與相似有關(guān)的壓軸題

1.如圖1,在梯形A8CD中，AD//BC,BC=2AD,￡為邊8c的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺作圖：

(1)作8。的中點(diǎn)尸；

(2)作BE的中點(diǎn)G；

(3)如圖2,ABDE的中線EF、DG交于點(diǎn)H,若AEGH的面積為1,則四邊形BGHF的面積為

（圖1）（圖2）

2.如圖1,矩形ABC。中，點(diǎn)E是CD邊上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C、。重合)，連接AE,過點(diǎn)A作

AE交C8延長線于點(diǎn)F,連接EF,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接BG.

1r)F

(1)如圖2,若四邊形A8C￡＞為正方形，其面積為S,四邊形8CEG的面積為Si,當(dāng)Si=：S時(shí)，求一

4DC

的值.

FC

(2)如圖1,若48=20,AD=1Q,設(shè)DE=x，點(diǎn)G到直線2C的距離為y,求出y與尤的關(guān)系式；當(dāng)了二

BG

=可時(shí)，求x的值.

試卷第2頁，共43頁

3.在菱形ABC。中，CD=CA=6,對角線AC、3。交于點(diǎn)。，E為邊BC上一點(diǎn),直線E。分別交邊A。、

射線于點(diǎn)G、F.

(1)求菱形A3CD的面積；

(2)請判斷上+二是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

BEBF

S4

(3)設(shè)的面積為Si,四邊形ABE。的面積為S2,試確定點(diǎn)E的位置，使得亍=三.

4.如圖，銳角△AOC,A0垂直平分5。交CO于。點(diǎn)，B是AO上一點(diǎn)，若記△AOC面積為Si,△30。

的面積Sz,△A。。的面積為S3;

(1)求證：SAABO=SAACO；

(2)右不二q.

①求證：BD^ACAD,

0P

②若。4=1,求W的值.

試卷第4頁，共43頁

5.把兩塊全等的直角三角形ABC和。所疊放在一起，使三角板廠的銳角頂點(diǎn)。與三角板ABC的斜邊

中點(diǎn)O重合，其中NABC=/。跖=90。，ZC=ZF=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不動，讓三

角板。EE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線。E與射線AB相交于點(diǎn)尸，射線。尸與線段BC相交于點(diǎn)Q.

(1)如圖，當(dāng)射線。尸經(jīng)過點(diǎn)B,即點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，易證此時(shí)，APCQ=.

(2)將三角板DEF由圖所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.其中0。＜口＜90。，問APCQ

的值是否改變？說明你的理由.

(3)在(2)的條件下，設(shè)2cx＜4,兩塊三角板重疊面積為?求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

6.如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm,AB=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在邊AB上向點(diǎn)8勻速運(yùn)動，同時(shí)

點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)在邊上向點(diǎn)。勻速運(yùn)動，速度都是lcm/s,運(yùn)動時(shí)間是窗(0<f<4),PELAB,交

3。于點(diǎn)E,點(diǎn)。關(guān)于PE的對稱點(diǎn)是R射線尸尸分別與BZ),CD交于點(diǎn)M,N.

(1)求N8PN度數(shù)，并用含/的代數(shù)式表示PE的長;

(2)在點(diǎn)P,。運(yùn)動過程中，過點(diǎn)M作M/_LA5于點(diǎn)H,

①求證：%

3

②t為何值時(shí),以點(diǎn)尸，Q,E為頂點(diǎn)的三角形與△產(chǎn)誰相似？

試卷第6頁，共43頁

7.在菱形ABC。中，對線AC,BO交于點(diǎn)。，且AC=16CMI,8。=12°相；點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)，沿2C方向勻

速運(yùn)動，速度為2c7W/S;點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿。。方向勻速運(yùn)動，速度為15血；若尸，。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動.過點(diǎn)。作EFLBD,交于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)E設(shè)運(yùn)動

時(shí)間為f(s).解答下列問題：

(1)求菱形的邊長，并用含/的代數(shù)式表示。E的長度；

(2)當(dāng)，為何值時(shí)，線段PE〃AB?

(3)設(shè)四邊形CPEP的面積為S(CM?),求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式；

(4)是否存在某一時(shí)刻f,使得以2,P,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出/的值；若不

存在，請說明理由.

