2024—2025學年高一上學期期中考試

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/={"11<耳，8={-3,-1,0,2,3},則4口5=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-1,0,2}D.{-3,-1,0}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合幺=,卜<痣},再利用交集運算即可求解.

【詳解】由題意可得集合/=卜卜<痣},因為1<痣<2，

且8={—3,—1,0,2,3},則Nc8={-3,-1,0},故D正確.

故選：D.

2.下列命題中正確的是（）

A.若a〉6〉0,則/〉/8.若。<6,貝1Jac?<be?

C.若a<b,則工〉工D.若a>6,貝!Jac>be

ab

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A；舉反例判斷BCD.

【詳解】對于選項A：若a〉b〉0,由不等式的性質(zhì)可得/〉/,故A正確;

對于選項BD：例如。=0,可得4°2=6°2=0,ac=bc=Q,故BD錯誤;

對于選項C：利用。=-1/=1,可得！==即,〈工，故C錯誤；

abab

故選：A.

3.已知命題?：VxeR.ax?+2x+3〉0為真命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.sa|0<tz<^->B.stz|0<a<j?C.jtz|tz>j?D.jtz|tz>j

【答案】D

【解析】

【分析】問題轉(zhuǎn)化為不等式4/+2》+3〉0的解集為R，根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.

【詳解】因為命題夕：7%€11,℃2+2》+3〉0為真命題，所以不等式℃2+2》+3〉0的解集為R.

3

所以：若a=0,則不等式辦2+2x+3〉0可化為2x+3〉0nx〉一一，不等式解集不是R；

2

a>01

若。工0,則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：〈入'-『a>_.

[A=22-12a<03

綜上可知：a>-

3

故選：D

3x+5,x<1,

4.已知函數(shù)/（x）=<則/（〃2））的值為（)

—2x?+8,x>1,

A.4B.5C.8D.0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求得正確答案.

【詳解】因為f（x）=所以/（2）=—2x2?+8=0,

所以/（/（2））=/⑼=3X0+5=5.

故選：B

5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增的是（）

A./(x)=-B./(x)=ev

c./(X)=x2D./(x)=x--

X

【答案】D

【解析】

【分析】由常見函數(shù)的函數(shù)圖像即可判斷奇偶性和在區(qū)間(o,+。)上的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/(x)=，是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減，故A不符合題意；

X

函數(shù)/(x)=e工是非奇非偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，故B不符合題意；

函數(shù)/(x)=x2是偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，故C不符合題意；

函數(shù)/(x)=x_工的定義域為(―s,0)U(0,+8),且滿足/(—x)=_x+，=_/(x),

XX

又函數(shù)y=x和y=-1?均在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，

X

所以函數(shù)/(x)=x—L在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，即函數(shù)/(x)=x—工既是奇函數(shù)，

XX

又在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

6.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(-x)+〃x)=0,且當x<0時，/(x)=(+2,貝U/(l)=(

A.2B.4C.-2D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】利用題意結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷/(x)是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(f)+/(x)=0,

所以/(x)是奇函數(shù)，且/(0)=0,故1+2=0,解得a=—2,

2

故當x<0時，/(%)=--+2,由奇函數(shù)性質(zhì)得/(1)=—

2

而=_尸+2=—2,故=1)=2,故A正確.

故選：A

233

7.已知q=b=c=[gj，則a,b，c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)新函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定大小即可.

36

25

【詳解】易知2

3

2K

2r\

又〉=定義域上單調(diào)遞減，一<1<一,所以6〉一〉c,

453

2432

易知y=x■(%>0)單調(diào)遞增,

223

4y23tr

則”5)

>>=b,

3

綜上a>b>c.

故選：A

X+V1-X,X<1,

8.函數(shù)/(x)=<41的值域為()

Xd---->I

x-l

-0°,|U[5,+oo)5匚

A.B.—,5

4

C.-00,U[4,+8)D?4

【答案】A

【解析】

5

【分析】由分段函數(shù)解析式，利用換元法可求得時函數(shù)/(')的值域為—00—,再由基本不等式可求

4

得當X>1時，函數(shù)/(X)的值域為卜,+8),即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意當時，/(x)=x+JM,

，可得問0,+8),所以x=l",因此可得/?)=72+/+1=—/

令J1—X=tI

1J___5

由二次函數(shù)性質(zhì)可得當/=—,即》=—時，/(%)=》+?匚］,%41取得最大值一,

24v74

此時/（x）=x+J匚?的值域為

444

當x>l時，/(%)=%+——=x-l+——+1>2(x-1)----+1=5,

X1X1VX1

當且僅當X-l=即x=3時，等號成立;

