課時作業(yè)43橢圓1．(2024·江西高三其他模擬())如圖，是橢圓上的一點，是橢圓的右焦點且，，則()A．2 B． C．3 D．4【答案】A【解析】由可得：因為，所以點是線段的中點，設(shè)橢圓的右焦點為，則是的中點，所以，由橢圓的定義可知：，所以，故選：A.2．(2024·全國課時練習(xí))已知橢圓的左焦點是F1，右焦點是F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|∶|PF2|＝()A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3【答案】C【解析】由＝1可知，，所以，所以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，∵線段PF1的中點M在y軸上，且原點為線段的中點，所以，所以軸，∴可設(shè)P(2，y)，把P(2，y)代入橢圓，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故選：C3．(2024·上海市莘莊中學(xué))平面內(nèi)有兩個定點和一動點，設(shè)命題甲：是定值，命題乙：點的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若點的軌跡是以為焦點的橢圓，則根據(jù)橢圓的定義可知動點到兩定點的距離之和，且為常數(shù))成立是定值．若動點到兩定點的距離之和，且為常數(shù))，當(dāng)，此時的軌跡不是橢圓．甲是乙的必要不充分條件．故選：．4．(2024·重慶)已知橢圓在第一象限上的一點與橢圓的左、右焦點、恰好構(gòu)成頂角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為點是橢圓上位于第一象限的點，，所以，為銳角，因為是頂角為的等腰三角形，但，故，所以，，由余弦定可得，由橢圓定可得，故.故選：A.5．(2024·江蘇南通市)設(shè)，是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點滿足，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，若焦點在軸上，，則，橢圓上存在點滿足，如圖所示，則，即，所以，即，得；若焦點在軸上，，則，則，即，所以，即，得；所以的取值范圍是.故選：C.6．(2024·江西高三其他模擬())若橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)的值為()A．9 B．6 C．4 D．1【答案】C【解析】因為橢圓的焦點在軸上，所以，，所以，所以，解得.故選：C7．(2024·福建龍巖市)已知橢圓的一個焦點為，則這個橢圓的方程是()A． B．C． D．【答案】C【解析】解：橢圓的一個焦點為，，，，橢圓方程為．故選：．8．(2024·江西贛州市)已知橢圓的右焦點為，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為右焦點為，故焦點在軸上且，故，故選：C.9．(2024·廣西百色市)“”是“方程表示焦點在軸的橢圓”的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意，方程表示焦點在軸上的橢圓，則滿足，解得；又由當(dāng)則必有，但若則不一定有成立，所以“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的必要非充分條件．故選：B．10．(2024·河南鄭州市)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，點在橢圓上且滿足，則的面積為()A． B． C． D．【答案】D【解析】在橢圓中，，，則，所以，，設(shè)點，則，可得，，解得，，因此，的面積為.故選：D.11．(2024·全國高三專題練習(xí))已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，點在以為直徑端點的圓上，由此可得該圓的半徑，，即，，.故選：A.12．(2024·江蘇)若橢圓+=1(a>b>0)的焦距為2，且其離心率為，則橢圓的方程為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：，即，由橢圓的離心率，解得：，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：故選：B13．(2024·全國課時練習(xí))已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是()A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意知，所求橢圓的焦點位于x軸上，且，因此橢圓的方程是.故選：C14．(多選)(2024·山東濱州市·高三一模)已知橢圓的左、右焦點分別是，，左、右頂點分別是，，點是橢圓上異于，的任意一點，則下列說法正確的是()A．B．直線與直線的斜率之積為C．存在點滿足D．若的面積為，則點的橫坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意，，，，，短軸一個頂點，，A錯；設(shè)，則，，所以，B正確；因為，所以，從而，而是橢圓上任一點時，當(dāng)是短軸端點時最大，因此不存在點滿足，C錯；，，，則，，D正確．故選：BD．15．(多選)(2024·武岡市第二中學(xué))已知點在直線上，則圓錐曲線的離心率為()A． B． C． D．