(備用圖)(備用圖)

8.如圖(1),在四邊形ABCZ)中，AB//DC,CB±AB,AB=16cm,8C=6cm,CD=8cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)。

開始沿D4邊勻速運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)A開始沿AB邊勻速運(yùn)動，它們的運(yùn)動速度均為2cm/s.點(diǎn)P和點(diǎn)。

同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t(s),0</<5

(1)用含/的代數(shù)式表示AP;

(2)當(dāng)以點(diǎn)A、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△A3。相似時(shí)，求r的值；

(3)如圖(2),延長。尸、BD,兩延長線相交于點(diǎn)當(dāng)△QMB為直角三角形時(shí)，求，的值.

試卷第8頁，共43頁

9.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CO是高，BE平分/ABC.BE分別與AC,CD相交于點(diǎn)E,F.

(1)求證：LAEBsACFB；

(2)若CE=5,EF=2不，BD=6.求A。的長.

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,點(diǎn)E是邊CO上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C、。不重合)，過點(diǎn)

A作交邊CB的延長線于點(diǎn)凡連接￡尸，交邊于點(diǎn)G.設(shè)。E=x,BF=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)如果尸，求證：AAEFSADEA；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊。上移動時(shí)，AAEG能否成為等腰三角形？如果能，請求出線段。E的長；如果不能,

請說明理由.

試卷第10頁，共43頁

11.（問題）如圖①，在△ABC中，。是BC的中點(diǎn)，￡是AB上一點(diǎn)，延長DE,CA交于點(diǎn)R若DE=EF,

AB=4,求AE的長.（提示：如圖②，過點(diǎn)E作EH〃BC交AC于H,再通過相似三角形的性質(zhì)得到AE

和A8的比，從而得到AE的長.請你按照這個(gè)思路完成解答.）

（探究）在原問題的條件下，可以得到AF和AC的數(shù)量關(guān)系是.

（拓展）如圖③，在△ABC中，是中線，點(diǎn)E在線段上，且AE：4）=1：3,連結(jié)BE并延長，交

①②③

12.如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,動點(diǎn)E在邊BC上，與點(diǎn)3、C不重合，過點(diǎn)A作”;的垂

線，交直線CD于點(diǎn)設(shè)DF=x,EC=y.

(1)求》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

(2)若點(diǎn)F在線段CD上，當(dāng)C/=1時(shí)，求EC的長.

(3)若直線A尸與線段BC延長線交于點(diǎn)G,當(dāng)ADBE與ADFG相似時(shí)，求的長.

試卷第12頁，共43頁

13.已知，如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,對角線AC,BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，

沿4。方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿。C方向勻速運(yùn)動，速度也為lcm/s：

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動：聯(lián)結(jié)尸。并延長，交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸〃AC,交BD

與點(diǎn)尸,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t⑸（0。＜6）.

（1）當(dāng)f為何值時(shí)，AAOP是等腰三角形；

（2）設(shè)五邊形。ECQE的面積為S（cm2）,求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻f,使。。平分/COP?若存在求出f的值；若不存在，請說明理由.

14.(探究)如圖①，在AABC中，點(diǎn)、D、E、尸分別在邊AB、AC,BC上，DE//BC,EF//AB.

(1)求證：AADEsAEFC.

An

(2)若△￡人?的面積分別為1和3,則F的值為

(拓展)如圖②，在AABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，點(diǎn)、F、G在邊8C上，豆DEHBC,DFHEG.若

AADE、ADBF、VEGC的面積分別為3,7,5,則AAHC的面積為

試卷第14頁，共43頁

15.如圖，MAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.動點(diǎn)M從點(diǎn)5出發(fā)，在54邊上以3cm/s的

速度向定點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以2cm/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為f

5（0<r<y）,連接MN.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，與AABC相似？

（2）連接AN,CM,如圖1所示，若AN_LCM,求f的值.

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，是等腰三角形？

（圖1）（備用圖1）（備用圖2）

16.如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)￡是C。上一點(diǎn)(不與C,。兩點(diǎn)重合)，連接BE,過點(diǎn)C作CH,

BE于點(diǎn)F,交對角線8D于點(diǎn)G,交AD邊于點(diǎn)“，連接GE.

(1)求證：DH—CE；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，當(dāng)8E=8時(shí)，求線段G”的長；

(3)設(shè)正方形A8CD的面積為Si,四邊形。EG8的面積為S2,當(dāng)g時(shí)，今值為.(直

接寫答案)

試卷第16頁，共43頁

17.如圖，在直角AABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn),

DF±DE交射線AC于點(diǎn)尸.

