南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院運(yùn)籌學(xué)第五章存儲論

在人類社會生產(chǎn)和商品交換的種種活動(dòng)中，存儲是一種普遍的現(xiàn)象。例如，在工廠，生產(chǎn)需要原材料、輔助材料或某些外協(xié)零部件、在產(chǎn)品和產(chǎn)成品等。這些物件如果存儲太少，一旦供應(yīng)不上就不能滿足生產(chǎn)需求；如果存儲過多，除積壓資金外，還要承擔(dān)一筆不小的保管費(fèi)用，以及面臨由于物資存儲過久，造成銹蝕、霉?fàn)€變質(zhì)、流失等資源的損失和浪費(fèi)問題。在生產(chǎn)過程中，為了均衡且有節(jié)奏地進(jìn)行生產(chǎn)，工序與工序之間也存在合理的存儲問題。

再有，工廠的產(chǎn)品生產(chǎn)通常是根據(jù)市場需求和訂貨合同來進(jìn)行的，由于市場需求量常常具有隨機(jī)性，因此企業(yè)的決策者面臨應(yīng)該間隔多長時(shí)間生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每批生產(chǎn)多少產(chǎn)品，倉庫應(yīng)該存放多少產(chǎn)品才合理等一系列問題。

除工業(yè)企業(yè)有存儲問題外，在商業(yè)企業(yè)的商店里，如果存儲商品數(shù)量不足，發(fā)生缺貨現(xiàn)象，就會失去銷售機(jī)會而減少利潤；但如果存量過多，一時(shí)銷售不出去，就會造成商品積壓，占用流動(dòng)資金過多而導(dǎo)致資金周轉(zhuǎn)不開，同樣造成不應(yīng)有的經(jīng)濟(jì)損失。由于顧客購買何種商品以及購買多少都具有隨機(jī)性，為了增加營業(yè)利潤，最大限度地減少損失，商店管理人員應(yīng)該研究商品的合理存儲量。

再如加油站存儲油，如果一次存儲得太少會造成脫銷，太多則造成庫存負(fù)擔(dān)。

本章通過科學(xué)的管理方法，解決有關(guān)的存儲問題，包括建立表達(dá)存儲特點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并求出合理的有貨量、訂貨量和訂貨時(shí)間等。5．1存儲概述

與存儲有關(guān)的現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中是普遍存在的，一般表現(xiàn)為供應(yīng)量與需求量、供應(yīng)時(shí)期與需求時(shí)期的不一致，人們在供應(yīng)與需求之間加入存儲這一環(huán)節(jié)，能緩解兩者之間的不協(xié)調(diào)。在存儲這一環(huán)節(jié)通?？紤]需求量的多少與合適供應(yīng)的問題，以這類問題為研究對象，專門研究這類有關(guān)存儲問題的科學(xué)，構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支——存儲論（InventoryTheory）。早在1915年，哈里斯（F.Harris）針對銀行貨幣的儲備問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，建立了一個(gè)確定性的存儲費(fèi)用模型，并求得了最佳存儲批量公式。

為了全面了解存儲理論，下面首先介紹存儲論一些有關(guān)名詞術(shù)語的含義和基本概念。（1）需求(存儲的輸出)由于需求，從存儲物中提取一定的數(shù)量，使存儲量減少，因此需求就是存儲的輸出。需求方式有間斷式的，如工業(yè)企業(yè)的備件、貴重設(shè)備的需求；有均勻式的，如人們對食品和日用品的需求，如圖5.1所示。需求量有的是確定性的，有的是隨機(jī)性的。例如火電廠，每月固定燃燒一定的噸煤，這是確定性的；而某百貨商店賣出去的某種商品數(shù)量，如肥皂粉的袋數(shù)，可能今天是20袋，明天是35袋，對于未來的某一天來說并不知其確切數(shù)量，但是經(jīng)過大量歷史資料統(tǒng)計(jì)以后，可能發(fā)現(xiàn)其具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這稱為有一定隨機(jī)分布的需求。（2）補(bǔ)充(通過訂貨或生產(chǎn))

補(bǔ)充相當(dāng)于存儲的輸入，由于存儲物因不斷輸出造成庫存量減少，因此必須及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充，否則將不能滿足持續(xù)的需求。補(bǔ)充的方式可以是向供應(yīng)商訂貨購買，也可以自己組織生產(chǎn)。從訂貨到貨物進(jìn)入被存儲狀態(tài)，或從組織生產(chǎn)到產(chǎn)品入庫往往需要一段時(shí)間，稱這段時(shí)間為滯后時(shí)間。為了能夠及時(shí)補(bǔ)充存儲，必須提前訂貨或組織生產(chǎn)，這段時(shí)間被稱為提前時(shí)間。滯后時(shí)間可能很長也可能較短，可能是確定性的，也可能是隨機(jī)性的。

存儲論在此要解決的問題是：需要多長時(shí)間對存儲進(jìn)行補(bǔ)充以及補(bǔ)充數(shù)量是多少。（3）存儲系統(tǒng)

