三角函數(shù)與解三角形1．三角函數(shù)的考查大多為三角函數(shù)性質與圖象的考查，其中三角函數(shù)圖象的變換，函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值作為熱點，難度中等偏簡單．2．解三角形的考查常與三角恒等變換結合，考查正弦定理、余弦定理的綜合使用，利用三角恒等變換進行化簡等，難度中等偏簡單．一、選擇題．1．若角的終邊在直線y=?2x上，則sin2021π+α?A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】因為角的終邊在直線y=?2x上，所以，即，即，所以cosα=2sin所以，故選A．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的定義，誘導公式，二倍角公式的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．關鍵點是：構造齊次式，使問題相對容易求解．2．若將函數(shù)y=3sin2xA． B． C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)y=3sin2x所得的函數(shù)為，由，得，當k=0時，，故選B．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，以及對稱性，屬于基礎題．3．將函數(shù)f(x)=sinx+得到函數(shù)gx的圖象，則該函數(shù)在0A． B． C． D．【答案】B【解析】，將其圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍得，再向右平移個單位長度后得到，令，，得，，令k=0，得，因為x∈0，π所以函數(shù)gx在0，π【點評】已知三角函數(shù)的解析式求單調區(qū)間先將解析式化為或的形式，然后將ωx+φ看成一個整體，根據(jù)y=sinx與y=cos4．已知函數(shù)fx=2sinωx+φ，的部分圖象如圖所示，fx的圖象過，兩點，將fx的圖象向左平移個單位得到gx的圖象，則函數(shù)gA．?2 B．2 C．?3 【答案】A【解析】由圖象知，，∴T=2π，則，∴fx將點的坐標代入得，，即，又，∴，則，將fx的圖象向左平移個單位得到函數(shù)，∴gx在上的最小值為，故選A．【點評】本題主要考了三角函數(shù)關系式的求法，正弦型函數(shù)的性質及應用，主要考查學生的運算能力，轉換能力屬于基礎題．5．已知函數(shù)的周期為π，當時，方程恰有兩個不同的實數(shù)解x1，x2，則fx1A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】，由，得ω=2，．作出函數(shù)fx在上的圖象如圖：由圖可知，，．故選B項．【點評】本題考查正弦型函數(shù)的化簡及其圖象與性質，屬于簡單題．6．已知函數(shù)fx①函數(shù)fx②是函數(shù)fx圖象的一條對稱軸；③函數(shù)fx的增區(qū)間為；④函數(shù)fx的最大值為．A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】T=2π為函數(shù)fx=sin因為，所以不是函數(shù)fx的對稱軸，故②不正確；f'令f'x≥0所以函數(shù)fx的增區(qū)間為，故③正確；fx=2cosxsin又因為求最大值必有fx>0，所以只需考慮又可由f'得fx在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)fx的最大值為，故④正確，故選D．【點評】本題主要考查了求三角函數(shù)的性質，包括周期性，對稱軸，單調性和最值．屬于中檔題．7．將函數(shù)f(x)=cosx的圖象先向右平移個單位長度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在上沒有零點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)f(x)=cosx的圖象先向右平移可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象，∴周期，若函數(shù)g(x)在上沒有零點，∴，∴，，解得0<ω≤1，又，解得，當時，解；當時，0<ω≤1，可得，，故答案為A．【點評】本題考查函數(shù)y=Acos8．在△ABC中，，，則AC+3BC的最大值為（）A．57 B．47 C．37【答案】B【解析】有正弦定理得，所以a=4sin所以AC+=10sin其中，由于，所以，故當時，AC+3BC的最大值為4【點評】要求與三角形邊長有關的最值問題，可以利用正弦定理將邊轉化為角，然后利用三角函數(shù)的最值的求法來求最值．二、填空題．9．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，△ABC的外接圓的半徑為，則△ABC的面積的最大值為__________．【答案】【解析】因為，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，即△ABC的面積的最大值為，故答案為．【點評】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：（1）從題目給出的條件，邊角關系來選擇；（2）從式子結構來選擇．10．