南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院運籌學(xué)第五章存儲論

在人類社會生產(chǎn)和商品交換的種種活動中，存儲是一種普遍的現(xiàn)象。例如，在工廠，生產(chǎn)需要原材料、輔助材料或某些外協(xié)零部件、在產(chǎn)品和產(chǎn)成品等。這些物件如果存儲太少，一旦供應(yīng)不上就不能滿足生產(chǎn)需求；如果存儲過多，除積壓資金外，還要承擔(dān)一筆不小的保管費用，以及面臨由于物資存儲過久，造成銹蝕、霉爛變質(zhì)、流失等資源的損失和浪費問題。在生產(chǎn)過程中，為了均衡且有節(jié)奏地進行生產(chǎn)，工序與工序之間也存在合理的存儲問題。

再有，工廠的產(chǎn)品生產(chǎn)通常是根據(jù)市場需求和訂貨合同來進行的，由于市場需求量常常具有隨機性，因此企業(yè)的決策者面臨應(yīng)該間隔多長時間生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每批生產(chǎn)多少產(chǎn)品，倉庫應(yīng)該存放多少產(chǎn)品才合理等一系列問題。

除工業(yè)企業(yè)有存儲問題外，在商業(yè)企業(yè)的商店里，如果存儲商品數(shù)量不足，發(fā)生缺貨現(xiàn)象，就會失去銷售機會而減少利潤；但如果存量過多，一時銷售不出去，就會造成商品積壓，占用流動資金過多而導(dǎo)致資金周轉(zhuǎn)不開，同樣造成不應(yīng)有的經(jīng)濟損失。由于顧客購買何種商品以及購買多少都具有隨機性，為了增加營業(yè)利潤，最大限度地減少損失，商店管理人員應(yīng)該研究商品的合理存儲量。

再如加油站存儲油，如果一次存儲得太少會造成脫銷，太多則造成庫存負擔(dān)。

本章通過科學(xué)的管理方法，解決有關(guān)的存儲問題，包括建立表達存儲特點的數(shù)學(xué)模型，并求出合理的有貨量、訂貨量和訂貨時間等。5．1存儲概述

與存儲有關(guān)的現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中是普遍存在的，一般表現(xiàn)為供應(yīng)量與需求量、供應(yīng)時期與需求時期的不一致，人們在供應(yīng)與需求之間加入存儲這一環(huán)節(jié)，能緩解兩者之間的不協(xié)調(diào)。在存儲這一環(huán)節(jié)通?？紤]需求量的多少與合適供應(yīng)的問題，以這類問題為研究對象，專門研究這類有關(guān)存儲問題的科學(xué)，構(gòu)成了運籌學(xué)的一個分支——存儲論（InventoryTheory）。早在1915年，哈里斯（F.Harris）針對銀行貨幣的儲備問題進行了詳細的研究，建立了一個確定性的存儲費用模型，并求得了最佳存儲批量公式。

為了全面了解存儲理論，下面首先介紹存儲論一些有關(guān)名詞術(shù)語的含義和基本概念。（1）需求(存儲的輸出)由于需求，從存儲物中提取一定的數(shù)量，使存儲量減少，因此需求就是存儲的輸出。需求方式有間斷式的，如工業(yè)企業(yè)的備件、貴重設(shè)備的需求；有均勻式的，如人們對食品和日用品的需求，如圖5.1所示。需求量有的是確定性的，有的是隨機性的。例如火電廠，每月固定燃燒一定的噸煤，這是確定性的；而某百貨商店賣出去的某種商品數(shù)量，如肥皂粉的袋數(shù)，可能今天是20袋，明天是35袋，對于未來的某一天來說并不知其確切數(shù)量，但是經(jīng)過大量歷史資料統(tǒng)計以后，可能發(fā)現(xiàn)其具有某種統(tǒng)計規(guī)律，這稱為有一定隨機分布的需求。（2）補充(通過訂貨或生產(chǎn))

