專題01有理數

?？键c歸納

【考點01］正負數

【考點02］相反意義的量表示

【考點03】有理數的概念辨析

【考點04】有理數的分類

【考點05】有理數的大小比較

【考點06］數軸的三要素及其畫法

【考點07】利用數軸比較有理數的大小

【考點08】數軸上兩點之間的距離【考點題型九】數軸上的動點問題

【考點09］相反數的概念

【考點10］相反數的性質運用

【考點U】絕對值定義、絕對值的性質

【考點12］化簡絕對值

【考點13］非負性的性質

識梳理

知識點1：正數和負數

（1）概念

正數：大于0的數叫做正數。

負數：在正數前面加上負號“一”的數叫做負數。

注：。既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界線，是整數，自然數，有理數。

（不是帶“一”號的數都是負數，而是在正數前加“一”的數。）

（2）意義：在同一個問題上，用正數和負數表示具有相反意義的量。.

知識點1：有理數

（1）概念

整數：正整數、0、負整數統(tǒng)稱為整數。

分數：正分數、負分數統(tǒng)稱分數。（有限小數與無限循環(huán)小數都是有理數。）

注：正數和零統(tǒng)稱為非負數，負數和零統(tǒng)稱為非正數，正整數和零統(tǒng)稱為非負整數，負整數和零統(tǒng)稱

為非正整數。

（2）分類：兩種

⑴按正、負性質分類：⑵按整數、分數分類：

「正有理數正整數正整數

有理數正分數整數V0

Y

零有理數J'負整數

1負有理數1〔分數_

-負整數｛正分數

負分數負分數

知識點L數軸

（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

三要素：原點、正方向、單位長度

（2）對應關系：數軸上的點和有理數是一一對應的。

比較大?。涸跀递S上，右邊的數總比左邊的數大。

（3）應用j求兩點之間的距離：兩點在原點的同側作減法，在原點的兩側作加法。

（注意不帶“+”“一”號）

知識點1：相反數

（1）概念代數：只有符號不同的兩個數叫做相反數。（0的相反數是0）

幾何：在數軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫做相反數。

（2）性質：若a與b互為相反數，則a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,則a與b互為相反數。

「兩個符號：符號相同是正數，符號不同是負數。

（3）多重符號的化簡-

-多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負號的個數

（注意：當“一”號的個數是偶數個時，結果取正號當“一”號的個數是奇數個時，結果取負號）

知識點1：絕對值

（1）幾何意義：一個數的數量大小叫作這個數的絕對值。

廠個正數的絕對值是它的本身(若|a|=|b|,貝！|a=b或a=-b)

(2)代數意義j一個負數的絕對值是它的相反數

0的絕對值是0

(3)代數符號意義：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,則a，0,|a|=-a,貝ljaW0|

.a=0,|a|=0

,a<0,|a|=-a

注：非負數的絕對值是它本身，非正數的絕對值是它的相反數。

(4)性質：絕對值是a(a>0)的數有2個，他們互為相反數。即土a。

(5)非負性：任意一個有理數的絕對值都大于等于零，即|a|20。幾個非負數之和等于0,則每個非負數都

等于0。故若|a|+|b|=0,則a=0,b=0

1.數軸比較法：在數軸上，右邊的數總比左邊的數大。

(6)比較大小

L2.代數比較法：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數。

兩個負數比較大小時，絕對值大的反而小。

度M點精講

【考點01］正負數

【典例1】中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上

首次正式引入負數.如果支出1000元記作-1000元，那么+1080元表示()

A.支出80元B.收入80元C.支出1080元D.收入1080元

【答案】D

【分析】此題考查了正負數的應用，根據正負數是表示一對意義相反的量進行辨別，解題的關鍵是能準

確問題間的數量關系和具有意義相反的量.

【詳解】解：回支出1000元記作一1000元，

國+1080元表示表示收入1080元，

故選：D.

【變式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影響，全球經濟大幅下滑，經合組織預計，2020年全球經濟下降為

4.5%,記作-4.5%,與此同時，經合組織預計2020年美國經濟增速預期為-3.8%,2020年歐元區(qū)經濟

增速為-7.9%.按照經合組織的預期，2020年中國經濟將實現1.8%的增長，應記作（），是二十國

集團中唯一實現經濟正增長的國家

A.+1.8%B.-1.8%C.+1.8D.-7.9%

【答案】A

【分析】本題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解"正〃和"負”的相對性，明確什么是一對具有相

反意義的量，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.首先審清題意，

明確"正"和"負"所表示的意義；再根據題意作答.