由一個(gè)或若干個(gè)具有補(bǔ)充（存儲的輸入）與需求（存儲的輸出）形成的存儲單元組合而成的系統(tǒng)，稱之為存儲系統(tǒng)。最簡單的存儲系統(tǒng)只有一個(gè)存儲單元，叫作單點(diǎn)式存儲系統(tǒng)(如圖5.2（a）)。復(fù)雜的存儲系統(tǒng)形式有：①多點(diǎn)并聯(lián)式(如圖5.2（b）)，如高爐供料系統(tǒng)，它由礦石、焦炭、石灰石等若干個(gè)存儲單元并聯(lián)而成；②多點(diǎn)串聯(lián)式(如圖7.2（c）)，如工廠中生產(chǎn)流水線便是這種形式；③多點(diǎn)串并聯(lián)式(如圖5.2（d）)。圖5.2存儲系統(tǒng)示意圖

根據(jù)長期的科學(xué)研究與經(jīng)驗(yàn)積累，現(xiàn)已得出一些行之有效的庫存控制存儲模型，總體上看可以分為兩類：一類稱為確定需求下的確定性存儲模型，另一類為隨機(jī)需求下的隨機(jī)性存儲模型。不論是哪一類型的存儲問題，在建模和求解的過程中，都要緊緊把握住以下三個(gè)重要步驟：1)根據(jù)實(shí)際問題，準(zhǔn)確地繪制存儲量變化狀態(tài)圖；2)通過全面分析存儲系統(tǒng)產(chǎn)生的各種費(fèi)用，建立可比的費(fèi)用函數(shù)；3)求在總費(fèi)用最低意義下的經(jīng)濟(jì)批量和訂貨周期。

衡量存儲策略優(yōu)劣的最直接的標(biāo)準(zhǔn)就是計(jì)算該策略所耗用的平均費(fèi)用，因此我們有必要對存儲問題中的費(fèi)用作詳細(xì)的分析。（6）存儲問題中的幾項(xiàng)費(fèi)用

在存儲模型中涉及四種類型的費(fèi)用，它們的精確定義依賴企業(yè)的類型，如工業(yè)企業(yè)通過不斷生產(chǎn)產(chǎn)品來補(bǔ)充庫存以應(yīng)對市場和客戶的需求，商業(yè)企業(yè)通過采購來補(bǔ)充庫存。在補(bǔ)充庫存中，有四種獨(dú)立的庫存成本或存儲費(fèi)用：訂貨費(fèi)、單位成本費(fèi)、存儲費(fèi)和缺貨損失費(fèi)。1)訂貨費(fèi)（訂購費(fèi)或生產(chǎn)裝配費(fèi)）

訂貨費(fèi)，是指訂貨單位處理一種物品的重復(fù)訂單的費(fèi)用，如手續(xù)費(fèi)、差旅費(fèi)、聯(lián)絡(luò)通信費(fèi)等，訂貨費(fèi)僅與訂貨次數(shù)有關(guān)而與訂貨數(shù)量無關(guān)。要確定這項(xiàng)費(fèi)用須經(jīng)過仔細(xì)的核算，不能簡單地把搬運(yùn)費(fèi)、管理費(fèi)等均攤到每一件物資上，因?yàn)檫@樣會與批量有關(guān)。生產(chǎn)裝配費(fèi)是生產(chǎn)企業(yè)組織一次生產(chǎn)必要的機(jī)器調(diào)整、安排而付出的費(fèi)用，如模具的安裝、機(jī)床的調(diào)整和材料的安排等，與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)。2)單位成本或貨物單價(jià)單位成本費(fèi)或貨物單價(jià)指企業(yè)或組織為得到某一單位的物品而支出的費(fèi)用，這一數(shù)值可以查看物品報(bào)價(jià)單或供應(yīng)商開具的銷售發(fā)票。顯然它與訂貨量或生產(chǎn)數(shù)量有關(guān)，如物品本身的價(jià)格、運(yùn)費(fèi)等。如果單位成本費(fèi)是與時(shí)間和數(shù)量無關(guān)的常數(shù)，那么在計(jì)算存儲總費(fèi)用時(shí)，可以不予考慮，但是單位成本費(fèi)有時(shí)是變動(dòng)的，如考慮資金的利息，或進(jìn)行現(xiàn)值化的計(jì)算即把不同時(shí)間付出的資金，都按一定的折現(xiàn)率轉(zhuǎn)化成當(dāng)前的資金，然后進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，又如有時(shí)采購有批量折扣即訂貨數(shù)量大時(shí)，價(jià)格有一定的優(yōu)惠折扣等，這時(shí)在計(jì)算存儲總費(fèi)用時(shí)需要予以考慮。3)存儲費(fèi)

存儲費(fèi)指在一定時(shí)期內(nèi)持有單位物品而支出的費(fèi)用。例如，在一段時(shí)間存儲一臺大型設(shè)備所花費(fèi)的成本，存儲費(fèi)一般與物品存儲數(shù)量和時(shí)間成比例。①

利息：物資占用的資金利息，有時(shí)可不作為存儲費(fèi)的一部分而作為成本費(fèi)的一部分來計(jì)算。②

物資的存儲損耗、折舊和跌價(jià)損失：物資存放在倉庫中，除有腐蝕、變質(zhì)、破碎、失竊等損耗外，常常還因技術(shù)發(fā)展或新產(chǎn)品的出現(xiàn)而使其價(jià)格下降等。③