【答案】AC【解析】∵在直線上，所以,即,解得或,當(dāng)時，圓錐曲線,為中心在原點，焦點在軸上的橢圓，離心率,當(dāng)時，圓錐曲線,為中心在原點，焦點在軸上的橢圓，,故選:AC.16．(多選)(2024·山東聊城市)已知五個數(shù)1，，，，16成等比數(shù)列，則曲線的離心率可以是()A． B． C． D．【答案】AC【解析】由題意，，，曲線方程為或，方程為時，離心率為，方程為，離心率為．故選：AC．17．(2024·陜西西安市·高三月考())已知橢圓左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線與過的直線交于點，點在橢圓上，且．則橢圓的離心率________．【答案】【解析】如下圖所示：由已知條件可知，在中，，，，則，由橢圓的定義可得，即，.故答案為：.18．(2024·安徽蕪湖市·)已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左?右焦點，點P在橢圓C上，，則___________.【答案】【解析】由橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，所以，解得3|PF1|·|PF2|＝4，即，故答案為：19．(2024·上海市西南位育中學(xué))已知Р為橢圓上的點，、，是橢圓的兩個焦點，且，則_____【答案】【解析】由橢圓，可得、由條件可得由余弦定可得所以，即所以故答案為：20．(2024·江蘇南通市)已知橢圓的左、右焦點分別為、，點，若點P為橢圓C上的一個動點，則的最小值為____________.【答案】1【解析】由已知得，，因為，所以，所以，所以當(dāng)三點共線時，最小，即.故答案為：1.21．(2024·廣西百色市)已知橢圓的左右焦點分別為，焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于________．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，．在直角三角形中，令，則由橢圓定義得橢圓的離心率．故答案為：．22．(2024·內(nèi)蒙古赤峰市·高三期末())已知橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，點在橢圓上，且，則的面積為__________．【答案】【解析】由已知得，所以，由橢圓定義得，由余弦定得，即，，則的面積為.故答案為：.23．(2024·廣東梅州市)已知過點的橢圓C的焦點分別為，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.【答案】【解析】由題意，，所以,

所以橢圓方程為．故答案為：．24．(2024·安徽省臨泉第一中學(xué))橢圓的離心率等于______.【答案】【解析】由題意，所以，離心率為．故答案為：．25．(2024·湖南常德市一中高三月考)寫一個離心率是橢圓的離心率4倍且焦點在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：___________.【答案】(答案不唯一)【解析】有橢圓方程可知，，則，所以橢圓的離心率，則雙曲線的離心率，則雙曲線中，即，得，令，則，所以滿足條件的一個雙曲線方程是.故答案為：(答案不唯一)26．(2024·全國高三專題練習(xí))過點的直線被圓截得的弦長為2，則直線的斜率為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑，過點的直線被圓截得的弦長為2，則直線經(jīng)過圓的圓心，故直線的斜率；故答案為：．27．(2024·六安市裕安區(qū)新安中學(xué))已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于?兩點，求中點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由于橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓定義知，，所以，所以，所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)直線與橢圓的交點為，，聯(lián)立方程，得，得，．設(shè)的中點坐標(biāo)為，則，，所以中點坐標(biāo)為．28．(2024·河南高三月考())已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，且點在C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過的直線l與C交于A，B兩點，若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】解：(1)因為橢圓C過點，所以．①又橢圓C的離心率為，所以，故．②聯(lián)立①②得解得故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，，所以，故直線l的斜率存在，設(shè)直線．聯(lián)立消去y并整得，則．，同．因為，解得，所以，又因為，所以．29．(2024·吉林長春市·高三二模())已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，的周長為為坐標(biāo)原點，(1)求橢圓的方程；(2)求面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)設(shè)橢圓半焦距為由題意可知，由離心率有，所以橢圓方程為，(2)設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)