2025二輪復習專項訓練15等差數列、等比數列[考情分析]高考必考內容，主要考查等差數列與等比數列的通項公式與前n項和公式以及性質的應用，等差數列、等比數列的判斷與證明，常以選擇題、填空題或綜合的解答題形式考查，屬于中檔題目．【練前疑難講解】一、等差數列、等比數列的基本運算1．等差數列(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.2．等比數列(1)通項公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二、等差數列、等比數列的性質1．等差數列常用性質：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數列．2．等比數列常用性質：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；(2)an＝am·qn－m.三、等差數列、等比數列的判斷與證明證明數列{an}是等差(比)數列的方法：(1)證明數列{an}是等差數列的兩種基本方法：①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數；②利用等差中項，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．(2)證明數列{an}是等比數列的兩種基本方法：①利用定義，證明eq\f(an＋1,an)(an≠0，n∈N*)為一常數；②利用等比中項，證明aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．一、單選題1．（2024·河南信陽·模擬預測）已知數列的前項和為，，，且是，的等差中項，則使得成立的最小的的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2024·河南鄭州·二模）已知數列為等比數列，且，，設等差數列的前n項和為，若，則（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．18二、多選題3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知等差數列的前項和為，的公差為，則（

）A． B．C．若為等差數列，則 D．若為等差數列，則4．（2024·廣東梅州·二模）已知數列的通項公式為，，在中依次選取若干項（至少3項），，，，，，使成為一個等比數列，則下列說法正確的是（

）A．若取，，則B．滿足題意的也必是一個等比數列C．在的前100項中，的可能項數最多是6D．如果把中滿足等比的項一直取下去，總是無窮數列三、填空題5．（23-24高三上·江蘇·期末）若數列滿足，（），則.6．（2024·湖北·一模）設等比數列的前項和為，若，則公比的取值范圍為．四、解答題7．（2024·云南昆明·三模）正項數列的前項和為，等比數列的前項和為，，(1)求數列的通項公式；(2)已知數列滿足，求數列的前項和．8．（2024·黑龍江·二模）已知等比數列的前n項和為，且，其中.(1)求數列的通項公式；(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，請說明理由.參考答案：題號1234答案DCBDAB1．D【分析】由題意得到是等比數列，進而得到，利用錯位相減法求出，構造函數，并利用導數判斷函數的單調性，即可求出符合條件的的最小值.【詳解】是，的等差中項，，故，而，，故數列是首項為1，公比為2的等比數列，則，，記，則，，兩式相減可得，，即，令，即，設，則，，，在單調遞減，是遞減數列，當時，，當時，，使得成立的最小的的值為11.故選：D.2．C【分析】根據等比數列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數列前項和公式進行計算即可.【詳解】數列為等比數列，設公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.3．BD【分析】A選項，根據等差數列性質得到，A錯誤；B選項，由等差數列性質得到；C選項，計算出，要想為常數，則，故C不正確；D選項，根據等差數列通項公式的函數特征得到，D正確.【詳解】A選項，，而不一定相等，A不正確；B選項，因為，，所以，故B正確；C選項，因為，若為等差數列，則，要想為常數，則，故C不正確；D選項，由題可知，若為等差數列，則為關于的一次函數，所以，即，故D正確．故選：BD4．AB【分析】根據等比數列的性質判斷A、B、D，利用反例說明C.【詳解】因為數列的通項公式為，對于A，取，，則，，由于為等比數列，則，則有，即，故A正確；對于B，數列的通項公式為，則，若為等比數列，即，，，，，是等比數列，則，，，，，，是等比數列，故滿足題意的也必是一個等比數列，故B正確；對于C，在的前項中，可以取，，，，，，，可以使成為一個等比數列，此時為項，故C錯誤；對于D，取，，則，則，不是數列的項，所以把中滿足等比的項一直取下去，不總是無窮數列，故D錯誤．故選：AB．5．3268【分析】由數列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.【詳解】由題意可得，作差得，故，故答案為：32686．【分析】由可得，，討論或，即可得出答案.【詳解】由，因為，所以由，可得，由可得，即，即，即，即，則，因為若，則，解得：，若，則，解得：，所以公比的取值范圍為：.故答案為：.7．(1)；(2)【分析】（1）由與的關系，結合等差數列和等比數列的定義、通項公式，可得所求；（2）求得后，討論n為奇數或偶數，由數列的裂項相消求和，即可得到所求.【詳解】（1）當時，，即，，所以，同理．當時，，化簡得：，因為，所以，即，故，又，所以．同理，或，因為是等比數列，所以，即，所以．（2）由（1）知，所以當為奇數時，，，同理當為偶數時，．所以.8．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據遞推關系可得，從而可得公比，故可求首項從而得到通項公式；（2）先求出的通項，再利用反證法結合等比中項的性質可得矛盾，從而得到數列中不存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列.【詳解】（1）因為，故，故，而為等比數列，故其公比為，又，故，故，故.（2）由題設可得，若數列中存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列，則，因為等差數列，故即，故，故即，這樣不同矛盾，故數列中不存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列.【基礎保分訓練】一、單選題1．（2024·浙江·模擬預測）已知數列滿足：，且數列為等差數列，則（