物資的稅金與保險(xiǎn)費(fèi)等。④

倉庫的折舊費(fèi)：保險(xiǎn)費(fèi)、通風(fēng)、照明、起重、自控設(shè)備、房租、地租等費(fèi)用。⑤

倉庫內(nèi)搬運(yùn)費(fèi)：包括倉庫內(nèi)整理、堆碼、盤點(diǎn)、保養(yǎng)等搬運(yùn)使用的機(jī)械費(fèi)、燃料費(fèi)、司機(jī)和搬運(yùn)工人的工資等。⑥

其他管理費(fèi)：如保管人員的工資，辦公室、福利設(shè)施的折舊、修理費(fèi)，辦公用品及低值易耗品的購置費(fèi)，差旅費(fèi)、會議費(fèi)等。4)缺貨損失費(fèi)

缺貨損失費(fèi)指存儲未能滿足需求時(shí)造成的損失。例如，當(dāng)生產(chǎn)原材料缺貨時(shí)，將造成停工待料損失。有時(shí)為了生產(chǎn)急需，必須采用緊急訂貨而多付出費(fèi)用。當(dāng)產(chǎn)品供不應(yīng)求時(shí)，沒有把握住應(yīng)有的銷售機(jī)會，就會影響利潤，造成信譽(yù)的損失，以及不能履行合同而要繳納的罰款等費(fèi)用。一般缺貨損失的情況與缺貨數(shù)量和缺貨時(shí)間有關(guān)，即缺貨的數(shù)量越多、缺貨時(shí)間越長，損失越大。由于存在多種不確定性，有時(shí)缺貨損失很難確定。

綜上所述，所謂合理的存儲問題，就是研究什么時(shí)候訂貨或組織生產(chǎn)，訂購多少貨物或生產(chǎn)多少數(shù)量的產(chǎn)品，既可以使存儲系統(tǒng)總費(fèi)用最小，又可以避免因缺貨而影響生產(chǎn)或銷售。在存儲問題中根據(jù)需求的變化是確定的常數(shù)還是隨機(jī)的規(guī)律性，可將用于庫存控制的存儲模型分為確定性存儲模型和隨機(jī)性存儲模型。5．2確定性存儲模型假定在單位時(shí)間t內(nèi)(或計(jì)劃期)的需求量是已知常數(shù)，其訂貨策略形成t循環(huán)策略，模型的目標(biāo)函數(shù)是以總成本(總訂貨成本+總存儲成本+總?cè)必洺杀?最小為準(zhǔn)則建立的。在建立存儲模型時(shí)定義的參數(shù)及其符號如下所示:R

：需求率(DemandperUnitTime)。c1

：單位時(shí)間內(nèi)單位貨物的存儲費(fèi)(HoldingCostperUnitperUnitTime)。c2

：單位時(shí)間內(nèi)單位貨物的缺貨損失費(fèi)(HoldingCostperUnitperUnitTime)。c3

：一次訂貨費(fèi)，即訂購費(fèi)或生產(chǎn)裝配費(fèi)(SetupCostorFixedOrderingCost)。k3：貨物單價(jià)(UnitAcquisitionCost)。Q：訂購批量或生產(chǎn)批量(OrderQuantityorProductionLotSize)。S：最大缺貨量(MaximumBackorder)。n：單位時(shí)間內(nèi)的訂貨次數(shù)(OrderFrequencyperUnitTime)，顯然

n

=1/t

。5.2.1基本經(jīng)濟(jì)訂購批量模型這項(xiàng)模型是針對以一個(gè)固定需求率從庫存中提出貨物的情況而設(shè)計(jì)的。例如，某汽車生產(chǎn)企業(yè)以每月1000個(gè)的速度購買某汽車備件，按年計(jì)算，需求率為1000×12=12000(個(gè)/年)。除固定需求率外，模型還有兩個(gè)關(guān)鍵的假設(shè)：①

訂購的貨物在需要時(shí)立即到達(dá)，即瞬時(shí)補(bǔ)充；②

貨物不允許缺貨。在一定時(shí)期內(nèi)周期訂貨，當(dāng)訂購批量小時(shí)，則存儲費(fèi)小，但訂貨次數(shù)頻繁，會增加訂貨費(fèi)；當(dāng)訂購批量大時(shí)，則存儲費(fèi)大，但訂貨次數(shù)減少，會減少訂貨費(fèi)。經(jīng)濟(jì)訂購批量模型的目的是找出一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的訂購批量Q(模型的決策變量)，使庫存貨物滿足需求時(shí)的總費(fèi)用最省。

設(shè)周期性訂貨滿足的時(shí)間間隔為

t，需求率為

R，此時(shí)訂購批量Q

=

Rt，存儲費(fèi)為c1。觀察t時(shí)間內(nèi)存儲量隨著訂貨與需求而發(fā)生變化的狀態(tài)圖(見圖5.3)，并加總能夠可比的訂貨費(fèi)和存儲費(fèi)。由于需求率為常數(shù)，因此在t時(shí)間內(nèi)的平均存儲量為

Q/2，如圖5.3所示的虛線表示，則單位時(shí)間內(nèi)的平均存儲費(fèi)用函數(shù)為又訂貨費(fèi)(訂購費(fèi)或生產(chǎn)裝配費(fèi))為c3，單位成本或貨物單價(jià)為

k，訂貨支出費(fèi)為c3

+kQ，單位時(shí)間內(nèi)的平均訂貨費(fèi)用函數(shù)為，，不考慮貨物本身的成本時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)的平均訂貨費(fèi)用函數(shù)為第一項(xiàng)，記為

