第9章第5節(jié)絕對(duì)收斂和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)_第1頁(yè)
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引言

對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們給出絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，無(wú)論是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)還是條件收斂級(jí)數(shù),都具有本章第二節(jié)所給出的1-4個(gè)性質(zhì),除此而外,對(duì)于這兩種不同的收斂級(jí)數(shù),還具有各自不同的重要性質(zhì).本節(jié)分別進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹和討論.12/10/20241定理1:即即一.絕對(duì)收斂和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)此定理揭示的規(guī)律？12/10/20242則這樣的級(jí)數(shù)與原來(lái)級(jí)數(shù)的收斂性有如下結(jié)論:12/10/20243證明：做與（2）結(jié)論相反的反面假設(shè)：12/10/20244更序級(jí)數(shù)：一個(gè)級(jí)數(shù)把它的項(xiàng)重新排列后

得到的新級(jí)數(shù)稱(chēng)為原來(lái)級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)。下面的定理2將涉及到一個(gè)概念12/10/20245定理2：證明：(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可重排性)12/10/2024612/10/2024712/10/20248證畢12/10/20249注意：定理對(duì)條件收斂級(jí)數(shù)不一定成立.如萊布尼茨級(jí)數(shù)兩者雖然都收斂，但其和數(shù)卻不同.12/10/202410關(guān)于條件收斂級(jí)數(shù),有如下性質(zhì):黎曼定理:證明思路:(略)12/10/202411二.級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算:

解決的問(wèn)題是在什么條件下,兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘可以像有限和一樣逐項(xiàng)相乘.12/10/202412通常用“對(duì)角線法”或“正方形法”排列.將數(shù)列用加號(hào)相連，就組成無(wú)窮級(jí)數(shù).對(duì)角線法12/10/202413正方形法12/10/202414定理3(柯西定理):12/10/202415證明:12/10/20241612/10/20241712/10/202418證畢12/10/202419梅爾騰斯（Mertens）定理：

定理2和定理3指出，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有和普通有限項(xiàng)和數(shù)相仿的兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)---交換律和分配律成立

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