【詳解】解：下降記為"一"，則增長記為"+〃，所以增長1.8%,記為+1.8%.

故選：A

【變式1-2】在一2,+3,5,0,-j,-0.7,11中，負分數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查有理數，根據分數的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：在一2,+3.5,0.一%-0.7,U中，負分數有一|,一0.7,共2個，

故選：B

【變式1-3】在一2,+3,5,0,-|,-0.7,H中，負分數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查有理數，根據分數的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：在一2,+3.5,0,一|,一0.7,11中，負分數有一：,一0.7,共2個，

故選：B

【變式1-4】有一組數為：—1,一；，；，-i…找規(guī)律得到第7個數是（）

23456

11

A.--B.-C.-7D.7

【答案】A

【分析】通過觀察，按照排列順序，第奇數個都是負數，偶數個都是正數，分母就是它們的序數，分子

都是1.

本題是信息給予題，認清規(guī)律是解題的關鍵.

【詳解】解：團第7個數，7是奇數，

國應該是負數，即—

故選A.

【考點02］相反意義的量表示

【典例2】如果收入100元記作+100元，那么支出300元記作（）

A.一300元B.+300元C.1300元D.+1300元

【答案】A

【分析】本題主要考查正負數的意義，正確理解正負數的意義是解題的關鍵.根據正負數的實際意義進

行排除選項即可.

【詳解】解：由收入100元記作+100元，那么支出300元記作-300元；

故選A.

【變式2-11張老師對全班同學以90分為標準計分，小明得95分，記作+5分；小麗被記作-3分，則小

麗的實際分數為（）

A.93B.92C.87D.88

【答案】C

【分析】本題考查了正數與負數表示意義相反的兩種量，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個

為正，則另一個就用負表示，解題的關鍵是理解"正"和"負"的相對性.

【詳解】解：團以90分為標準計分，小明得95分，記作+5分；

回小麗被記作-3分，則小麗的實際分數為90-3=87分，

故選：C.

【變式2-2】規(guī)定：（i2）表示向右移動2,記作+2,貝1（-3）表示向左移動3,記作（）

A.+3B.—3C.—D.H—

33

【答案】B

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示，"正"和"負"相對，

據此求解即可，

本題考查了正數和負數，解題關鍵是理解"正"和"負"的相對性，確定一對具有相反意義的量.

【詳解】解：???"正"和"負"相對，

.如果(->2)表示向右移動2,記作+2,則(―3)表示向左移動3,記作-3,

故選：B.

【變式2-3】根據文獻記載，魏晉學者劉徽是引入負數概念的第一人，他在注解《九章算術》時寫道："正

算赤，負算黑；否則以斜正為異.今兩算得失相反，要令正負以名之."簡而言之，劉徽不僅給了正負數

定義，而且還指出用赤黑區(qū)分正負數，即“正算赤，負算黑如果向東走30米記作"+30米"，那么向西

走70米記作.

【答案】-70米

【分析】本題考查正負數的意義，根據正負數表示意義相反的量，向西走為正，則向東走為負，即可得

出結果；

【詳解】解：向東走30米記作"+30米"，那么向西走70米記作-70米；

故答案為：-70米

【考點03】有理數的概念辨析

【典例3】在數段一巳，一￡,0.4,0.3333.1415926中，有理數有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】C

【分析】本題考查有理數的定義，根據有理數的定義逐個判斷即可得出答案.

【詳解】解：有理數有松，0.4,0.333???,3,1415926,共5個.

故選：C

【變式3-1］下列判斷語句中，錯誤的是()

A.最小的正整數是1B.最大的負整數是-1

C.沒有最大的有理數D.最小的有理數是0

【答案】D

【分析】本題主要考查的是有理數的知識，解決本題的關鍵是熟記沒有最大的有理數，也沒有最小的有

理數.

【詳解】解：A.最小的正整數是1,說法正確，不符合題意；

B.最大的負整數是-1,說法正確，不符合題意；

C,沒有最大的有理數，說法正確，不符合題意；

D,沒有最小的有理數，說法錯誤，符合題意；

故選：D.

【變式3-2］在3.14,y,0,或0.1010010001中，有理數有（）

A.5個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題考查了有理數的概念，解題的關鍵是掌握有理數的概念.根據有理數的概念依次判斷即可.

【詳解】解：3.14是有限小數，是有理數；

B是分數，是有理數；

。是整數，是有理數；

三是無限不循環(huán)小數，是無理數；

0.1010010001是有限小數，是有理數；

故有理數有4個，

故選：D.