存儲策略的總費(fèi)用可由存儲費(fèi)和訂貨費(fèi)表示，由此可得一個(gè)訂貨周期時(shí)間

t

內(nèi)的平均總費(fèi)用函數(shù)為最優(yōu)存儲策略即是平均總費(fèi)用最小的訂購批量，令，即得最佳訂貨周期為（5.1）由

Q=Rt，得經(jīng)濟(jì)訂購批量為（5.2）

式(5.2)即為著名的經(jīng)濟(jì)訂購批量公式(EconomicOrderQuantity，EOQ)，該公式1915年由美國西屋公司的經(jīng)濟(jì)學(xué)家FordHarris提出。

如果不考慮貨物本身的成本，經(jīng)濟(jì)訂購批量的最小費(fèi)用為:（5.3）

式(5.3)也可由平均總費(fèi)用函數(shù)的算數(shù)-幾何平均值不等式得到，當(dāng)時(shí)，平均總費(fèi)用函數(shù)的最小值為（見圖5.4）。例5.1某汽車制造廠每月需外購某種汽車零部件

100

件，不允許缺貨。已知該廠向上游供應(yīng)商訂購這種汽車零部件，每次的訂購費(fèi)為

400

元，若這種零部件在倉庫存放時(shí)，單位零部件每月的存儲費(fèi)為

2

元，求汽車制造廠的經(jīng)濟(jì)訂購批量及最佳訂貨周期。解件/月，元/次，元/(件·月)。代入式(5.1)和式(5.2)，有經(jīng)濟(jì)訂購批量及最佳訂貨周期分別為

例5.2某公司平均每天銷售某項(xiàng)物資

2

噸，不允許缺貨。已知每次的訂購費(fèi)為100元，單位物資每月的存儲費(fèi)為

60

元，求該公司經(jīng)濟(jì)訂購批量、最佳訂貨周期及一年訂購物資的最佳次數(shù)。解

噸/天，

元/次，

元/(噸·天)。有經(jīng)濟(jì)訂購批量及最佳訂貨周期分別為

（噸）

（天）一年訂購物資的最佳次數(shù)為（次）這里表示上取整，即不小于x的最小整數(shù)。

還需要說明一點(diǎn)，實(shí)際訂購批量與最佳訂購批量往往會有偏差，這時(shí)需考慮訂貨偏差對費(fèi)用的影響。設(shè)實(shí)際訂貨偏差率為，則實(shí)際訂購批量，因此實(shí)際訂貨周期和訂貨費(fèi)分別為

上式第二項(xiàng)即為由實(shí)際訂購批量偏差而增加的費(fèi)用，費(fèi)用偏差系數(shù)表示為當(dāng)實(shí)際訂貨偏差率

改變時(shí)，費(fèi)用偏差系數(shù)計(jì)算結(jié)果見表5.1。表5.1表明，實(shí)際訂購批量較最佳批量偏差

10%

以內(nèi)，費(fèi)用增加不超過4.5‰；而當(dāng)實(shí)際訂購批量較最佳訂購批量多100%或少50%時(shí)，費(fèi)用僅增25%。即偏差引起的費(fèi)用增加并不明顯，這是EOQ公式的一大優(yōu)點(diǎn)，直觀效果如圖5.5所示。表5.1偏差率和偏差系數(shù)對應(yīng)表-0.5-0.2-0.10.10.20.30.510.250.0250.0060.00450.0170.0350.0830.25O-0.510.25圖5.5偏差系數(shù)變化趨勢5.2.2允許缺貨的EOQ模型

該模型是基本EOQ模型的變形，其不同之處在于允許計(jì)劃內(nèi)的缺貨，當(dāng)缺貨發(fā)生時(shí)，受影響的客戶需要等待至再次得到該貨物，且客戶的缺貨量將在補(bǔ)充庫存的貨物到達(dá)時(shí)瞬時(shí)得到滿足。模型的假設(shè)有：①

訂購的貨物在補(bǔ)充庫存時(shí)立即到達(dá)，即瞬時(shí)補(bǔ)充；②

貨物允許缺貨。設(shè)周期性訂貨滿足的時(shí)間間隔為

t，期初存儲量為（最大庫存量），需求率為R，訂購量Q=Rt，訂貨費(fèi)為c1，缺貨損失費(fèi)為c2，單位存儲費(fèi)為c3。觀察t時(shí)間內(nèi)存儲量隨著訂貨與需求而發(fā)生變化的狀態(tài)圖

(見圖5.6)，所需的訂貨費(fèi)、缺貨損失費(fèi)和存儲費(fèi)可以由如下函數(shù)獲得。在時(shí)間段，平均存儲量為，且，則平均存儲費(fèi)用函數(shù)為

