江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題2024.11命題單位：無錫市教育科學(xué)研究院制卷單位：無錫市教育科學(xué)研究院注意事項(xiàng)及說明：本卷考試時(shí)間為120分鐘，全卷滿分為150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意知，故，故選：D2.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，對應(yīng)點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B3.已知函數(shù)的圖象為，為了得到函數(shù)的圖象，只要把上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換計(jì)算即可.【詳解】易知向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度可得.故選：A4.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：元）與成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則.要使這家公司的兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站（）A.2km B.3km C.4km D.5km【答案】B【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合題意求出，從而求出兩項(xiàng)費(fèi)用之和的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)，倉庫到車站的距離，由于在距離車站6km處建倉庫，則，即，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即要使這家公司的兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站3km.故選：B5.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷，說明充分性，由時(shí)，即可說明不必要性.【詳解】因?yàn)榍?，所以等差?shù)列單調(diào)遞減，且公差小于0，故，，則，即，所以，由，當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列單調(diào)遞增，則不可能滿足且，因此“且”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可.【詳解】易知，所以，令，則，顯然，所以為奇函數(shù)，即D正確.故選：D7.若，則的值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式可求，根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出和，進(jìn)而求出.【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴.故選：C.8.在中，已知，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段AD上一點(diǎn)，且，連接CE并延長交邊AB于點(diǎn)，則線段CP的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量基本定理的推論求得與的關(guān)系，即可利用基底表示，再兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】,因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，得，即，，兩邊平方，，所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；【詳解】A.因?yàn)椋?，在上遞減，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，所以，在上遞增，故正確；C.因?yàn)椋?，在上遞增，故正確；D.，因?yàn)?，所以，在上遞增，則在上遞減，故錯(cuò)誤；故選：BC10.下列說法中正確的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D若，，則【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，則，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋坏仁降膬蛇呁瑫r(shí)除以可得，因?yàn)椋刹坏仁降幕拘再|(zhì)可得，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，由不等式基本性質(zhì)可得，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，D對.故選：ABD.11.函數(shù).下列說法中正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，有恒成立B.，使在上單調(diào)遞減C.當(dāng)時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)，使恰有兩個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)表達(dá)式計(jì)算，可得選項(xiàng)A正確；求，可知為開口向上的二次函數(shù)，在上不可能恒成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可得選項(xiàng)C正確；分離參數(shù)，恒成立問題轉(zhuǎn)化為大于等于函數(shù)的最大值或小于等于函數(shù)的最小值，分析函數(shù)即可得到選項(xiàng)D正確.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，,,∴，選項(xiàng)A正確.B.由題意得，，為開口向上的二次函數(shù)，故，使得時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)，所以不存在，使在上單調(diào)遞減.C.當(dāng)時(shí)，，由得，不是函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由得，，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，圖象如圖所示：由圖象可知，存在唯一的實(shí)數(shù)，使直線與圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即恰有兩個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C正確.D.當(dāng)時(shí)，，∵，恒成立，∴恒成立且.對于不等式，當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，則，∵，∴，∴，∴在上為減函數(shù)，，∴.對于不等式，當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴，∴.綜上得，，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)與不等式綜合問題，具體思路如下：（1）對于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，先說明不是函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)時(shí)，由分離出參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為“存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線與恰有兩個(gè)交點(diǎn)”，通過求導(dǎo)分析單調(diào)性畫出函數(shù)圖象，通過圖象即可得到結(jié)果.（2）對于不等式恒成立問題，分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為且，對兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得到的取值集合.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為：13.已知實(shí)數(shù)滿足且，則__________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的換算結(jié)合換底公式計(jì)算即可.【詳解】由可知，所以，即，所以.故答案為：14.任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；反之，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù).則__________（寫成的形式，與為互質(zhì)的具體正整數(shù)）；若構(gòu)成了數(shù)列，設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用無限循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)設(shè)，然后建立等式求解即可；利用題中給出的規(guī)律先求出的通項(xiàng)公式，然后得到的通項(xiàng)公式，然后列項(xiàng)相消求解即可.【詳解】令，則，解得，所以易知所以所以所以所以答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若，則，借此建立等式；，借此求得的通項(xiàng)公式；同樣的道理.四、解答題：本題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角為，且，若.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值;（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，所以，將代入可得，再由數(shù)量積的定義求得，代回即可求解；（2）根據(jù)向量的模和二次函數(shù)求最值的方法求出的值，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，所以，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，由?）知，且，所以，則，故當(dāng)時(shí)，最小為，此時(shí)，則，又，所以，所以向量與夾角的余弦值為.16.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍;（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，可得有兩個(gè)大于的不等實(shí)根，進(jìn)而可得，求解即可；（2）求導(dǎo)數(shù)，對分類討論可求得單減區(qū)間.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)大于的不等實(shí)根，所以，解得.所以的取值范圍為；【小問2詳解】，求導(dǎo)得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，由，可得，函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)，，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.17.在中，已知.（1）若為銳角三角形，求角的值，并求的取值范圍;（2）若，線段的中垂線交邊于點(diǎn)，且，求A的值.【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C，再利用余弦的差角公式，輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算范圍即可；（2）設(shè)中點(diǎn)為，由正弦定理解三角形結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意，所以，所以，所以，易知，所以，則，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，由知，所以，即的取值范圍為；【小問2詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，在中，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)榫€段的中垂線交邊于點(diǎn)，可知，所以，則，解之得，此時(shí)，正切不存在，舍去；或，解之得；綜上.18.已知函數(shù).（1）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：若，則.【答案】（1）；（2）；證明見解析.【解析】【分析】（1）分離參數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值計(jì)算即可；（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，統(tǒng)一設(shè)切點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可；②利用①的結(jié)論得出，根據(jù)極值點(diǎn)偏移證得，再根據(jù)弦長公式得，構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】易知，令，則，顯然時(shí)，，時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即；【小問2詳解】①設(shè)切點(diǎn)，易知，，則有，即，令，則有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)即分別為，易知，顯然時(shí)，，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)有，時(shí)也有，，則要滿足題意需，即；②由上可知：，作差可得，即，由①知：上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則始終單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，不難發(fā)現(xiàn)，，所以由弦長公式可知，所以，設(shè)所以由，即，證畢.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于切線個(gè)數(shù)問題，可設(shè)切點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，將問題轉(zhuǎn)化為解的個(gè)數(shù)問題；對于最后一問，弦長的大小含有雙變量，常有的想法是找到兩者的等量關(guān)系，抑或是不等關(guān)系，結(jié)合圖形容易想到化為極值點(diǎn)偏移來處理.19.在下面行、列的表格內(nèi)填數(shù)：第一列所填各數(shù)自上而下構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列an；第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列bn；其余空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫.設(shè)第2行的數(shù)自左向右依次記為.

第1列第2列第3列…第列第1行12…第2行359

第3行510

……

第行

（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式;（2）對任意的，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，①求和的值;②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，請說明理由.【答