（備用因）（備用圖）

（1）求BC的長；

（2）連接所，當(dāng)防〃3c時(shí)，求8E的長；

（3）連接所，當(dāng)和AABC■相似時(shí)，請直接寫出8E的長.

18.已知：如圖，在放△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由8點(diǎn)出發(fā)沿A4方向向點(diǎn)A

勻速運(yùn)動，速度為Icm/s,點(diǎn)。由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間

為f(s)(0<r<2),解答下列問題：

(1)如圖①，連接PQ,直接寫出仁時(shí)，以A、尸、。為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動時(shí)，是否存在某一時(shí)刻3使得PQ=PC,若存在，求出t的值，若不存在，

請說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)尸，。運(yùn)動時(shí)，線段上是否存在一點(diǎn)G,使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求

出BG長；若不存在，請說明理由.

試卷第18頁，共43頁

19.如圖，已知：在矩形A3C。中，AB^6cm,BC=8c根，點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿2C方向勻速運(yùn)動，速度

為2cmis；與點(diǎn)尸同時(shí)，點(diǎn)。從。點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為ltv"/s；過點(diǎn)。作QE〃AC,交

。。于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f(s),(0</<4),解答下列問題：

Q

(1)當(dāng)時(shí)，BP長為cm,A。長為cm；

(2)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻。使尸。平分/APC?若存在，求出f的值；若不存在，請說明

理由；

Q

(3)當(dāng)0</<§時(shí)，是否存在某一時(shí)刻f,使△尸QE是直角三角形？若存在，直接寫出f的值；若不存在，

請說明理由.

備用圖備用圖

20.如圖，已知矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm.

備用圖

(1)如圖①，若動點(diǎn)0從點(diǎn)C出發(fā)，在CA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)尸從點(diǎn)2

出發(fā)，在邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,運(yùn)動時(shí)間為f秒(0V/<2),連接BQ、AP,若PQHAB,

求f的值；

(2)若點(diǎn)。在對角線AC上，CQ=4cm,動點(diǎn)P從3點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BC運(yùn)動至點(diǎn)C止.設(shè)

點(diǎn)P運(yùn)動了/秒，請你探索：從運(yùn)動開始，經(jīng)過多少時(shí)間，以點(diǎn)Q、尸、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

請求出所有可能的，的值.

試卷第20頁，共43頁

21.如圖，在△ABC中，BA=BC,A8=fc4C.點(diǎn)/在AC上，點(diǎn)E在8/上，2￡=2￡足點(diǎn)。在2C延長線

上，連接A。、AE,ZACD+ZDAE=ISQ°.

(1)證明：NCAD=NEAB；

（2）求合的值（用含左的式子表示）；

AE

AR

（3）如圖2,若DH、3AH,求急的值（用含左的式子表示）.

2c/7

22.如圖，在矩形A2CD中，AB^6cm,BC=8cm,如果點(diǎn)E由點(diǎn)8出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，同

時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，它們的速度分別為每秒2cm和lcm,FQ±BC,分別交AC、

BC于點(diǎn)尸和。，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f秒(0</<4).

2

(1)連接EF若運(yùn)動時(shí)間r=］秒時(shí)，求證：AEQF是等腰直角三角形.

(2)連接“，當(dāng)AEPC的面積為3°源，求"直.

(3)當(dāng)EFLAC時(shí)，求運(yùn)動時(shí)間

試卷第22頁，共43頁

23.如圖，在平行四邊形中，ZADB=90°,AB=10cm,AD=8cm，點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿DA方向

勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動，

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動.過點(diǎn)P作PE//BD交AB于點(diǎn)、E,連接PQ,交BD于點(diǎn)、F.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f(s)(0<t<4).

解答下列問題：

備用圖

(1)當(dāng)f為時(shí)，PQHAB1

(2)連接EQ,設(shè)四邊形APQE的面積為Men?),求>與f的函數(shù)關(guān)系式?

(3)當(dāng)f為何值時(shí)，點(diǎn)E在線段尸。的垂直平分線上？

(4)若點(diǎn)尸關(guān)于A3的對稱點(diǎn)為F,是否存在某一時(shí)刻心使得點(diǎn)尸，E,尸三點(diǎn)共線？若存在，求出?的

值；若不存在，請說明理由.

24.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長為2的正方形AOBC,M為08的中點(diǎn),沿直線40對

折，使。點(diǎn)落在。'處，連接過。'點(diǎn)作于N.

(1)寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)判斷AAOM與△ONO是否相似，若是，請給出證明;

(3)求O1點(diǎn)的坐標(biāo).