）A．10 B．40 C．100 D．1032．（2024·河南·三模）已知等比數列的公比為，若，且成等差數列，則（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西寶雞·一模）已知等差數列滿足，則下列命題：①是遞減數列；②使成立的的最大值是9；③當時，取得最大值；④，其中正確的是（

）A．①② B．①③C．①④ D．①②③4．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知等差數列和的前項和分別為、，若，則（）A． B． C． D．5．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）中國載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務．運送“神十八”的長征二號運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加，在達到離地面的高度時，火箭開始進入轉彎程序．則從點火到進入轉彎程序大約需要的時間是（

）秒．A．10 B．11 C．12 D．136．（2024·河南洛陽·模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質地的紙張進行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現代折紙技術已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承．在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．7．（23-24高三下·江西·階段練習）已知是正項等比數列的前項和，且，，則（

）A．212 B．168 C．121 D．1638．（2023·上海浦東新·三模）設等比數列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）設是等比數列的前項和，若，則（

）A．2 B． C． D．10．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形(圖①)的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）關于等差數列和等比數列，下列四個選項中正確的有（

）A．等差數列，若，則B．等比數列，若，則C．若為數列前n項和，則，仍為等差數列D．若為數列前n項和，則，仍為等比數列12．（22-23高二上·廣東廣州·期末）記為數列的前項和，下列說法正確的是（

