第十八講：空間幾何體的表面積及體積【考點(diǎn)梳理】空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)SKIPIF1<0SKIPIF1<0錐體(棱錐和圓錐)SKIPIF1<0SKIPIF1<0臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))SKIPIF1<0SKIPIF1<0球SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典型題型講解】考點(diǎn)一：空間幾何體的表面積【典例例題】例1．（2022·廣東深圳·一模）以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（

）A．8π B．4π C．8 D．4例2．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)面積為SKIPIF1<0的半圓，則該圓錐的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2022·廣東惠州·一模）若一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，且扇環(huán)的面積為SKIPIF1<0，圓臺(tái)上?下底面圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0___________.例4．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍騍KIPIF1<0，則圓柱的表面積與球SKIPIF1<0的表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能確定例5．（2022·廣東潮州·高三期末）若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】熟悉幾何體的表面積、體積的基本公式，注意直角等特殊角.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東東莞·高三期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為___________.2．（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，ABSKIPIF1<0平面BCD，CDSKIPIF1<0AD，AB=BD=SKIPIF1<0，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為SKIPIF1<0，則該棱錐的外接球的表面積為_________．3．（2021·廣東佛山·一模）（多選）如圖，已知圓錐SKIPIF1<0的底面半徑SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的球心為SKIPIF1<0，外接球的球心為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．外接球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0B．設(shè)內(nèi)切球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，外接球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．過點(diǎn)P作平面SKIPIF1<0截圓錐SKIPIF1<0的截面面積的最大值為SKIPIF1<0D．設(shè)長(zhǎng)方體SKIPIF1<0為圓錐SKIPIF1<0的內(nèi)接長(zhǎng)方體，且該長(zhǎng)方體的一個(gè)面與圓錐底面重合，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為SKIPIF1<04.（2022·廣東廣州·一模）已知三棱錐SKIPIF1<0的棱AP，AB，AC兩兩互相垂直，SKIPIF1<0，以頂點(diǎn)P為球心，4為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，則最長(zhǎng)弧的弧長(zhǎng)等于___________.5.設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，圓錐頂點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和圓錐的軸的距離為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為___________.6.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點(diǎn)二：空間幾何體體積【典例例題】例1．（2022·廣東汕頭·高三期末）金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2.已知圓柱SKIPIF1<0的底面半徑為1，高為2，AB，CD分別為上、下底面圓的直徑，SKIPIF1<0，則四面體ABCD的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0例3.《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭SKIPIF1<0，其中上底面與下底面的面積之比為SKIPIF1<0，方亭的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和SKIPIF1<0，則方亭的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】熟記幾何體體積公式，能夠畫出幾何體的直觀圖【變式訓(xùn)練】1.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧SKIPIF1<0所在圓的半徑分別是3和9，且SKIPIF1<0，則該圓臺(tái)的（

）A．高為SKIPIF1<0 B．體積為SKIPIF1<0C．表面積為SKIPIF1<0 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為SKIPIF1<02．（2022·廣東東莞·高三期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為___________.3．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱垂直于底面，且所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則此球的體積為__________.4．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱垂直于底面，且所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則此球的體積為__________.5.（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的體積為______.6．（2021·廣東佛山·一模）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，線段SKIPIF1<0上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不確定7．（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，ABSKIPIF1<0平面BCD，CDSKIPIF1<0AD，AB=BD=SKIPIF1<0，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為SKIPIF1<0，則該棱錐的外接球的表面積為_________．8．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的體積為______.9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0分別與棱SKIPIF1<0交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截長(zhǎng)方體所得上下兩部分的體積比值為_________；所得的截面四邊形SKIPIF1<0的面積為___________．【鞏固練習(xí)】一、單選題1．已知圓錐的高為1，母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．32．若過圓錐的軸SKIPIF1<0的截面為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，正方體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在圓錐底面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在圓錐側(cè)面上，則該正方體的棱長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4，則圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺(tái)形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個(gè)半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)形容器的高為（

）A．SKIPIF1<0cm B．1cm C．SKIPIF1<0cm D．SKIPIF1<0cm5．已知某圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該圓錐底面圓的半徑為（

）A．2 B．3 C．4 D．66．正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2?4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A．56 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時(shí)，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0；水位為海拔SKIPIF1<0時(shí)，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時(shí)，增加的水量約為（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．如圖，正方體SKIPIF1<0棱長(zhǎng)為1，P是SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．當(dāng)P在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0