考點(diǎn)11指數(shù)函數(shù)知識梳理一．指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)．形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．二．．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，＋∞)圖象過定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有y>1在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān)，應(yīng)分a>1與0<a<1來研究精講精練題型一指數(shù)函數(shù)辨析【例1】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是()A． B． C． D．或【答案】C【解析】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，，由解得或，，故選．【舉一反三】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù),所以,解得:或即a的取值范圍是.故答案為:2．已知指數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.【答案】【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得：，故答案為：.3．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_________．【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù),所以且,解得.故答案為2題型二指數(shù)函數(shù)定義域值域【例2】求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3).【答案】(1)定義域，值域?yàn)榍?；定義域，值域；(3)定義域，值域【解析】(1)要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋?，即函?shù)的值域?yàn)?(2)要使函數(shù)式有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)?(3)函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所?又，所以函數(shù)的值域?yàn)?【舉一反三】1．函數(shù)的定義域?yàn)開__，值域?yàn)開___.【答案】【解析】∵，∴x2﹣1≠0，即x≠±1，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}．∴x2﹣1∴∴函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧?．函數(shù)的定義域?yàn)開_________，值域?yàn)開________.【答案】【解析】令，即，則，解得且.即函數(shù)的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，所以，則；當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則且，所以，即；當(dāng)時(shí)，，則，所以；綜上所述，值域?yàn)?故答案為:;.3．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【解析】(1)或.∴定義域?yàn)?由于，即，∴值域?yàn)?(2)，∴定義域?yàn)?由于，且，即且，∴值域?yàn)?題型三指數(shù)式比較大小【例3】已知，則a，b，c的大小關(guān)系為()A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，即，所以，即故選：D.【舉一反三】1．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，，，則，又，所以，故選：D.2．設(shè).則的大小關(guān)系是()A． B．C． D．【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：，，由冪函數(shù)的單調(diào)性知：，，又，∴綜上有：.故選：A3．設(shè)，，，則大小關(guān)系是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)知識可得，，即，.下面比較的大小，即比較與的大小.設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，即，，即，即，故選C.題型四指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)【例4】函數(shù)恒過定點(diǎn)_______．【答案】.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)過定點(diǎn)，而函數(shù)是將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到，所以函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.【舉一反三】1．已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_____________.【答案】【解析】過定點(diǎn)(0,1)，而可以看成的圖像右移3個(gè)單位，再下移2個(gè)點(diǎn)位得到的，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)即A故答案為：2．對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)(且)的圖像經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖像可以通過向左平移個(gè)單位得，再將圖像上的點(diǎn)向上平移個(gè)單位