在時(shí)間段存儲量為0，平均缺貨量為，則平均缺貨損失費(fèi)用函數(shù)為不考慮貨物本身的成本時(shí)，在單位時(shí)間可比的平均訂貨費(fèi)用函數(shù)為由此得到一個(gè)訂貨周期時(shí)間內(nèi)的單位時(shí)間平均總費(fèi)用函數(shù)為最優(yōu)存儲策略即是平均總費(fèi)用最小的訂購批量，利用多元函數(shù)求極值方法，令解得最佳訂貨周期為（5.4）最大庫存量為（5.5）將它們代入總費(fèi)用函數(shù)得最小費(fèi)用（5.6）同時(shí)，由得最佳的經(jīng)濟(jì)批量訂貨量，即（5.7）由得最大缺貨量，即（5.8）注意到，當(dāng)缺貨損失費(fèi)很大時(shí)，有，公式（5.4）、（5.7）和（5.6）可化為公式（5.1）、（5.2）和（5.3），即EOQ模型公式。

例5.3某大型超市一貫采用不允許缺貨的EOQ模型公式確定某品牌日用品的訂購批量，但由于激烈的市場競爭使得公司不得不考慮改用允許缺貨的訂貨策略。設(shè)日用品的需求率為1000件/月，日用品的訂購費(fèi)為40元/次，單位日用品的存儲費(fèi)為1元/月，單位日用品的缺貨損失費(fèi)為1元/月，求最佳訂貨周期、經(jīng)濟(jì)訂購批量、最大缺貨量及經(jīng)濟(jì)訂購總費(fèi)用。解需求率件/月，訂貨費(fèi)元/次，存儲費(fèi)，

。代入式(5.7)、式

(5.4)、式(5.8)和式(5.6)，有經(jīng)濟(jì)訂購批量、最佳訂貨周期、最大缺貨量及經(jīng)濟(jì)訂購總費(fèi)用分別為5.2.3有數(shù)量折扣的EOQ模型基本的經(jīng)濟(jì)訂購批量模型即EOQ模型是用來確定企業(yè)在固定訂購批量時(shí)一次訂貨(外購或自制)的數(shù)量，當(dāng)企業(yè)按照經(jīng)濟(jì)訂購批量訂貨時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)訂貨成本和存儲成本之和最小化。

在一些實(shí)際的訂貨問題中，供應(yīng)商往往根據(jù)訂貨量向供應(yīng)鏈下游用戶提供價(jià)格折扣，鼓勵(lì)用戶大量購買，此時(shí)由用戶的訂貨量確定的批發(fā)價(jià)格一般是訂貨量的階梯減函數(shù)，之所以是減函數(shù)是基于規(guī)模經(jīng)濟(jì)和交易成本的考慮。價(jià)格的折扣對于博弈的雙方都是有利的：價(jià)格折扣對于制造商，隨著生產(chǎn)批量加大和生產(chǎn)成本降低，有銷售規(guī)模增加和銷售市場擴(kuò)大，從而能獲取更大利潤；價(jià)格折扣對于各級分銷商也是有利的，可以較少發(fā)生缺貨的現(xiàn)象，有效應(yīng)對價(jià)格上漲，同時(shí)訂購量大帶來的訂貨次數(shù)減少，也使裝運(yùn)成本降低。有數(shù)量折扣的EOQ模型建模的基本思路是先計(jì)算經(jīng)濟(jì)訂購批量，然后代入不同單價(jià)，計(jì)算總的采購費(fèi)用(含貨物本身的成本)，取最小者的訂貨數(shù)量。當(dāng)需求率和單位存儲費(fèi)確定時(shí)，該模型可以指導(dǎo)用戶合理地采購，使總的采購費(fèi)用最低。

圖5.7有三個(gè)折扣點(diǎn)的平均總費(fèi)用函數(shù)有數(shù)量折扣的EOQ模型求解步驟如下：(i)求出忽略折扣的經(jīng)濟(jì)訂購批量，若，計(jì)算此時(shí)的平均總費(fèi)用為；(ii)計(jì)算，

；(iii)若，則

對應(yīng)的批量為最小費(fèi)用訂購批量，最小費(fèi)用對應(yīng)的訂購周期。例5.4某小型航空公司每年需用航空快餐20000套，每次訂貨費(fèi)為36元，年存儲費(fèi)為4元。當(dāng)訂購量小于500套時(shí)，單價(jià)為11元；當(dāng)訂購量大于等于500套且小于800套時(shí)，單價(jià)為10元；當(dāng)訂購量大于等于800套且小于1200套時(shí)，單價(jià)為9元；當(dāng)訂購量大于等于1200套時(shí)，單價(jià)為8元。試計(jì)算最優(yōu)訂購快餐的批量及最佳訂貨周期。解套/年，=36元/次，，分段的單位快餐價(jià)格函數(shù)為

先忽略單位零件價(jià)格函數(shù)的影響，計(jì)算（套），故單位快餐價(jià)格為10（元），此批量訂貨的總費(fèi)用元；再分別計(jì)算時(shí)的總費(fèi)用

比較總費(fèi)用可知最小費(fèi)用訂購批量,即采用每批訂購1200套的折扣批量，最佳訂貨周期。5.3單周期的隨機(jī)性存儲模型

在確定性存儲模型中，假定各時(shí)期的需求量是確定的，但實(shí)際問題中需求量往往不是確定值，如時(shí)令性產(chǎn)品：報(bào)紙和書刊、季節(jié)性服裝和食品、計(jì)算機(jī)硬件和內(nèi)存等的需求量。