【變式3-3】零是（）

A.最小的整數B.最小的正數C.最小的有理數D.最小的非負整數

【答案】D

【分析】本題考查有理數，掌握最大的負整數是-1,最小的正整數是1.注意：有理數既沒有最大也沒

有最小.熟練掌握0的特殊性十分重要.

根據0的特殊性，利用排除法進行選擇.

【詳解】解：A、沒有最小的整數，故此選項不符合題意；

B、沒有最小的正數，故此選項不符合題意；

C、有理數沒有最大最小，故此選項不符合題意；

D、非負整數就是正整數或0,所以0最小，故此選項符合題意.

故選：D.

【考點04］有理數的分類

【典例4】把下列各數分別填在相應的集合內：-11、4.8、73、-2,7、［、3.1415926、-|、0

正數集合{}

負分數集合｛｝

非負整數集合｛｝

【答案】見詳解

【分析】本題考查了有理數的分類，涉及正分數、負數、整數以及非正整數的定義，難度較小；大于0

的分數是正分數；小于0的分數是負分數；整數是包括正整數、零、負整數;非正整數包括零、負整數.根

據正數、負分數、非負整數的定義進行作答即可.

【詳解】解:正數集合｛4.8、73、->3,1415926,……｝

6

負分數集合｛—2.7、—"……｝

非負整數集合｛73、0,......｝

【變式4-1］將有理數-2.5,0,2|,2024,-35%,0.6(兩數之間用逗號隔開)分別填在相應的括號里.

整數：｛...｝；

負數：｛

非負數：｛

【答案】0)2024；-2.5,-35%；0,252024,0.6

【分析】本題主要考查了有理數分類，理解并掌握有理數的概念和分類是解題關鍵.根據有理數的分類，

逐一分類填寫即可.

【詳解】解：整數：｛0,2024...｝；

負數：(-2.5,-35%...)；

非負數：｛0,2|,2024,0.6...｝

【變式4-2】將下列各有理數按照分類填入下面對應的大括號內：

—2,25,+16,—,-4,3.14,0,一,—,—.

4749

有理數數集合：｛｝

整數集合：｛｝;

負數集合：｛｝;

分數集合：｛｝:

【答案】見解析

【分析】本題考查了有理數的分類，根據有理數的分類對各數進行判斷即可得出答案，熟練掌握有理數

的分類是解此題的關鍵.

【詳解】解：有理數數集合：｛一2.25,+16,—%-4,3.14,0,y,-|｝

整數集合：｛+16,-4,0);

負數集合：｛-2.25,—4,—p—1｝；

49

分數集合：｛-2.25,/3.14,y,-1).

【考點05】有理數的大小比較

【典例5】比較大小：一（+｛）-|-||（填"＞"、"="、"＜"號）.

【答案】＞

【分析】本題主要考查了比較有理數的大小，化簡多重符號和絕對值，先化簡多重符號和絕對值求出兩

個數，再根據正數大于0,0大于負數，兩個負數比較大小，絕對值越大，其值越小進行求解即可.

【詳解】解：一（+!）=—I，TT|=—也

0I--I=-=-＜|--|

I4l424I6l624

回_（+0＞TT,

故答案為：＞.

【變式5-1】比較大小：一|一|（填“"（"或"="）

【答案】＞

【分析】本題考查的是有理數的大小比較，熟知兩個負數，絕對值大的其值反而小是解答此題的關鍵.根

據兩負數比較大小的法則進行比較即可.

【詳解】W：-|-||=|＜1-11=1-

32

故答案為：＞.

【變式5-2】比較大?。阂唬糭--（填〃〃或"=〃）

34

【答案】＞

【分析】本題考查了有理數的大小比較，根據兩個負數，絕對值大的反而小即可判斷求解，掌握有理數

的大小比較法則是解題的關鍵.

【詳解】解：/11=1,卜11=1,

L23

團

34

故答案為：＞.

【考點06］數軸的三要素及其畫法

【典例6】下列數軸的畫法正確的是（）

.----------?

0

11111

L21012

1-2012

【答案】D

【分析】本題考查數軸的意義和表示方法，掌握數軸的三要素（規(guī)定了原點，單位長度，正方向的直線

叫做數軸）是正確判斷的前提.根據數軸的意義，數軸的三要素進行判斷即可.

【詳解】解：A、缺少單位長度，故此選項不符合題意；

B、缺少正方向，故此選項不符合題意；

C、-1和-2標錯了，故此選項不符合題意；

D、規(guī)定了原點，單位長度，正方向的直線叫做數軸，故此選項符合題意.

故選：D.

【變式6-1】下面是四名同學畫的數軸，其中正確的是（）

LILI?