此時f[x)=x+-^—,x>\的最小值為5,因此f[x)=x+-^—,x>\的值域為[5,+00)；

X—1X—1

綜上可得，函數(shù)/（X）的值域為1一叫:U[5,+S）.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用分段函數(shù)/（X）的解析式，由各段的函數(shù)性質(zhì)利用換元法和基本

不等式即可求得函數(shù)值域.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的有（）

A.“a〉1”是“，<1”的充分不必要條件

a

B.命題“Vx<142<1，，的否定是，，*>1,%221”

C.若。>6,則

CC

D.若a>0,b>Q,且a+46=l,則工+工的最小值為9

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)充分和必要條件，全稱量詞命題的否定、不等式、基本不等式等知識對選項進行分析，從而

確定正確答案.

【詳解】選項A,若?！?,則L<1；若工<1,則。有可能是負數(shù)，此時?！?不成立，

aa

故“a〉1”是“工<1”的充分不必要條件，正確，符合題意；

a

選項B,命題必<i"的否定是“土（I]21"，錯誤，不符合題意；

ah

選項C,若a>b,則二>二，正確，符合題意；

選項D,若。>0,Z?>0,且。+46=1,

E11(1、146a..4b

則---1--二—+gj(a+4b)=I+—+—+4>5+2.

ab、aaba

4baI1

當且僅當一二一，即。=—,6=—時，取等號,

ab36

故工+工的最小值為9,正確，符合題意.

ab

故選：ACD

10.已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x20時，/(X)=X2-2X,則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1)和(l,+8)

B./(x)=0有3個根

c.切(x)<0的解集為(—2,0)U(0,2)

D.當x<0時，/(x)=-x2+2x

【答案】ABC

【解析】

【分析】先求得x<0時/(x)的解析式判斷選項D；求得/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間判斷選項A；求得/(x)=0

的根的個數(shù)判斷選項B;求得"(X)<0的解集判斷選項C.

【詳解】由"X)是定義在R上的奇函數(shù)知，對任意xeR,/(—x)=—/(x).

當x<0時，—%>09又當x20時，/(X)=X2-2X,

所以=-/(一X)=-[(一]『-2(f)]=--一2x,故D錯誤.

x2-2x,x>0,

由上可知/(x)=<

—-2x,x<0,

又拋物線y=2x的對稱軸為直線x=l,開口向上,

拋物線y=一，一2%的對稱軸為直線x=-1,開口向下,

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-嗎-1)和(1,+s),故A正確.

x>0x<0

由/(x)=0可得<或<

X2-2X=0—x2—2x=0

解之得，x=0或x=2或％=-2,故B正確.

/、

由如）<0,可得］x.1<02x〉0或kx2>x0<0

解得-2<x<0或0<x<2,故C正確.

故選：ABC

、x2,x>0

11.已知函數(shù)/（x）=:，則下列判斷錯誤的是（）

2x,x<0

A./（x）是奇函數(shù)B./（切的圖像與直線>=1有兩個交點

C./（X）的值域是［0,+8）D./（X）在區(qū)間（-8,0）上是減函數(shù)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式及基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一分析即可.

【詳解】如圖所示，作出函數(shù)圖象，顯然圖象不關(guān)于原點中心對稱，故A不正確；

函數(shù)圖象與直線>=1有一個交點，故B錯誤；

函數(shù)的值域為［0,+8）,且在區(qū)間（-8,0）上是減函數(shù)，即C、D正確;

故選：AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.能說明“關(guān)于x的不等式/_"+2a〉0在R上恒成立"為假命題的實數(shù)。的一個取值為.

【答案】0（答案不唯一）

【解析】

【分析】將關(guān)于x的不等式qx+2a〉o在R上恒成立問題轉(zhuǎn)化為A<0,從而得到。的取值范圍，命

題為假命題時。的取值范圍是真命題時的補集，即可得。的取值.

【詳解】若不等式ax+2a〉0在R上恒成立，則△=（―?！骸?x2。<0,

解得0<a<8,

所以該命題為假命題時實數(shù)。的取值范圍是a<0或a>8，

所以實數(shù)。的一個取值為0.

故答案為：0（答案不唯一，只要滿足“aWO或。28”即可）.

13.已知函數(shù)/（力二力6_》］〉2則不等式/（X）〉/的解集為.

【答案】（1,4）

【解析】

11

【分析】在同一直角坐標系中，作出函數(shù)y=f（x）及v=》5的圖象，即可求得不等式/（X）〉/的解集.