這類存儲問題的含義：如果本期存儲的產(chǎn)品沒有銷售完，到下一期該產(chǎn)品就要貶值，降低的產(chǎn)品價(jià)格甚至比該產(chǎn)品的成本還要低，造成利潤減少；如果本期產(chǎn)品不能滿足需求，則會因缺貨或失去銷售機(jī)會而帶來損失。無論是供過于求還是供不應(yīng)求，時(shí)令性產(chǎn)品存儲都會有損失。在需求有隨機(jī)規(guī)律時(shí)，判斷該時(shí)期訂貨多少可使預(yù)期的總損失最小或總盈利最大。

本節(jié)的單周期的隨機(jī)性存儲模型，是指在周期內(nèi)只能提出一次訂貨，發(fā)生短缺時(shí)不允許再提出訂貨，周期結(jié)束時(shí)，剩余貨物可以處理。對隨機(jī)性存儲模型進(jìn)行評價(jià)時(shí)，常采用損失期望值最小或獲利期望值最大的準(zhǔn)則。5.3.1離散需求的隨機(jī)性存儲模型

報(bào)童問題：有報(bào)童每天售出的報(bào)紙份數(shù)（即報(bào)紙需求量）X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，已知概率，。

報(bào)童每售出一份報(bào)紙能賺k元；如售剩報(bào)紙，每剩一份賠h元。問報(bào)童每天應(yīng)進(jìn)貨多少份報(bào)紙？

設(shè)報(bào)童每天應(yīng)進(jìn)貨Q份報(bào)紙。現(xiàn)采用損失期望值最小準(zhǔn)則來確定Q。

當(dāng)供過于求時(shí)，損失的期望值為

當(dāng)供不應(yīng)求時(shí)，損失的期望值為

報(bào)童每天總的損失期望值為損失期望最小值的必要條件是最佳進(jìn)貨量滿足即求解得

（5.10）滿足上式成立的最佳進(jìn)貨量為，稱（5.11）為損益轉(zhuǎn)折概率或最優(yōu)服務(wù)水平，即選擇最佳進(jìn)貨量使得避免缺貨的概率不低于這一服務(wù)水平，此時(shí)總成本的期望值最小。由公式（5.10）計(jì)算的要點(diǎn)：將對應(yīng)的概率逐個(gè)累加，當(dāng)累加到剛好達(dá)到或超過對應(yīng)的進(jìn)貨量就是最佳進(jìn)貨量

。例5.5

已知某商品銷售量服從泊松分布，平均銷售量為6件。該商品每件進(jìn)價(jià)40元，售價(jià)75元。商品過期后將削價(jià)為每件20元并一定可以售出。解已知，。由公式(5.11)計(jì)算損益轉(zhuǎn)折概率。查泊松概率分布表得知，的累積概率對應(yīng)的銷售量是6和7之間，故最佳進(jìn)貨量為7件。5.3.2連續(xù)需求的隨機(jī)性存儲模型設(shè)單位貨物進(jìn)價(jià)為,單位售價(jià)為，存儲費(fèi)為。當(dāng)需求量是連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，其概率密度函數(shù)為，。問貨物的訂購量為何值時(shí)，贏利期望值最大？當(dāng)貨物的訂購量（或生產(chǎn)量）為，需求量為時(shí)，實(shí)際銷售量為，因而實(shí)際銷售收入為

，進(jìn)貨成本為，貨物存儲費(fèi)為記訂購批量的贏利為，即贏利的期望值為其中為平均贏利，與訂購量無關(guān)，記減項(xiàng)為期望損失值（含貨物進(jìn)貨成本），則問題可轉(zhuǎn)化為問題。令，有（5.12）由公式（5.12）確定的訂購量為最佳訂貨量，記為，此時(shí)的損失期望值最?。ㄈ鐖D5.8）。當(dāng)時(shí)，公式（5.12）不成立，這種情況表示訂購貨物無利可圖，故不應(yīng)訂購，即

。當(dāng)缺貨損失不但考慮銷售收入的減少，還要考慮賠償對方的損失時(shí)，缺貨費(fèi)為，有，只需在前面推導(dǎo)過程中用代替即可。這種情況的最佳訂貨量由下式確定：（5.13）例5.6某鋼鐵廠生產(chǎn)的某型優(yōu)質(zhì)鋼材需求量服從正態(tài)分布，期望，標(biāo)準(zhǔn)差。每噸鋼材成本22000元，售價(jià)為32000元，每月單位存儲費(fèi)1000元。問工廠每月生產(chǎn)該鋼材多少噸，使獲利的期望值最大？解已知。需求量，由公式(5.12)計(jì)算利用Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)建立正態(tài)分布累積概率值表，在C8單元格輸入“=(C3C2)/(C4+C3)”，在C9單元格輸入“=NORMINV(C8,C5,C6)”，如圖5.9所示。故該鋼鐵工廠每月應(yīng)生產(chǎn)這種鋼材58.5噸。

例5.7已知某商品的需求量

X服從區(qū)間[0，10]上的均勻分布，，，，該存儲系統(tǒng)的最優(yōu)策略是什么？解由公式(5.13)計(jì)算臨界數(shù),再由得,即，該系統(tǒng)的最佳訂貨量是8個(gè)單位，若q為期初存貨，需訂貨8-q個(gè)單位。5.4案例分析案例分析某航空食品廠如何確定最優(yōu)存儲方案