A.T-2012B.-2-1123

1Illi

c.一2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本題考查數軸，熟知規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸是解題的關鍵.據此對各

選項逐一分析判斷即可.

【詳解】解：A.數軸上的點應該越向右越大，-2與-1位置顛倒，故此選項不符合題意；

B.沒有原點，故此選項不符合題意；

C.沒有正方向，故此選項不符合題意；

D.數軸畫法正確，故此選項符合題意.

故選：D.

【考點07】利用數軸比較有理數的大小

【典例7】已知一組數：|一3|,-j,0,-(-1.5),-1.

(1)把下列這條直線補充成一條數軸，并把這些數用數軸上的點表示出來；

_5-4-3-2-I0I23456

(2)把這些數按照從小到大的順序排列，并用"<”號連接起來.

【答案】⑴見解析

(2)-|<-1<0<-(-1.5)<|-3|

【分析】本題主要考查了用數軸表示有理數，利用數軸比較有理數的大小.

(1)在數軸上根據有理數與數軸的對應進行畫圖即可；

(2)根據數軸上左邊的數小于右邊的數用小于號把各數連接起來即可.

【詳解】(1)|一3|=3,-(-1.5)=1.5,

如圖所示，即為所求；

5

2—|0—(―1^)1—31

-I----1——I—-----A----i--------------i----1-----1-----L_>

_5-4-3-2-I0123456

(2)從小到大的順序排列如下：

-j<-1<0<-(-1.5)<|-3|.

【變式7-1］有理數a,6在數軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是()

-b~=46~a1

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.|a|>\b\

【答案】B

【分析】先根據數軸可以得到6<0<a,且網>|a|,再利用實數的運算法則即可判斷.本題主要考查

了利用數軸來進行實數大小比較.由于引進了數軸，我們把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”

結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數形

結合的數學思想.

【詳解】解：根據點在數軸的位置，知：b<0<a,且網>|a|.

A>v6<0<a,且|b|>|a|,a+b<0,故本選項錯誤；

B、?.?b<a,h-a<0,故本選項正確；

C>va>0,b<0,ab<0,故本選項錯誤；

D>\b\>|a|,故本選項錯誤.

故選：B.

【變式7-2］如圖，若點A,B,。所對應的數為a,b,c,則下列大小關系正確的是（）

BCA

▲▲?▲?一?A?

-3-2-10123

A.a<b<—cB.b<—c<aC.—a<c<bD.a<—c<—b

【答案】B

【分析】本題考查了有理數的大小比較，從數軸得出6<0<c<a,|a|>\b\>|c|,據此判斷即可.解

決本題的關鍵是熟記數軸上右邊的數大于左邊的數.

【詳解】解：由題意可知，b<0<c<a,且|a|>|b|>|c|,

<-c<a,故選項A不合題意；

0a>—c>/?,故選項B合題意；

0-a<b<c,故選項C不合題意；

Sc<—b<a,故選項D符合題意.

故選：B.

【變式7-3］在數軸上與原點的距離不大于4的整數點有（）

A.5個B.6個C.9個D.8個

【答案】C

【分析】本題考查了數軸，先畫出數軸，根據數軸和絕對值的幾何意義進行分析解答.

【詳解】解：如圖所示：

-5-4-3-2-102345

在數軸上與原點的距離不大于4的整數點有-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4.共9個.

故選：c.

【變式7-4](1)把數軸補充完整；

(2)在數軸上表不下列各數：0,—(—2),—4,3+(—5)；

(3)用"〉"將這些數連接起來，

]___1??????___??___?A

0

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)3號>-(-2)>0>-4>+(-5)

【分析】本題考查了數軸的三要素：正方向、原點、單位長度；在數軸上表示有理數，根據數軸上左邊

的數總是小于右邊的數進行判斷，將題目所給的數字準確的表示在數軸上是解本題的關鍵.

【詳解】解：(1)如圖所示：

-5-4-3-2-1012345.

(2)—(—2)=2,+(-5)=-5,

在數軸上表示為：

+(-5)-40-(-2)32

---1111---111__1I---1>

-5-4-3-2-1012345.

(3)3>—(-2)>0>—4>+(-5).

【考點08】數軸上兩點之間的距離

【典例8】同學們都知道，|7-(-3)|表示7與-3之差的絕對值，實際上也可理解為數軸上分別表示7

與-3的兩點之間的距離.試探索：

(1)17-(-3)|=；

(2)找出所有符合條件的整數x,使得|x+4|+|x-1|=5；

⑶對于任何有理數x,阮-3|+|x-6|是否有最小值？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由；

⑷若優(yōu)+1|+比一6|=9時，求x的值.