）A．若對，，有，則數列一定是等差數列B．若對，，有，則數列一定是等比數列C．已知，則一定是等差數列D．已知，則一定是等比數列三、填空題13．（23-24高三下·湖南·開學考試）若數列滿足，，則的最小值是．14．（23-24高三上·云南昆明·開學考試）設是等比數列，且，，則.四、解答題15．（2024·四川成都·二模）已知數列的前項和為.(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.16．（2024·山東·二模）已知數列．求：(1)數列的通項公式；(2)數列的前項和的最大值．17．（2024·陜西安康·模擬預測）設等比數列的前項和為，已知.(1)求數列的通項公式.(2)求數列的前項和.18．（2023·吉林·模擬預測）已知等比數列{an}的前n項和Sn＝﹣m.(1)求m的值，并求出數列{an}的通項公式；(2)令，設Tn為數列{bn}的前n項和，求T2n.參考答案：題號12345678910答案DCDBCACDBA題號1112答案ACAC1．D【分析】設數列的公差為，借助等差數列的性質可計算出，即可得，即可得解.【詳解】設數列的公差為，則，故，所以．故選：D.2．C【分析】根據等差數列定義和等比數列通項公式可構造方程求得結果.【詳解】成等差數列，，又，，整理可得：，，解得：（舍）或.故選：C.3．D【分析】設出公差為，列出方程組，求出首項和公差，根據判斷①正確，寫出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正確；根據與，得到當時，取得最大值，③正確；利用通項公式求出的值，得到④錯誤.【詳解】設等差數列的公差為，故，解得：，由于，故是遞減數列，①正確；，令，解得：，且，故使成立的的最大值是9，②正確；，當時，，當時，，故當時，取得最大值，③正確；，④錯誤.故選：D4．B【分析】計算出，由等差數列的性質得，，從而得到答案.【詳解】因為等差數列和的前項和分別為、，滿足，所以，又，故，故選：B5．C【分析】由題意結合等差數列的定義求出通項公式，再由前項和公式計算即可.【詳解】設出每一秒鐘的路程為數列，由題意可知為等差數列，則數列首項，公差，所以，由求和公式有，解得，故選：C．6．A【分析】由題意知對折后的等腰直角三角形的腰長成首項為，公比為的等比數列，進而求出對折6次后的腰長，即可求解.【詳解】由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數列，且首項為，公比為，故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，所以斜邊長為.故選：A．7．C【分析】由條件結合等比數列性質求出，再列方程求出數列的公比，利用等比數列求和公式可求.【詳解】設等比數列的公比為，因為數列為正項等比數列，所以，因為，又，所以，因為，所以或，若，則，解得，，所以，若，則，解得，，所以，所以，故選：C.8．D【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設，則，滿足，但是嚴格減數列，充分性不成立，當時，是嚴格增數列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要條件.故選：D9．B【分析】成等比數列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，因為成等比數列，故，即，解得，故.故選：B10．A【分析】觀察圖形可得出為首項為，公比為的等比數列，即可求出.【詳解】觀察圖形發(fā)現，從第二個圖形開始，每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎上多了其周長的，即，所以為首項為，公比為的等比數列，.故選：A11．AC【分析】利用等差數列下標和性質判斷A；舉例說明判斷B；利用等差數列定義判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，由等差數列下標和性質知，A正確；對于B，取，顯然數列成等比數列，且，而，B錯誤；對于C，等差數列的公差為，，，有，因此成等差數列，C正確；對于D，當等比數列bn的公比，為正偶數時，，顯然不成等比數列，D錯誤.故選：AC12．AC【分析】利用等差，等比數列的定義和性質，以及等差，等比數列的前項和的形式，可逐一判斷.【詳解】由和等差中項的性質，可得數列是等差數列，即A正確；當時，由和等比中項的性質，可得數列是等比數列，即B不正確；由等差數列前項和，得可看成的二次函數，且不含常數項，則C正確；由等比數列前項和，若，則，所以，則此時數列不是等比數列，則D錯.故選：AC13．/【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值是．故答案為：14．189【分析】由是等比數列，則，，，成等比數列，再根據新等比數列的性質計算即可.【詳解】由是等比數列，設其公比為，則，，，構成等比數列，且公比為，，，則.故答案為：189.15．(1)(2)【分析】（1）根據作差即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）數列的前項和為，當時，當時，所以，又當時，也成立，數列的通項公式為.（2）由（1）可得，設數列的前項和為，則.16．(1)；(2)28【分析】（1）根據題目條件得到是以13為首項，為公差的等差數列，求出通項公式；（2）求出通項公式，解不等式，得到數列從第5項開始小于0，從而得到數列的前4項和最大，利用求和公式求出答案.【詳解】（1）由，可知，所以數列是以13為首項，以為公差的等差數列，所以；（2）由（1）可知，令，解得，令，解得，即數列從第5項開始小于0，所以數列的前4項和最大，最大值為．17．(1)(2)【分析】（1）根據等比數列基本量的計算可得，，即可求解公比得解，（2）利用錯位相減法求和即可求解.【詳解】（1）由以及可得，又，故，因此公比，故（2），則，，兩式相減可得，，，.18．(1)m＝，(2)n【分析】（1）直接利用數列的遞推關系求出m的值；（2）利用（1）的結論，進一步利用分組法的應用求出數列的和.【詳解】（1）等比數列{an}的前n項和Sn＝﹣m①.當n＝1時，解得，當n≥2時，②，①﹣②得：，又{an}是等比數列，n＝1時也符合，當n＝1時，，故m＝.（2）由（1）得：，所以T2n＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）＝n.【能力提升訓練】一、單選題1．（2024·北京東城·一模）設等差數列的公差為，則“”是“為遞增數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知等差數列，的前項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江·二模）在公差不為0的等差數列中，，，是公比為2的等比數列，則（

）A．11 B．13 C．15 D．174．（2022·江西上饒·二模）已知各項均為正數的等比數列中，若，則＝（

）A．2 B．3 C．4 D．95．（2024·北京順義·二模）已知各項均為正數的數列的前n項和為，，，，則（

）A．511 B．61 C．41 D．96．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或407．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等比數列的前項和，則（

）A．3 B．9 C． D．8．（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（

）（單位：萬元，結果保留一位小數）A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9二、多選題9．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等差數列的前項和為，公差為，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．當時，取得最小值 D．10．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）下面是關于公差的等差數列的四個命題，其中正確的有（

