2024-2025學(xué)年廣東省東莞市可園中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

要求的）

1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A./+y+3=0B.3/-2=0D.5x+3=0

2.（3分）下面各組圖形中，不是相似圖形的是（

3.（3分）一元二次方程/+4x=2配方后化為（）

A.（x+2）2=6B.（x-2）2=6C.（x+2）2=-6D.（x+2）2=-2

4.（3分）一元二次方程f+x-2=0的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根

B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.有兩個不相等的實數(shù)根

5.（3分）在我市組織的一次青少年足球比賽預(yù)賽中，每兩隊之間都要進(jìn)行一場比賽，共要比賽28場（）

A.7B.8C.12D.14

6.（3分）將拋物線＞=/向右平移2個單位，再向上平移3個單位后，拋物線的解析式為（）

A.y=（尤+2）2+3B.y=（x-2）2+3

C.y=（x+2）2-3D.y=（尤-2）2-3

7.（3分）下列對拋物線y=-2（x+3）2-1描述不正確的是（）

A.開口向下B.y有最大值

C.對稱軸是直線-3D.頂點坐標(biāo)為（3,-1）

8.（3分）已知拋物線y=7-2x-1與x軸的一個交點為（m,0）,則代數(shù)式nr-2m+2024的值為（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

A.AB.1C.AD.2

23

10.（3分）根據(jù)表格中二次函數(shù)丫=辦2+灰+<?的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，可以判斷方程依2+灰+C=

0的一個解x的范圍是（）

X00.511.52

y=aj?+bx+c-1-0.513.57

A.0<x<0.5B.0.5<x<lC.l<x<1.5D.1.5<x<2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）一元二次方程W=2024x的解是.

12.（3分）二次函數(shù)y=-x?+2的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為.

13.（3分）設(shè)xi,X2是一元二次方程/-6x+根=0的兩個實數(shù)根，若xi=2,則尤2的值為.

14.（3分）若點A（3,yi）,B（5,”）在函數(shù)y=-?+4x+l的圖象上，貝Iyiy2（用

或者“=”連接）.

15.（3分）如圖，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，直到她剛好在鏡子中看到旗

桿的頂端，已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，鏡子與旗桿的水平距離為10米.則旗桿的高度為

16.（3分）如圖，拋物線yucu^+Zzr+c（a=0）與x軸交于點（3,0）,對稱軸為直線尤=1.結(jié)合圖象分

析下列結(jié)論：①abc<0；③2a+c<0；④一元二次方程cf+bx+kO的兩根分別為乂，1，%2=-1.其

X13

中正確的結(jié)論有.（請?zhí)钚蛱枺?/p>

q!3\x

Ix=l

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答寫出必要的文字說明、證明過程或計算步驟)

17.(4分)解方程：?+2r-3=0.

18.(4分)已知二次函數(shù)的圖象以A(1,-4)為頂點，且過點B(-2,5)

19.(6分)如圖，在等腰△ABC中，AD是頂角NA4c的角平分線，垂足為點E.求證：AACDSABCE.

(1)補(bǔ)全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中用描點法畫出該二次函數(shù)的圖象;

x01234…

y30-1…

(2)當(dāng)尤時，y隨尤的增大而減??；

(3)當(dāng)y>0時，x的取值范圍是；

21.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程2?-(a+1)x+a-1=0(a為常數(shù)).

(1)當(dāng)。=2時，求出該一元二次方程實數(shù)根；

(2)若XI,是這個一元二次方程兩根，且XI,X2是以灰為斜邊的直角三角形兩直角邊，求。的值.

22.(10分)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

素材1隨著數(shù)字技術(shù)、新能源、新材料等不斷突破，我國制造業(yè)發(fā)展迎來重大機(jī)遇.某

工廠一車間借助智能化，對某款車型的零部件進(jìn)行一體化加工，該零件4月份

生產(chǎn)100個，6月份生產(chǎn)144個.

素材2該廠生產(chǎn)的零件成本為30元/個，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零件售價為40元/

個時，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元，則月銷售量將減少10個，

問題解決

任務(wù)1該車間4月份到6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率；

任務(wù)2為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓車企得到實惠，則該零件的實際

售價應(yīng)定為多少元？

23.(10分)小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，

下面是他對擊球線路的分析.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,球網(wǎng)與y軸的水平距離OA=3m,CA=2m,羽毛球的飛行高度

y6")與水平距離無(相)；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(m)(m)近似滿足二次函數(shù)關(guān)系

(x-1)2+3.2.

(1)求點P的坐標(biāo)和a的值；

(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng).要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計

算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式.