【答案]⑴10

(2)%=-4,—3,—2,—1,0,1

⑶最小值為3

⑷一2或7

【分析】本題考查數軸和絕對值.理解并靈活運用"兩數之差的絕對值表示這兩個數對應的點之間的距離"

是解題的關鍵.

(1)|7-(-3)|表示7與-3的兩點之間的距離，據此解答即可；

(2)根據比+4|+|%-1|=5表示x與-4的兩點之間的距離和尤與1的兩點之間的距離之和是5可知，

尤表示的點位于-4表示的點與1表示的點之間，據此作答即可；

(3)根據比-3|+|%-6|表示工與3的兩點之間的距離和x與6的兩點之間的距離之和可知，當x表示

的點位于3表示的點與6表示的點之間時，|%-3|+|x-6|有最小值，最小值為3表示的點與6表示的

點之間的距離；

(4)根據兩點間的距離求解即可.

【詳解】(1)國|7-(-3)|表示7與-3的兩點之間的距離，

0|7一(-3)|=10.

故答案為：10;

(2)0|x+4|+|x-1|=5的意義是：表示x與一4的兩點之間的距離和尤與1的兩點之間的距離之和是

5.

0-4<x<1(尤為整數)，

團久=-4,—3,—2,—1,0,1.

(3)對于任何有理數x,|%-3|+|%-6|有最小值.

0|x-3|+|%-6|的意義是：表示x與3的兩點之間的距離和x與6的兩點之間的距離之和.

回當3<久<6時，-3|+|久-6|取最小值，最小值為3.

(4)|x+l|+\x-6\=9的意義是:表示x與-1的兩點之間的距離和x與6的兩點之間的距離之和是9,

06-(-1)=7,

(9一7)-2=1,

-1-1=-2,6+1=7

取的值為-2或7.

【變式8-11點A,B是數軸上的兩點，A,8兩點之間的距離是5,若點A表示-3,則點B表示的數是.

【答案】2或—8

【分析】本題考查了數軸的應用，數軸上兩點間距離，解題的關鍵是能分類討論求出符合條件的所有情

況.根據題意得出兩種情況，當點2在點A的右邊時，當點2在點A的左邊時，分別求出即可.

【詳解】解：根據數軸的特點分兩種情況討論：①當點8在點A的右邊時，-3+5=2；②當點8在

點A的左邊時，一3—5=-8.

回點8表示的數是2或一8.

故答案為：2或—8.

【變式8-2】數軸上的點4到原點的距離是10,則點2表示的數為（）

A.10或一10B.0C.-10D.10

【答案】A

【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離，分兩種情況：當點4在原點的左邊時；當點力在原點右邊時；

分別計算即可得出答案.

【詳解】解：當點a在原點的左邊時，o—io=-io；當點a在原點右邊時，o+io=io,

故選：A.

【變式8-3】數軸上點A表示一4,點8表示3,則A、8兩點間的距離是（）

A.-1B.-5C.7D.1

【答案】C

【分析】本題主要考查了數軸上兩點間的距離，掌握數軸上兩點的距離為較大的數減去較小的數成為解

題的關鍵

數軸上兩點之間的距離等于這兩點的數的差的絕對值，即：較大的數減去較小的數即可.

【詳解】解：3-（-4）=7,即A、8兩點間的距離是7.

故選：C.

【答案】一2或4

【分析】本題考查了數軸上兩點間的距離，分兩種情況考慮.分點2在點A的左側和右側兩種情況即可

完成.

【詳解】當點2在點A的左側時，此時點8表示的數是-2；當點2在點A的右側時，此時點3表示的

數是4；

故點B表示數是-2或4；

故答案為：-2或4

【考點09］數軸上的動點問題

【典例9】已知一個點從數軸上的原點開始，先向左移動7個單位長度到達a點，再從a點向右移動12

個單位長度到達B點.點C是線段4B的中點.

（1）點C表示的數是；

(2)若動點P從點a出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時動點Q,M分別從點C、B出發(fā)，

分別以每秒1個單位長度、4個單位長度的速度沿數軸向右運動.設運動時間為t秒.

①當t=2時，求QM—PQ的值；

②試探索：QM-PQ的值是否隨著時間t的變化而改變？請說明理由.

【答案]⑴-1

(2)①QM—PQ的值為0；②QM—PQ的值不隨著時間t的變化而改變.理由見解析

【分析】本題考查列代數式，數軸，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

(1)根據題意可以求得點C表示的數；

(2)①根據題意可以用代數式表示點M,P,Q運動時間t時表示的數；根據題意可以求得當t=2秒時，

QM—PQ的值；②先判斷是否變化，然后求出QM—PQ的值即可解答本題.