將函數(shù)f(x)=2?4sin2x的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間和上均單調遞增，則實數(shù)a的范圍是______．【答案】【解析】∵f(x)=21?2∴，由，，解得，k=0時，增區(qū)間為；k=1時，增區(qū)間為，若函數(shù)g(x)在區(qū)間和上均單調遞增，則，解得，故答案為．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換，考查余弦函數(shù)的單調性，掌握余弦函數(shù)的單調性是解題關鍵．11．對于函數(shù)f(x)=sin①函數(shù)fx②函數(shù)fx是周期函數(shù)，且周期是π③函數(shù)fx的值域是?2④函數(shù)fx在上單調遞增．其中正確的是_________．（填序號）【答案】④【解析】∵f=?sin∴fx不是奇函數(shù)，①∵f=?sin但是f=sin所以fx是周期函數(shù)，但是π不是它的周期，故②當sinx≥0，cosx當sinx?cos當sinx≤0，fx所以函數(shù)值域為?1，1，故當時，fx=sin2x故答案為④．【點評】本題考查了三角函數(shù)的性質及圖象，采用數(shù)型結合的思想進行解題，難度中等．三、解答題．12．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，且，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，所以，所以，所以，所以，所以2cos因為0<B<π，所以sinB≠0，所以又因為0<A<π，所以．（2）因為，，a2=b所以，即，因為，所以bc=1，所以．【點評】本題的重點是第一問，難點也是第一問，涉及三角恒等變形的靈活掌握，如降冪公式，，，△ABC中，sinA=sinB+C13．△ABC的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且．（1）求cosA（2）若△ABC的面積為，求a+b+c的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，∵A+B+C=π，所以，由正弦定理可得，則，由余弦定理可得．（2）由，得，∵，∴bc=12，由，得，∴a≥4，當且僅當b=c=23又b+c≥2bc=43，當且僅當∴a+b+c≥4+43，當且僅當b=c=2即a+b+c的最小值為．【點評】求解三角形中有關邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立a+b，ab，a214．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bsinA=3（1）求△ABC（2）若BC邊上的中線長為，求△ABC的周長．【答案】（1）3π；（2）9．【解析】（1）因為bsin又，即bsinA=asin由，得，設△ABC外接圓的半徑為R，則，所以△ABC外接圓的面積為3π．（2）設BC的中點為D，則．因為，所以，即c2又b2+c2?整理得b2?92=0，解得b=3或所以△ABC【點評】本題第二問的關鍵是結合向量加法運算，用向量AB，15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足bcos（1）求證：A=2B；（2）若c=2a，求【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：因為bcos由正弦定理，得sinB所以sinB+C=sin又因為0<A<π，，所以A=2B或A+2B=π．若A+2B=π，又A+B+C=π，所以B=C，與a，b，c互不相等矛盾，所以A=2B．（2）由（1）知C=π?A+B=π?3B，所以因為c=2a，所以sinC可得sin3又因為sin，所以3sin因為，所以sinB>0，所以3?4所以4cos2B?2又，得．【點評】此題考查了正弦定理、兩角和差的正弦公式，考查轉化能力和計算能力，屬于中檔題．16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）若b=10，△ABC的面積為，求△ABC【答案】（1）；（2）5+10．【解析】（1）由二倍角公式，得2cos2B+3cosB∈0，π（2）由，得ac=5，由余弦定理b2=a則a+c=5，所以△ABC的周長為5+10【點評】解三角形時，當給出一組對邊和對角時，求面積或周長時，往往使用余弦定理，并結合形如a217．如圖，矩形ABCD是某個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在AB上，在梯形DEBC區(qū)域內部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內參觀．在AE上點P處安裝一可旋轉的監(jiān)控攝像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M，N在線段DE（含端點）上，且點M在點N的右下方．經測量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，．記∠EPM=θ（弧度），監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米．（1）分別求線段PM，PN關于θ的函數(shù)關系式，并寫出θ的取值范圍；（2）求S的最小值．【答案】（1），，；（2）8(2?1)平方米．【解析】（1）在△PME中，∠EPM=θ，米，，，由正弦定理得，所以，同理在△P