）A．數列是等差數列 B．數列是等差數列C．數列是遞增數列 D．數列是遞增數列11．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質地均相同的且標有的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進3步的概率最大三、填空題12．（2024·山東日照·模擬預測）若函數的四個零點成等差數列，則．13．（2023·全國·模擬預測）已知數列滿足，，且數列的前項和為．若的最大值為，則實數的最大值是．14．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）在等比數列中，，，則．四、解答題15．（2024·浙江·一模）已知數列滿足，記數列的前項和為．(1)求；(2)已知且，若數列是等比數列，記的前項和為，求使得成立的的取值范圍．16．（2024·陜西西安·一模）已知數列的前項和為，，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列bn的前項和.17．（2024·浙江·二模）歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數且與互素的正整數的個數，例如：，，，數列滿足.(1)求，，，并求數列的通項公式；(2)記，求數列的前和.18．（2024·河北石家莊·二模）已知數列滿足(1)寫出;(2)證明:數列為等比數列;(3)若，求數列的前項和.參考答案：題號12345678910答案AACCBADBBCABD題號11答案BC1．A【分析】利用等差數列通項公式求出，再利用單調數列的定義，結合充分條件、必要條件的意義判斷即得.【詳解】由等差數列的公差為，得，則，當時，，而，則，因此，為遞增數列；當為遞增數列時，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數列”的充分不必要條件.故選：A2．A【分析】根據，結合等差數列的前項和公式，構造出符合題意的一組與的通項公式，再進行計算即可．【詳解】根據題意，數列、都是等差數列，顯然兩個數列都不是常數列，，因為等差數列前項和公式為，所以不妨令為常數，且，所以時，，．，，，.故選：A3．C【分析】利用基本量法可求的值.【詳解】設等差數列的公差為，則，因為，，是公比為2的等比數列，所以，由前者得到，代入后者可得，故，故選：C.4．C【分析】利用對數運算性質結合等比中項求解即可.【詳解】由題意得，由等比中項性質得，故.故選：C5．B【分析】利用對數運算法則可求得，即可知數列的奇數項與偶數項分別成等比數列，再由分組求和可得結果.【詳解】由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數列的奇數項是以為首項，公比為2的等比數列，偶數項是以為首項，公比為2的等比數列，所以.故選：B6．A【分析】根據等比數列的性質可知片段和成等比數列，求出片段和等比數列公比即可得解.【詳解】因為，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比數列性質可知，成等比數列，公比為所以，解得，故選：A7．D【分析】根據，再結合為等比數列，表示，求出的值.【詳解】當時，；當時，，又是等比數列，所以，解得.故選：D.8．B【分析】根據復利可知每年末本息和構成等比數列，利用等比數列通項公式及二項式定理求解即可.【詳解】存入大額存款10萬元，按照復利計算，每年末本利和是以10為首項，為公比的等比數列，所以本利和．故選：B．9．BC【分析】由題意得，結合等差數列求和公式可判斷ABD；進一步有，由此可判斷C.【詳解】由題意可知，故B正確D錯誤；所以，故A錯誤；而，所以當時，取得最小值，故C正確.故選：BC.10．ABD【分析】由題意寫出等差數列的通項公式，根據公差，逐一寫出四個選項的通項公式，利用等差數列的定義以及函數單調性加以判斷即可.【詳解】設等差數列的首項為，所以，對于A，由，則，所以，即數列是等差數列為公差為的等差數列，故A正確；對于B，由，所以，則，所以數列是以公差為的等差數列，故B正確；對于C，由，可得，當時，數列不是遞增數列，故C不正確；對于D，由，可得，所以，所以數列是遞增數列，故D正確；故選：ABD11．BC【分析】根據題意直接求概率判斷選項A，然后根據題意求出遞推公式即可判斷選項B，根據遞推公式判斷數列是首項為，公比為的等比數列，求通項公式判斷選項C，分類討論求解概率通項的最大值判斷D.【詳解】根據題意，小郡前進1步的概率和前進2步的概率都是，所以，，故選項A錯誤；當時，其前進幾步是由兩部分組成：先前進步，再前進1步，其概率為，或者先前進步，再前進2步，其概率為，所以，故選項B正確；因為，所以，而，所以，即，故選項C正確；因為當時，，所以，又，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以，所以.當n為奇數時，為偶數，則，此時數列單調遞增，所以；當n為偶數時，為奇數，則，此時數列單調遞減，所以；綜上，