試卷第24頁，共43頁

25.如圖(1),在四邊形ABCD中，AB//CD,CBLAB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,動點(diǎn)P從

點(diǎn)。開始沿ZM邊勻速運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)A開始沿48邊勻速運(yùn)動，它們的運(yùn)動速度均為2cm/s.點(diǎn)P和點(diǎn)

。同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為f(s),0<?<5.

(2)當(dāng)以點(diǎn)A,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求，的值；

(3)如圖(2),延長QP,BD,兩延長線相交于點(diǎn)當(dāng)AQMB為直角三角形時(shí)，求f的值.

26.如圖，在AABC中，AB^AC,P,。分別是8C,AC邊上的點(diǎn)，S.ZAPD=ZB.若AB=10,BC=16,

當(dāng)△APD為直角三角形時(shí)，求BP的長.

試卷第26頁，共43頁

27.已知：如圖，在AABC中，ABAC^90°,AB=3cm,BC=5cm,點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿CB方向勻速

運(yùn)動速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動速度為lcm/s.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為“s)(0</<4).解

答下列問題：

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，PQHAB2

(2)是否存在某一時(shí)刻f,使％2?c：S四邊/陽？=1：4?若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

(3)是否存在某一時(shí)刻r,使△PQC為等腰三角形？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

28.在AABC中，NACB=90。，E為AC上一點(diǎn)，連接BE.

(1)如圖1,當(dāng)AC=3C時(shí)，將OCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AAC尸，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)p落在BC延長

線上，求證：BE±AF；

(2)過點(diǎn)C作CP,鹿，垂足為P,連接AP并延長交BC于點(diǎn)Q.

APCE

①如圖2,若AC=5。，求證：—=—；

②如圖3,若AC=3a,AE=2EC,BC=kAC,求AP的長(用含〃、％的式子表示).

試卷第28頁，共43頁

29.如圖1,已知在Rt^ABC中，AB=5cm,8c=12cm,以8C為邊作正方形8CDE,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

沿ABE方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s,連

接P。.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f(s)(0</<6.5),解答下列問題：

(1)當(dāng)，為何值時(shí)，PQ//BC2

(2)如圖2,連接尸。，交3C于點(diǎn)孔是否存在某一時(shí)刻3使48尸尸與△QEC相似？

(3)用含/的代數(shù)式表示出五邊形PEDC。的面積.

備用圖

30.矩形ABC。中，A8=CO=3cm,AO=8C=4cm,AC是對角線，動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C

勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；動點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿。方向向點(diǎn)。勻速運(yùn)動，速度為2cm/s.過點(diǎn)P作BC

的垂線段PH,運(yùn)動過程中始終保持PH與BC互相垂直,連接HQ交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)P和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，

設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為，(s)(0</<1.5),解答下列問題：

(1)求當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形P8CQ為矩形;

(2)是否存在一個(gè)時(shí)刻，使與AC互相垂直？如果存在請求出f值；如果不存在請說明理由；

75

(3)是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABC。的面積是四邊形PHC。面積的五，如果存在請求出"直；如果不

存在請說明理由.

試卷第30頁，共43頁

31.如圖1,點(diǎn)E,尸在正方形ABC。的對角線AC上，/EBF=45°.

圖1圖2

(1)當(dāng)BE=8P時(shí)，求證：AE=CF；

(2)求證：AABF^ACEB-,

(3)如圖2延長BP交C。于點(diǎn)G,連接EG.判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說明理由.

32.(感知)小明同學(xué)復(fù)習(xí)“相似三角形”的時(shí)候遇到了這樣的一道題目:

如圖，在“ABC中，AB=AC,。為上一點(diǎn)，

過點(diǎn)。作=交AC于點(diǎn)E.

求證：ZxABDs.DCE.

小明同學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，2ADC是△"￡＞的外角，可得ZADE+NEDC=ZBAD+ZB,再結(jié)合已知條件可以

得到△ABDSADCE.請根據(jù)小明的分析，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

(探究)在AABC中，AB=AC=10,BC=16,。為8c上一點(diǎn).

圖①圖②圖③

(1)如圖②，過點(diǎn)。作=交AC于點(diǎn)E.當(dāng)DE7A4B時(shí)，的長為.

(2)如圖③,過點(diǎn)D作NFDE=NB,分別交AB.AC于點(diǎn)F、E.當(dāng)CD=4時(shí)，班'的長的取值范圍為

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33.已知，在△ABC中，。是BC上一點(diǎn)，AB=AD.