故答案為：（1,4）

3

14.已知正數(shù)x/滿足2"3=8了，則x+一的最小值為

【答案】9

【解析】

3

【分析】先根據(jù)指數(shù)運算求出x=3y+3,代入x+一中，再利用基本不等式可得最小值.

y

【詳解】2>3=8〉=23>，可得x=3y+3,又x>0,j>0,所以

33I~r

廣一+3=9,

X+_=3V+-+3>2X3

當且僅當^=工，即>=1時取得最小值.

故答案為：9

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)全集U=R,集合N={x|lVxV5},集合5={x|—l——2}.

(1)若a=4,求/U8，Nc(dB)；

(2)若BqA,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)AuB=(x|-9<x<5},-4n(^5)={x|2<x<5}；

(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)并集與交集，補集的概念直接計算.

(2)根據(jù)集合間的包含關(guān)系，列不等式，解不等式即可.

【小問1詳解】

因為a=4,所以8={1卜9VxV2}.

因為Z={x|lVxV5},所以=3-9Wx<5}.

因為U=R,所以d8={x|x<—9或x>2},所以Zc(d8)={x[2<xV5}.

【小問2詳解】

因為51Z.

①當5=0時，滿足Bq/,此時一l—2a〉a—2,解得。<§；

②當時，要滿足則{。―2<5,解得4E0

—1—2。<a—2,

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是

16.已知y=/(x)在(0,+s)上有意義，單調(diào)遞增且滿足/⑵=1J(町)=/(x)+/(y).

(1)求證：/(X2)=2/(X)；

(2)求不等式的/(x)+/(x+3)<2的解集.

【答案】(1)證明見解析

(2){x|O<x<l}

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，通過令>=x,即可證明結(jié)果；

(2)根據(jù)條件得到/(x(x+3》W/(4),再利用/(x)在區(qū)間(0,+“)上的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

因為/(盯)=/("+/(田，令〉=x,^iij/(x2)=/(x)+/(x)=2/(x),

所以/(x)=2/(x).

【小問2詳解】

?.-/(x)+/(x+3)=/(x(x+3))<2=2/(2)=/(4),

又函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，

x>0

所以卜+3>0,解得0<1工1,

x(x+3)<4

所以不等式的/(x)+/(x+3”2的解集為{x|0<x〈l}.

17.已知函數(shù)〃力=生電，點幺(1,5),8(2,4)是/(x)圖象上的兩點.

(1)求。，b的值；

(2)求函數(shù)/(x)在［1,3］上的最大值和最小值.

6Z=1

【答案】(1)7

0=Q8

7

(2)/(x)max=5,/(x)^=-

【解析】

【分析】(1)把圖象上的兩點代入函數(shù)解析式，由方程組求。，b的值：

(2)定義法求函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性求最值.

【小問1詳解】

因為點4(1,5),8(2,4)是/(x)圖象上的兩點,

「2+6

5=----

Q+1a—\

所以解得《

/4+6b=8

4=--------

2（7+1

【小問2詳解】

設(shè)1VX]<W3,

2xj+82x+8_65-X）

則/(七)一/(%)2

Xj+1x2+1（X]+1）（》2+1）'

因為14再<%243,所以％2—玉〉0，（再+1）（%2+1）>0，

則/(再)-/(%2)>0,即/(西)〉/(々),

OrIQ

所以函數(shù)/(x)=在[1,3]上單調(diào)遞減.

X十1

7

故/(X)max=/(l)=5,/(X)mm=/(3)=j.

18.已知函數(shù)y(x)=/^.

⑴求/⑼與/⑵，/(—1)與"3)的值；

(2)由(1)中求得的結(jié)果，猜想f(x)與/(2-x)的關(guān)系并證明你的猜想；

(3)求/(一2020)+/(-2019)+…+/(0)+/⑴+/(2)+…+/(2021)+/(2022)的值.

1121

【答案】⑴)7(0=->/2=-,/-1=7-/(3=-

36510

(2)/(x)+/(2-x)=1,證明見解析

4043

(3)

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意代入0,2,-1,3求值即可;

(2)根據(jù)⑴的結(jié)果猜想/(x)+〃2—x)=g,計算/(x)+/(2—x)的值即可證明;

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果可得/(-2020)+/(2022)=g,根據(jù)規(guī)律計算即可求解.

【小問1詳解】

解：因為/(x)=5匕故〃。)=達]_/⑵金2

365

/⑶金1

10

【小問2詳解】

解：猜想：y(x)+/(2—x)=5,

112*2X

證明：???對于任意的xeR,者B有/Q—")―5r4^一了工一詔工