A,B）,DC1BC,DC=BC,

\AB\=2,[CA-BC\=；方?麗的最大值為.

K祥解》根據(jù)向量的線性運算結合模長即可求得第一空答案；設NBOC=29,9e（0,y）,作DE1OE,交。C

的延長線于E,求出OC=2sin8,繼而求出CE=sin28,結合數(shù)量積的幾何意義，即可求得答案.

【詳析】由題意可知0為4B的中點，M|CO|=1,

貝!)|襦一阮|=\CA+~CB\=2|CO|=2；

設N80C=2/8e(O.?)，作。EJ.OE,交OC的延長線于E,

在八BOC中，BC2=OB2+OC2-2OB-OC-cos20=2-2cos2。=4sin20

Ji-28=：一仇又DCIBC,故40"=仇

2

則CE=DCcosO=2sin0cos0=sin20,

故前.0D=\0C\?\OD\COSADOE=OC-OE=1X(1+sin26)=1+sin26,

當6=三時，0^-0D=1+sin2。取到最大值2,

4

故答案為：2；2

17.(2024?天津?二模)已知AOAB中，AO-AB=0,BC=2CA,記方=>01+〃^(尢〃eR),則

M=；若|市|=2,當NBOC最大時，|荏|=.

【答案】j/3-12V3

K祥解》用基底市和礪表示反，即可求得4=I，”=|；建立平面直角坐標系，用向量方法表示出cosNBOC,

求解COSNBOC最小，即可得到NBOC最大時|屈

【詳析】

()

Bx

因為前=2石5,所以就=三瓦?,

--->---?--->--->9---?--->9/--->--->、7--->1--->--->--->

℃=OB+BC=OB+-BA=0B+式。4-0B).。4+^0B=WA+.OB,

所以2=;,〃=：，A-/z=-；

因為前?南=0,所以4014B,以4為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，則4(0,0),0(0,2),

設|德|=b,則C(瓦0),8(36,0),則況=(瓦一2),OB=(3b,-2),

OC-0B3b2+49b4+24b2+16

|OC||OB|7b2+4x79b2+4-、9b4+40b2+16

16b2

9a+40爐+169八2,1,5

b++I9,1,5

16F2T6b2"b^+2

1-壬=孚,當且僅當廿=1時取等號,

止匕時b=手，|AB|=3b=2V3,cos/BOC最小，NBOC最大，

所以當NBOC最大時，|四|=2V3.

故答案為：2y/3.

18.(2024?天津?二模)設直線Ly=fc(x—6)(/cW0)和圓C:/+y2—6x—4y+5=0相交于M,N兩點.

若國?麗=0,則實數(shù)k=.

K祥解》由于而?而=0,可知圓心到直線的距離(^=[%進而可得解.

【詳析】

如圖所示，由己知C:/+y2-6x—4y+5=0,即C:（x—3>+（y—2/=8,

可得C（3,2）,半徑r=2注,

又兩?兩=0,所以CMLCN,即ACMN為等腰直角三角形，

所以圓心C到直線1得距離d