24.(12分)如圖，拋物線y=《x2吟x+2與x軸交于點A，C為線段。1上的一個動點，過點C作x

軸的垂線，交該拋物線于點E.

(1)求直線A8的表達(dá)式；

(2)若△ABE的面積取得最大值，求出這個最大值；

(3)當(dāng)以8,E,。為頂點的三角形與△CD4相似時，求點C的坐標(biāo).

備用圖

25.(12分)已知關(guān)于x的一元二次方程/-(m+1)x+-l(m2+l)=0有實數(shù)根.

2

(1)求相的值；

(2)先作y=/-(m+1)x+工6/+1)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后將所作圖形向左平移3個單

2

位長度，再向上平移2個單位長度；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)直線y=2x+”求后-4〃的最大值和最小值.

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市可園中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分,共30分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

要求的）

1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A./+y+3=0B.3/-2=0C.4^=^D.5x+3=0

x

【解答】解：4該方程屬于二元二次方程.

8、該方程屬于一元二次方程.

C、該方程屬于分式方程.

。、該方程屬于一元一次二次方程.

故選：B.

【解答】解：A、兩個圖形相似;

B、兩個圖形相似；

C、五角星和六角星不相似；

。、所有的圓都相似，

故選：C.

3.(3分)一元二次方程/+4x=2配方后化為()

A.(x+2)2=6B.(尤-2)2=6C.(x+2)2=-6D.(x+2)2=-2

【解答】解：：/+4x=2,

:.,+4x+5=2+4,

(x+4)2=6.

故選：A.

4.(3分)一元二次方程/+x-2=0的根的情況是()

A.沒有實數(shù)根

B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.有兩個不相等的實數(shù)根

【解答】解：A=12-7X1X(-2)=5>0,

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：D.

5.(3分)在我市組織的一次青少年足球比賽預(yù)賽中，每兩隊之間都要進(jìn)行一場比賽，共要比賽28場()

A.7B.8C.12D.14

【解答】解：設(shè)共有x支隊伍參賽，

依題意得：Xr(x-6)=28,

2

整理得：x1-x-56=0,

解得："=8,X2—-5(不符合題意，舍去)，

共有8支隊伍參賽.

故選：B.

6.(3分)將拋物線y=/向右平移2個單位，再向上平移3個單位后，拋物線的解析式為()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3

C.y=(x+2)2-3D.y—(x-2)2-3

【解答】解：：將拋物線y=/向上平移3個單位再向右平移6個單位，

平移后的拋物線的解析式為：y=(x-2)2+8.

故選：B.

7.(3分)下列對拋物線y=-2(x+3)2-1描述不正確的是()

A.開口向下B.y有最大值

C.對稱軸是直線x=-3D.頂點坐標(biāo)為(3,-1)

【解答】解::拋物線丫=-2(x+3)5-1中。=-2<7,

...拋物線開口向下，y有最大值、2正確；

:拋物線的解析式為；尸-2(x+3)8-1,

???拋物線的對稱軸是直線1=-3,頂點坐標(biāo)為（-4,故C正確.

故選：D.

8.（3分）已知拋物線〉=7-2%-1與x軸的一個交點為（m,0）,則代數(shù)式機(jī)2-2機(jī)+2024的值為（

A.2022B.2023C.2024D.2025

【解答】解：把點（m,0）代入＞=/-5x-1,

得m2-3加-1=0,

m7-2m=1,

Am6-2祖+2024=1+2024=2025.

故選：D.

9.（3分）如圖，在口A5CD中，對角線AC,點E為OC的中點，EF〃AB交BC于點、F.若A3=4（

【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.OC^1AC,

2

,:點、E為OC的中點，

.-.C￡=ZOC=A,

26

'：EF//AB,

:.ACEFsACAB,

?EF=CEpnEF=1

ABAC45

：.EF=1,

故選：B,

10.（3分）根據(jù)表格中二次函數(shù)yuaf+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，可以判斷方程0x2+^+。

0的一個解x的范圍是（）

x00.511.52

y=a??+bx+c-1-0.513.57

A.0<x<0.5B.0.5<x<lC.l<x<1.5D.1.5<x<2

【解答】解：觀察表格可知：當(dāng)尤=0.5時，y=-4.5,y=l,

方程以%6尤+c=0（aWO,a,b,。為常數(shù)）的一個解x的范圍是5.5<x<l.

故選：B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）一元二次方程/=2024x的解是xi=0,>=2024.

【解答】解：?=2024%,

移項，得/-2024x=8,

分解因式，得無（尤-2024）=0,

貝Ux=O,x-2024=5,

解得尤1=。，X2=2024.