某航空食品有限公司是一家經(jīng)營航空配餐的企業(yè)，日均配餐量達(dá)到1.5萬份，日均服務(wù)航班超過100架次。隨著旅游業(yè)的發(fā)展，越來越多的國內(nèi)外航空公司開辟新航線，增加航班，航空食品銷售前景一片光明。由于航空食品的高品質(zhì)性，航空食品生產(chǎn)所需的原料及生產(chǎn)后的冷藏運(yùn)輸大大增加了采購、配送等成本。在競爭激烈的今天，若要提高企業(yè)運(yùn)營效率和取得更好的經(jīng)濟(jì)效益，必須制定最優(yōu)的存儲策略，最大限度降低成本。

經(jīng)調(diào)查可知，該企業(yè)倉庫常用原料共70余種，上一年全年原料耗費(fèi)總額1.08億元。由于消耗原料種類較多，消耗量相差很大，采購難易程度不同，這給原料儲備帶來了困難。為了解決這一矛盾，并盡可能地降低成本，采用庫存管理的ABC法制訂合理的倉儲計(jì)劃，倉庫原料分類情況如表5.2所示。表5.2航空配餐原料分類及比例

原料分類原料品種原料支出品種（項(xiàng)）占總項(xiàng)數(shù)（%）金額（萬元）占總金額（%）A710810075B2130216020C42605405合計(jì)7010010800100如表5.2所示A類原料品種為水果、蔬菜、肉禽、蛋、小麥粉、白糖、食用油七項(xiàng)，從表中可以看出雖然A類原料品種只占消耗原料總數(shù)的10%，消耗金額卻占75%；其他原料(B類和C類)品種占消耗原料總數(shù)的90%，但消耗金額僅占25%，因此應(yīng)重點(diǎn)做好A類原料的存儲管理工作。

根據(jù)航空配餐市場需求和A類原料的供應(yīng)商情況，七項(xiàng)A類原料的存儲要求：果蔬、肉禽原料不允許缺貨且在需要時(shí)瞬時(shí)補(bǔ)貨；不是所有的航空配餐都使用雞蛋原料，因此此種原料允許缺貨；食用油原料消耗量較大，易于采購和長時(shí)間保存，因此不同批量的采購價(jià)格不同；白糖、小麥粉原料，除不允許缺貨外，貨源充足易于采購。設(shè)A類七項(xiàng)的每項(xiàng)原料當(dāng)年的需求量、每次訂購費(fèi)、存儲費(fèi)和缺貨損失費(fèi)等消耗是已知的，針對各類原料如何采取最優(yōu)的存儲策略或制定最佳原料存儲量和最佳訂貨時(shí)間是一個(gè)值得考慮的問題。通過對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以利用科學(xué)的方法為該企業(yè)做出最優(yōu)的決策。5.5案例討論案例討論1華勝混凝土廠的鋼筋存儲問題華勝混凝土廠從瑞典某公司引進(jìn)設(shè)備和技術(shù)，近年又改造生產(chǎn)線，2012年重新投產(chǎn)，產(chǎn)品為加氣混凝土砌塊及加氣混凝土屋面板，主要用于建筑的墻體及屋面，具有良好的保溫、防火性能，且質(zhì)輕易于運(yùn)輸，利于抗震。該廠產(chǎn)品優(yōu)勢在加氣混凝土板材上，鋼筋用于車間生產(chǎn)板材，若缺貨，將導(dǎo)致較大的缺貨損失，包括板材相應(yīng)的利潤、大批工人停工的損失，以及企業(yè)信譽(yù)的損失等，這些損失遠(yuǎn)超過鋼筋的存儲成本，所以視其為不允許缺貨的模型。另外，由于現(xiàn)在是買方市場，物流便捷方便，且價(jià)格穩(wěn)中有降，所以視其為生產(chǎn)時(shí)間很短的模型。經(jīng)調(diào)查可知如下信息：1.年需求量的計(jì)算(1)計(jì)劃板材產(chǎn)量：90000立方米；(2)鋼筋消耗計(jì)劃：35千克/立方米；(3)年需求總量：90000立方米

×

35千克/立方米=3150000千克

=3150噸；(4)由經(jīng)驗(yàn)預(yù)測其中型號6.5的鋼筋年需求量：1300噸/年；型號8的鋼筋年需求量：1050噸/年；型號10的鋼筋年需求量：800噸/年。2.存儲費(fèi)（存儲費(fèi)

=

貨物占用資金應(yīng)付的利息+保管費(fèi)+貨物損壞費(fèi)）1998年年利率為1.24％，鋼筋單價(jià)為2400元/噸；貨物占用資金應(yīng)付的利息：29.76元/噸；貨物損壞變質(zhì)的費(fèi)用：每年總有1～2捆鋼筋因銹蝕作廢物(1捆鋼筋為1.5～2噸，此處計(jì)為1.5噸。廢鋼筋為600～800元/噸，此處計(jì)為800元/噸)處理；貨物損失為：1.5噸×（2400—800）元/噸＝2400元；分?jǐn)偟矫恳粐崬椋?400元÷3150噸＝0.76元/噸；其他費(fèi)用暫視為0，則存儲費(fèi)用總共為：29.76＋0.76＝30.52（元/噸）3.訂購費(fèi)（訂購費(fèi)

=

手續(xù)費(fèi)

+

電信往來費(fèi)