【詳解】(1)解：由題意可得，A點表示的數為：—7,8點表示的數為：-7+12=5,,

-1

由ZC=12x-=6,

2

故點C表示的數為：0—7+6=-1.

故答案為：-1；

(2)

解：①由題意可得，點Q移動t秒時表示的數為-1+t,點尸移動f秒時表示的數為-7-2如點M移動

f秒時表示的數為5+43

當t=2時，

QM—PQ-[(5+4t)—(―1+t)]—[(—1+t)—(—7—2t)]

=(5+4t+1-t)-(-1+t+7+2t)

=6+3t—6—31

=0；

②QM-PQ的值不隨著時間t的變化而改變，

QM-PQ=[(5+4t)-(-1+t)]-[(-1+t)-(-7-2t)]

=(5+4t+1-t)-(-1+t+7+2t)

=6+3t—6—3t

=0,

QM-PQ的值不隨著時間t的變化而改變，QM—PQ的值為0.

【變式9-1］如圖一根木棒放在數軸上，數軸的1個單位長度為1cm,木棒的左端與數軸上的點A重合,

右端與點B重合.

054820

⑴若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點8時，它的右端在數軸上所對應的數為20；

若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到A點時，則它的左端在數軸上所對應的數為5,由

此可得到木棒長為一cm.

(2)圖中點A所表示的數是一，點8所表示的數是

⑶由題(1)(2)的啟發(fā)，請你能借助"數軸"這個工具幫助小明解決下列問題：

一天，小明去問曾當過數學老師現在退休在家的爺爺的年齡，爺爺說："我若是你現在這么大，你還要

45年才出生；你若是我現在這么大，我已經120歲，是老壽星了，哈哈！"，請求出爺爺現在多少歲了？

【答案】⑴5

(2)10,15

(3)爺爺現在的年齡是65歲

【分析】此題考查了數軸，解題的關鍵是把爺爺與小明的年齡差看做一個整體(木棒4B),而后轉化為

數軸上求點表示數的問題.

(1)此題關鍵是正確識圖，由數軸觀察知三根木棒長是20-5=15cm,則此木棒長為5cm；

(2)根據兩點間的距離公式即可求解；

(3)在求爺爺年齡時，借助數軸，把小明與爺爺的年齡差看做木棒A8,類似爺爺比小明大時看做當A

點移動到8點時，此時8點所對應的數為-45,小明比爺爺大時看做當B點移動到A點時，此時A點所

對應的數為120,所以可知爺爺比小明大［120-(-45)］+3=55,可求爺爺的年齡.

【詳解】(1)解：由數軸觀察知，三根木棒長是20-5=15(cm),

則此木棒長為15+3=5(cm).

故答案為：5；

(2)解：圖中點A所表示的數為5+5=10,點3所表示的數為20—5=15.

故答案為：10,15；

(3)解：如圖：

45ffA120

借助數軸，把小明與爺爺的年齡差看做木棒AB,

類似爺爺比小明大時看做當A點移動到B點時，

此時8點所對應的數為-45.

小明比爺爺大時看做當8點移動到A點時，

此時A點所對應的數為120.

可知爺爺比小明大［120-（-45）］+3=55,

可知爺爺的年齡為120-55=65（歲）.

故爺爺現在的年齡是65歲.

【變式9-2］如圖，已知點4、B、C是數軸上三點，。為原點.點C對應的數為3,BC=2,AB=6.

1■■■

AOBC

（i）則點a對應的數是一，點B對應的數是」

（2）動點P、Q分別同時從4c出發(fā)，分別以每秒8個單位和4個單位的速度沿數軸正方向運動.M在線段4P

上，且4M=MP,N在線段CQ上，且CN=：CQ,設運動時間為＞0）.

①求點M、N對應的數（用含t的式子表示）

②猜想MQ的長度是否與t的大小有關？如果有關請你寫出用t表示的代數式；如果無關請你求出MQ的長

度.

【答案】⑴—5,1

⑵①點M對應的數為：一5+4t,點N對應的數為：3+t；②MQ的長度與t無關，長度為8

【分析】本題是數軸上的動點問題，涉及數軸上兩點之間的距離，數軸上的點表示數等知識，解題的關

鍵是掌握數軸上兩點之間的距離公式.