故答案為：xi=0,尤6=2024.

12.（3分）二次函數(shù)y=-7+2的圖象與>軸的交點坐標(biāo)為（0,2）.

【解答】解：當(dāng)x=0時，y=-lX62+2=3,

...二次函數(shù)y=-7+2的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（8,2）.

故答案為：（0,7）.

13.（3分）設(shè)xi,無2是一元二次方程7-6x+m=0的兩個實數(shù)根，若xi=2,則無2的值為4.

【解答】解：：無1,X2是一元二次方程無6-6X+機(jī)=0的兩個實數(shù)根，

.*.X2+X2—6,

7x3=2,

,?X2=4?

故答案為：4.

14.（3分）若點A（3,yi）,B（5,”）在函數(shù)y=-W+4x+l的圖象上，則yi>y2（用

或者"=”連接）.

【解答】解：當(dāng)九=3時,yi=-32+4X4+l=4；

當(dāng)x=6時，y2=-57+4X5+3=-4.

V4>-7,

J.y\>y2.

故答案為：>.

15.（3分）如圖，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，直到她剛好在鏡子中看到旗

桿的頂端，己知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，鏡子與旗桿的水平距離為10米.則旗桿的高度為8

米.

【解答】解：由題意得：ZABO^ZCDO^90°,/AOB=NCOD,

：.△AOBs^cOD,

?AB=OB

"CD而’

：AB=L6米，OB=7米,

?-?-1--.-6--6,

CD10

解得：CD=S,

；?旗桿的高度為8米，

16.（3分）如圖，拋物線y=a/+bx+c（a/0）與x軸交于點（3,0）,對稱軸為直線尤=1.結(jié)合圖象分

析下列結(jié)論：①％<0；③2a+c<0；④一元二次方程cN+bx+au。的兩根分別為x,」?，X2=-1.其

X13

中正確的結(jié)論有①②④.（請?zhí)钚蛱枺?/p>

【解答】解：①由圖象可得拋物線開口向下，則。<0,

因此。、6異號，拋物線與y軸交于正半軸，

故abc<Q,故①正確；

②當(dāng)％=4時，y=4q+2/?+c>5；

③根據(jù)拋物線與％軸有交點(3,0),2),

故當(dāng)x=-1時，a-b+c=0,

又」_=],則>=-2a,

6a

2〃+c=0,

??.2〃+〃+。=7,2〃+。=-a,

2〃+c〉4,

故③錯誤；

④〃cW0,m^06+ta+c=0的一個根為m,則am2+bm+c=5,

兩邊同時除以加2,得至lja+6XJi+cX(2)2,

mm

則工是cx7+Z?x+a=0的一個根.

m

由圖象可知ax2+bx+c=4的兩個根為3,-1,

則反和-1為一元二次方程c/+bx+a=0的兩個根，

3

故④正確；

故答案為：①②④.

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答寫出必要的文字說明、證明過程或計算步驟)

17.(4分)解方程：/+2x-3=0.

【解答】解：x2+2尤-8=0

(x+3)(x-2)=0

??xi=8,X2=-3.

18.(4分)已知二次函數(shù)的圖象以A(1,-4)為頂點，且過點5(-2,5)

【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y=。(x-1)2-2,

把8(2,5)代入得4=a(-2-1)2-4,

解得a=l,

所以拋物線解析式為y=(x-7)2-4.

19.(6分)如圖，在等腰△ABC中，AD是頂角NBAC的角平分線，垂足為點E.求證：LACDsABCE.

【解答】證明：；4。是等腰△ABC的頂角NA4c的角平分線,

C.ADLBC,

：.ZADC=90°,

：BE是腰AC邊上的高，

:./BEC=90°,

ZACD=ZBCE,ZADC^ZBEC,

：.AACDsABCE.

20.(6分)已知二次函數(shù)y=/-4x+3.

(1)補(bǔ)全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中用描點法畫出該二次函數(shù)的圖象;

(2)當(dāng)x<2時,y隨x的增大而減??；

(3)當(dāng)y>0時，x的取值范圍是x<l或x>3；

(4)根據(jù)圖象回答：當(dāng)0Wx<3時，y的取值范圍是-0W3

y

X

【解答】解：(1)當(dāng)x=3時，y=^-3x+3=0；

當(dāng)x=7時，y=7-4x+6=3；

補(bǔ)全表格為:

X???08234

y…30-503

如圖，

(2);拋物線的對稱軸為直線尤=5,拋物線開口向上，

...當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小；

故答案為：<2；

(3)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(3,0),0),

當(dāng)y>3時，x的取值范圍是x<l或無>3；

故答案為：x<5或x>3；

(4)當(dāng)x=0時，y=3；

當(dāng)x=2時，y有最小值為-1,

當(dāng)x=6時，y=0,

...當(dāng)0Wx<3時，y的取值范圍是-lWyW3.