(1)如圖1,當(dāng)BD=CD,F是中點(diǎn)時(shí)，連8尸并延長交AC于E.

①判斷△ABC與△BED是否相似，并說明理由.

②連接DE,求證：DELBC.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)尸SAEDF時(shí)，求/8AC的度數(shù).

(3)如圖2,當(dāng)2c。時(shí)，作DELLBC交AC于E,連2E交AD于F求AF：尸￡＞的值.

圖1圖2

34.△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)廠在4。上，連接并延長交AC于點(diǎn)E；

AF1

(1)如圖1,若。為BC的中點(diǎn)，—求證：AF=FD；

七C2

(2)尺規(guī)作圖：在圖2中，請利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E,使得A等p=：1;

七C2

(3)若尸為4。的中點(diǎn)，設(shè)絲=〃?,莫=〃，請求出機(jī)、w之間的等量關(guān)系.

圖1圖2圖3

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35.（1）（問題背景）

如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，連接以AM為邊作等邊△AMN（A,M,N按逆時(shí)

針方向排列），連接CN,求證：AC=CM+CN

（2）（變式探究）

如圖2,已知△ABCs請指出圖中的另外一對相似三角形并進(jìn)行證明；

（3）（拓展應(yīng)用）如圖3,在△ABC和△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=3Q°,點(diǎn)。在BC

邊上，求空的值和的度數(shù).

CB

36.在平行四邊形ABCD中，AD=8,DC=6,/FED的頂點(diǎn)在BC上，EF交直線AB于/點(diǎn).

(1)如圖1,若NFED=NB=90°,BE=5,則BF=.

圖1

ppBE

(2)如圖2,在AB上取點(diǎn)G,使BG=BE,連接EG,若NB=/FED=60°,求證：-.

圖2

(3)如圖3,若/ABC=90。，點(diǎn)C關(guān)于3。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C',CC'交BD于點(diǎn)、M,對角線AC、BD交于

點(diǎn)。，連接OC'交AD于點(diǎn)G,求AG的長.

圖3

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37.已知：如圖①，在平行四邊形A8C。中，AB=3cm,2C=5cm,ACLAB.△ACD沿AC方向以速度

為lcm/s勻速平移得到同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s.當(dāng)APMN

停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動，如圖②設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f(s)(0<Z<4).解答下列問題：

(1)當(dāng)f為何值時(shí)△ABC與APQC相似？

(2)當(dāng)f為何值時(shí)NQPC=45。？

(3)是否存在某一時(shí)刻f,SAQMC：S四邊形AB°P=1：35.若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

38.(1)如圖1,正方形ABC。和正方形。EFG(其中yW>/)E),連接CE,AG交于點(diǎn)H,請直接寫出

線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系

(2)如圖2,矩形和矩形。跖G,AD=2DG,AB=2DE,AD=DE,連接AG,CE交于點(diǎn)”，(1)

中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG,CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并

說明理由;

(3)矩形ABCO和矩形。EEC,AD=2DG=6,AB=2DE=8,直線AG,CE交于點(diǎn)X,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重

合時(shí)，請直接寫出線段AE的長.

圖1圖2

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39.（模型呈現(xiàn)：材料閱讀）

如圖，點(diǎn)8,C,E在同一直線上，點(diǎn)A,。在直線CE的同側(cè)，ZVIBC和△COE均為等邊三角形，AE,

BD交于點(diǎn)F.

對于上述問題，存在結(jié)論（不用證明）：

（1）ABCD^AACE.

（2）可以看作是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)而成；

（模型改編：問題解決）

點(diǎn)A,。在直線CE的同側(cè)，AB^AC,ED=EC,ZBAC^ZDEC^50°,直線AE,BD交于F.

如圖1：點(diǎn)8在直線CE上.

①求證：ABCDsAACE；

②求/AFB的度數(shù).

如圖2：將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度.

③補(bǔ)全圖形，則/AEB的度數(shù)為；

④若將“NBAC=N。EC=50。”改為“N8AC=Nr>EC=根。"，則的度數(shù)為.（直接寫結(jié)論）

（模型拓廣：問題延伸）

如圖3：在矩形A8CD和矩形。EFG中，AB=1,AD=ED=6,DG=3,連接AG,BF,求變的值.

40.問題背景：如圖1,點(diǎn)石在上，AB±BCAELED,DCLBC,求證：籌=蕓.