+

委派人員的費(fèi)用）此費(fèi)用為估算法?，F(xiàn)作如下估計(jì)：（1）每次派兩人：供應(yīng)科長及司機(jī)；（2）每次花時(shí)間為兩個(gè)半天（包括洽談?dòng)嗀?、給支票、取發(fā)票等）；（3）交往費(fèi)。

以上三項(xiàng)計(jì)為200元/次，其他費(fèi)用（手續(xù)費(fèi)，電信往來費(fèi)）計(jì)為20元/次，則定購費(fèi)為220元/次。4.生產(chǎn)準(zhǔn)備期（為防止訂貨后，鋼筋進(jìn)廠的時(shí)間拖后或者由于板材生產(chǎn)量的突然增加導(dǎo)致缺貨而設(shè)置的緩沖量）。生產(chǎn)準(zhǔn)備期設(shè)為4天，即在鋼筋用完前4天就訂貨。請分別對型號6.5、型號8及型號10的鋼筋的存儲問題進(jìn)行科學(xué)決策。案例討論2北京方舟科技有限公司的產(chǎn)品存儲決策問題

北京方舟科技有限公司，涉及多媒體網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用、數(shù)字視頻、電子出版和桌面印刷制版等技術(shù)領(lǐng)域。公司提供從產(chǎn)品開發(fā)、網(wǎng)絡(luò)集成、系統(tǒng)銷售，直到專業(yè)化的影視后期編輯、平面設(shè)計(jì)、電子出版物制作等多項(xiàng)服務(wù)。非線性視音頻編輯系統(tǒng)(簡稱“非線性”)是公司的主要產(chǎn)品之一。“非線性”是應(yīng)用于廣播電視領(lǐng)域的專業(yè)計(jì)算機(jī)多媒體設(shè)備，主要用來完成電影、電視節(jié)目(如：新聞、專題、電視劇……)的編輯制作。目前，公司的“非線性”產(chǎn)品的核心硬件(Finishqxc/NT，F(xiàn)inishV60及FinishV80)，均是從美國進(jìn)口，如何訂貨才能使公司的成本最低是在年初計(jì)劃時(shí)必須解決的問題。由于該產(chǎn)品的訂購折扣是一定的，且在實(shí)際銷售過程中并不要求必須為現(xiàn)貨供應(yīng)。因此，為允許缺貨的經(jīng)濟(jì)訂購批量模型。具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表5.3所示。表5.3企業(yè)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表中的費(fèi)用信息有以下說明：（1）由于計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)發(fā)展非常快，技術(shù)折舊大，也就是說，產(chǎn)品如購進(jìn)后沒能及時(shí)售出，其技術(shù)折舊所帶來的損失非常大。因此在年存儲費(fèi)中，不但有庫存費(fèi)，還包括了產(chǎn)品的年技術(shù)折舊損失。（2）缺貨損失是指由于缺貨而帶來的合同損失費(fèi)用，以及由此引起的公司信用等軟性損失。

根據(jù)以上信息，該企業(yè)該如何制定其存儲決策。產(chǎn)品核心硬件年訂貨量/套單位產(chǎn)品成本/元訂貨費(fèi)/元年存儲費(fèi)/元缺貨損失/元Finishqxc/NT1800265003000158001400FinishV601000420003000245002000FinishV80120920003000540004600案例討論3博明包裝制品廠的存儲決策問題博明包裝制品廠2010年開始進(jìn)口日本、韓國產(chǎn)的銅版紙、膠版紙、白板紙等印刷、包裝使用紙張，并在國內(nèi)銷售。利用存儲論可以解決公司訂貨量、訂貨時(shí)間的問題，以免因紙張存貨不足發(fā)生缺貨現(xiàn)象而失去銷售機(jī)會，或因?yàn)檫M(jìn)貨過多造成商品積壓，占用流動(dòng)資金過多導(dǎo)致周轉(zhuǎn)不開。根據(jù)如下信息請對其存儲問題進(jìn)行決策。

由于包裝市場對紙張的需求具有隨機(jī)性，故要建立隨機(jī)性存儲模型。選擇定點(diǎn)訂貨策略，即庫存降到某一確定的數(shù)量時(shí)訂貨，而且訂貨的數(shù)量不變。存儲量的變化如圖

5.10

所示。根據(jù)公司連續(xù)兩年多的紙張銷售記錄，可計(jì)算出公司紙張每月的平均銷售量(即需求量)為

486

噸，年均需求量為

5832

噸，標(biāo)準(zhǔn)偏差為

128

噸。公司平均每次的訂貨費(fèi)為

5000

元，一噸紙張每年的存儲費(fèi)用為

280

元。由于貨物需要從韓國或日本進(jìn)口，從簽約開立信用證到貨物到達(dá)口岸，進(jìn)入倉庫大約需要

25

天，故提前期內(nèi)的平均需求量為

405

噸，公司規(guī)定允許的缺貨率為

10%圖5.10

存儲量的變化復(fù)習(xí)思考題1、某工程隊(duì)建設(shè)一條工廠鐵路專用線，假設(shè)平均每天需要

8

根鋼筋混凝土軌枕，每根300元。軌枕由預(yù)制廠運(yùn)往工地需要?jiǎng)佑妙A(yù)制廠的吊車，吊車是按臺班收費(fèi)的，30