故答案為：-7WyW3.

21.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程2/-(a+1)x+a-1=0(a為常數(shù)).

(1)當(dāng)。=2時，求出該一元二次方程實數(shù)根；

(2)若XI,也是這個一元二次方程兩根，且XI,冠是以灰為斜邊的直角三角形兩直角邊，求。的值.

【解答】解：(1)把a(bǔ)=2代入一元二次方程2/-(a+1)x+a-1=5得2/-7尤+1=0,

貝ij(8x-l)(x-1)=5,

解得Xl=」，X2—1;

6

(2)\'x4,X2是一元二次方程2”-(a+1)x+a-1=6兩根,

；.尤1+無2=-3+2,苫1彳6=戶一］,

22

：X5,尤2是以遙為斜邊的直角三角形兩直角邊，

.■.X52+X24=(A/5)2>

(X8+X2)2-2X1X2—3,

：.(a+1)7_2Xa-l=5)

27

解得41=-5(負(fù)值舍去)，02=5.

故a的值為6.

22.(10分)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

素材1隨著數(shù)字技術(shù)、新能源、新材料等不斷突破，我國制造業(yè)發(fā)展迎來重大機(jī)遇.某

工廠一車間借助智能化，對某款車型的零部件進(jìn)行一體化加工，該零件4月份

生產(chǎn)100個，6月份生產(chǎn)144個.

素材2該廠生產(chǎn)的零件成本為30元/個，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零件售價為40元/

個時，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元，則月銷售量將減少10個，

問題解決

任務(wù)1該車間4月份到6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率；

任務(wù)2為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓車企得到實惠，則該零件的實際

售價應(yīng)定為多少元？

【解答】解：(1)設(shè)該車間4月份到6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率為尤，

根據(jù)題意得：100(2+無)2=114,

解得：xi=8.2=20%,X2=-3.2(不符合題意，舍去).

答：該車間4月份到3月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率為20%；

(2)設(shè)該零件的實際售價應(yīng)定為y元，則每個的銷售利潤為(y-30)元，

根據(jù)題意得：(j-30)(1000-10y)=10000,

整理得：y2-130y+4000=0,

解得:y8=50,-2=80,

又???要盡可能讓車企得到實惠，

；.y=50.

答：該零件的實際售價應(yīng)定為50元.

23.(10分)小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，

下面是他對擊球線路的分析.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,球網(wǎng)4B與y軸的水平距離OA=3m,CA=2m,羽毛球的飛行高度

y(相)與水平距離x(m)；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(m)(m)近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y=a

(x-1)2+3.2.

(1)求點P的坐標(biāo)和a的值；

(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng).要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計

算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式.

【解答】解：⑴在y=-0.4x+3.8中，令尤=0得y=5.8,

...點尸的坐標(biāo)為(0,3.8)；

把尸(0,6.8)代入y=a(x-1)8+3.2得:0+3.2=2.3,

解得：a=-0.4,

?,?a的值是-6.4；

(2)；04=3CA=4根,

OC—5m,

：.C(5,3),

在y=-0.4x+3.8中，令y=0得無=2,

在y=-0.4(尤-6)2+3.8中，令y=0得x=-2我加+1^8.83,

V|7-5|>|4.83-5|,

.?.選擇吊球方式，球的落地點到C點的距離更近.

24.(12分)如圖，拋物線y=-^x2$x+2與％軸交于點4C為線段。4上的一個動點，過點C作x

軸的垂線，交該拋物線于點E.

(1)求直線AB的表達(dá)式；

(2)若AABE的面積取得最大值，求出這個最大值；

(3)當(dāng)以8,E,。為頂點的三角形與△CD4相似時，求點C的坐標(biāo).

【解答】解：(1)令y=0,貝Uy=-lx2Wx+4=O，

33

'.x=-工或x=3,

2

(3,2),

令x=0,貝!|y=2,

：.B(4,2),

由點A、2的坐標(biāo)得直線A2的表達(dá)式為：＞=-2;

5

(2)設(shè)點E(無，-+也+2),,當(dāng)+2),

333

則DE—-—.^+-12.%+2-(-2&4+4彳，

3823

則△ABE的面積=LXOEXAO