（1）由已知、結合數軸，根據數軸上兩點之間的距離即可求解；

（2）①由題意可得4M、CN的長度，從而由點2、C對應的數即可求出點M、N對應的數；②根據題意

可得點Q對應的數，進而得到MQ的長度，根據結果即可作出判斷.

【詳解】⑴解：?.?點C對應的數為3,BC=2,

二點B對應的數為：3-2=1,

又；AB=6,

???點力對應的數為：1-6=-5,

故答案為：-5,1：

（2）①由動點P、Q分別同時從4C出發(fā)，分別以每秒8個單位和4個單位的速度沿數軸正方向運動，

則4P=8t,CQ=4t,

又AM=MP=^AP,CN=：CQ,

AM=4t,CN=tf

???點M對應的數為：一5+4如點N對應的數為：3+t；

②MQ的長度與t無關，理由如下：

由于CQ=43

???點Q對應的數為：3+43

則MQ=3+4t-（-5+4t）=8,

即MQ的長度與t無關，長度為8.

【變式9-3］綜合與實踐：【問題情境】數學活動課上，王老師出示了一個問題：點A、8在數軸上分別

表示有理數。、b,A、B兩點之間的距離表示為力B,在數軸上48兩點之間的距離2B=|a-6|.利用

數形結合思想回答下列問題：

（1）數軸上表示2和6兩點之間的距離是；數軸上表示3和-1的兩點之間的距離是；

【獨立思考】：

（2）數軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為；

（3）試用數軸探究：當—1|=3時機的值為.

【實踐探究】：利用絕對值的幾何意義，結合數軸，探究：

（4）利用數軸求出|%-2|子|乂-5|的最小值，并寫出此時x可取哪些整數值？

AB

----111----A

a---0-----------------b

【答案】（1）4；4（2）\x+2\（3）6=一2或4（4）2,3,4,5

【分析】本題考查了數軸，絕對值的性質，讀懂題目信息，理解數軸上兩點間的距離的表示是解題的關

鍵.

（1）用大數減小數便可求得兩點的距離；

（2）根據定義用代數式表示；

（3）分兩種情況：小點在1的左邊；根點在1的右邊；分別列式計算便可；

（4）確定x與2的距離加上比與5的距離之和最小時，x的取舍范圍，再在該范圍內求整數.

【詳解】（1）數軸上表示2和6兩點之間的距離是：6-2=4；

數軸上表示3和—1的兩點之間的距離是3—（—1）=3+1=4；

故答案為：4；4；

(2)數軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為|x+2|,

故答案為：|%+2|；

(3)|m-l|=3表示數m的點與表示數1的點距離為3,

當表示數in的點在1的左邊時，m=1-3--2,

當表示數m的點在1的右邊時，m=1+3=4,

所以m=-2或4,

故答案為：-2或4；

(4)???|x-2|表示數軸上x和2兩點之間的距離,|x-5|表示數軸上乂和5兩點之間的距離,

當且僅當2WxW5時，兩距離之和最小，

取可取的整數有:2,3,4,5.

【考點10]相反數的概念

【典例10]2024的相反數是()

A.2024B.-2024C.1012D.-1012

【答案】B

【分析】本題考查相反數，根據只有符號不同的兩個數互為相反數，進行判斷即可.

【詳解】解：2024的相反數是-2024；

故選B.

【變式10-1】與-2025互為相反數的是()

A.-2025B.2025C.康D.

【答案】B

【分析】本題考查了相反數的定義，絕對值相等，正負號相反的兩個數互為相反數.

【詳解】解：-2025的相反數的是2025,

故選：B.

【變式10-2】下列四組數中，互為相反數的一組是()

A.+2與一3B.-8與+8

C.—(—2)與2D.+(—1)與—(+1)

【答案】B

【分析】本題考查的是相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0.

根據相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0.

【詳解】解：A、+2的相反數是—2,錯誤；

B、-8的相反數是+8,正確；

C、—(—2)=2的相反數是—2,錯誤；

D、+(-1)的相反數是1,一(+1)=-1,錯誤.

故選：B.

【變式10-3］如圖，點4B,C,。在數軸上的位置如圖所示，其中表示-3的相反數的點是()

IIII■■■■>

-3-2-10ABCD

A.AB.BC.CD.D

【答案】C

【分析】此題考查了相反數的定義及互為相反數的兩個數在數軸上的位置特點，熟練掌握相反數的定義

是解題的關鍵；符號不同，絕對值相等的兩個數叫互為相反數，在數軸上的位置特點：分別位于原點的

左右兩側，并且到原點的距離的相等.

【詳解】解：表示-3的相反數的點在原點的右側，且到原點的距離為3個單位長度的點，如圖：

-3-2-10ABCD

根據點a,B,c,。在數軸上的位置，可得點c符合題意，

故選：c.

【考點11】相反數的性質運用

【典例111若代數式3x+2和-2久+1互為相反數，貝卜=()

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】B

【分析】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數系數化為1,

求出解.

利用互為相反數兩數之和為0列出方程，求出方程的解即可得到光的值.

【詳解】解：根據題意得：3%+2-2久+1=0,

移項合并得：%=-3,

故選：B.

【變式11-11{-{-{-[-(-25)]}}}()

11

A.25B,-25C.-D.-石

【答案】B

【分析】本題考查主要考查了相反數定義，根據題目中負號的個數確定正負，若負號個數為奇數個則結

果為負，若負號的個數為偶數個則結果為正得到答案.

【詳解】解：由題可知負號個數為奇數個，則{-{-{-[-(-25)]}}}=-25.

故選：B.

【變式11-2]數軸上表示數a和a+4的點到原點的距離相等，則.為()

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】D

【分析】本題考查數軸上原點兩側到原點的距離相等的點表示的數互為相反數.

根據相反數的幾何意義可知：a與a+4互為相反數；再根據互為相反數的兩數和為0即可解答.

【詳解】解：由題意知：

a與a+4互為相反數，

a+a+4=0,

解得：a=—2.

故選：D.

【變式11-3】代數式3a+1與2-2a互為相反數，則。=.

【答案】-3

【分析】本題考查相反數的性質、解一元一次方程，先根據互為相反數的兩個數之和是零列方程，然后

解方程即可.

【詳解】解：回代數式3a+1與2-2a互為相反數，

0(3a+1)+(2-2a)=0,即3a+1+2—2a=0,

解得a=—3,

故答案為：-3.

【變式11-4]如果a,b互為倒數，c,d互為相反數，那么6d-5ab-(-6c)=.

【答案】-5

【分析】此題考查倒數和相反數的概念，代數式求值；首先根據倒數的概念，可知時=1,根據相反數

的概念可知c+d=0,然后把它們分別代入，即可求出代數式6d-5a6-(-6c)的值.

【詳解】若a,b互為倒數，則防=1,

c,d互為相反數，則c+d=O,

那么6d—5ab—(-6c)=6(d+c)—Sab=0—5=—5,

故答案為：-5.

【考點12］絕對值定義、絕對值的性質

【典例12】若一個數的絕對值是2019,則這個數是（）

A.2019B.-2019C.±2019D.以上都不對

【答案】C

【分析】此題考查了絕對值的性質，要求掌握絕對值的性質及其定義，并能熟練運用到實際當中.本題

是絕對值性質的逆向運用，此類題要注意答案一般有2個，除非絕對值為0的數才有一個為0.

【詳解】解：回|+2019|=2019,|-2019|=2019,

回絕對值等于2019的數有2個，即+2019和-2019,

故選：C.

【變式12-1］如圖，某草莓采摘園采摘了A、B、C、。四筐草莓，每筐草莓以5千克為標準，超過的干

克敖記為正數，不足的千克數記為負數，其中最接近標準質量的是（）

-0.3+0.4-1.3+2.1

【答案】A

【分析】本題主要考查絕對值的意義；由題意易得|+0.3|<|-0.4|<|-1.3|<1-2.11，然后問題可求解.

【詳解】解：由題意得：|+0.3|<|-0.4|<|-1.3|<|-2.1|,

團最接近標準質量的是A；

故選：A.

【變式12-2］絕對值大于4.5小于8的所有整數的有.

【答案1±5、±6、±7

【分析】本題主要考查了求一個數的絕對值，根據正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相

反數進行求解即可.

【詳解】解：絕對值大于4.5小于8的所有整數的有±5、±6、±7,

故答案為：±5、±6、±7.

【考點13］化簡絕對值

【典例13-1］如圖，數軸上的三點4、B、C分別表示有理數a,b,c.

ABOC

］III

⑴填空：a—b0,a+c0,b—c0.（用<或>或=號填空）

⑵化簡：|a—bI—|a—c|+—c\.

【答案】（1）4<,<

（2）|Q—b|—\CL—c\+\b-c|—0

【分析】本題考查了有理數大小比較，數軸，絕對值，掌握負數的絕對值等于它的相反數是解題的關鍵.

（1）根據數軸上，右邊的數總比左邊的大和有理數的加法法則判斷即可；

（2）根據負數的絕對值等于它的相反數化簡即可.

【詳解】（1）解：由數軸得：a<b,

團a—bV0,

由數軸得：a<0,c>0,\a\