補充相當于存儲的輸入，由于存儲物因不斷輸出造成庫存量減少，因此必須及時進行補充，否則將不能滿足持續(xù)的需求。補充的方式可以是向供應(yīng)商訂貨購買，也可以自己組織生產(chǎn)。從訂貨到貨物進入被存儲狀態(tài)，或從組織生產(chǎn)到產(chǎn)品入庫往往需要一段時間，稱這段時間為滯后時間。為了能夠及時補充存儲，必須提前訂貨或組織生產(chǎn)，這段時間被稱為提前時間。滯后時間可能很長也可能較短，可能是確定性的，也可能是隨機性的。

存儲論在此要解決的問題是：需要多長時間對存儲進行補充以及補充數(shù)量是多少。（3）存儲系統(tǒng)

由一個或若干個具有補充（存儲的輸入）與需求（存儲的輸出）形成的存儲單元組合而成的系統(tǒng)，稱之為存儲系統(tǒng)。最簡單的存儲系統(tǒng)只有一個存儲單元，叫作單點式存儲系統(tǒng)(如圖5.2（a）)。復(fù)雜的存儲系統(tǒng)形式有：①多點并聯(lián)式(如圖5.2（b）)，如高爐供料系統(tǒng)，它由礦石、焦炭、石灰石等若干個存儲單元并聯(lián)而成；②多點串聯(lián)式(如圖7.2（c）)，如工廠中生產(chǎn)流水線便是這種形式；③多點串并聯(lián)式(如圖5.2（d）)。圖5.2存儲系統(tǒng)示意圖

根據(jù)長期的科學(xué)研究與經(jīng)驗積累，現(xiàn)已得出一些行之有效的庫存控制存儲模型，總體上看可以分為兩類：一類稱為確定需求下的確定性存儲模型，另一類為隨機需求下的隨機性存儲模型。不論是哪一類型的存儲問題，在建模和求解的過程中，都要緊緊把握住以下三個重要步驟：1)根據(jù)實際問題，準確地繪制存儲量變化狀態(tài)圖；2)通過全面分析存儲系統(tǒng)產(chǎn)生的各種費用，建立可比的費用函數(shù)；3)求在總費用最低意義下的經(jīng)濟批量和訂貨周期。

衡量存儲策略優(yōu)劣的最直接的標準就是計算該策略所耗用的平均費用，因此我們有必要對存儲問題中的費用作詳細的分析。（6）存儲問題中的幾項費用

在存儲模型中涉及四種類型的費用，它們的精確定義依賴企業(yè)的類型，如工業(yè)企業(yè)通過不斷生產(chǎn)產(chǎn)品來補充庫存以應(yīng)對市場和客戶的需求，商業(yè)企業(yè)通過采購來補充庫存。在補充庫存中，有四種獨立的庫存成本或存儲費用：訂貨費、單位成本費、存儲費和缺貨損失費。1)訂貨費（訂購費或生產(chǎn)裝配費）

訂貨費，是指訂貨單位處理一種物品的重復(fù)訂單的費用，如手續(xù)費、差旅費、聯(lián)絡(luò)通信費等，訂貨費僅與訂貨次數(shù)有關(guān)而與訂貨數(shù)量無關(guān)。要確定這項費用須經(jīng)過仔細的核算，不能簡單地把搬運費、管理費等均攤到每一件物資上，因為這樣會與批量有關(guān)。生產(chǎn)裝配費是生產(chǎn)企業(yè)組織一次生產(chǎn)必要的機器調(diào)整、安排而付出的費用，如模具的安裝、機床的調(diào)整和材料的安排等，與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)。2)單位成本或貨物單價單位成本費或貨物單價指企業(yè)或組織為得到某一單位的物品而支出的費用，這一數(shù)值可以查看物品報價單或供應(yīng)商開具的銷售發(fā)票。顯然它與訂貨量或生產(chǎn)數(shù)量有關(guān)，如物品本身的價格、運費等。如果單位成本費是與時間和數(shù)量無關(guān)的常數(shù)，那么在計算存儲總費用時，可以不予考慮，但是單位成本費有時是變動的，如考慮資金的利息，或進行現(xiàn)值化的計算即把不同時間付出的資金，都按一定的折現(xiàn)率轉(zhuǎn)化成當前的資金，然后進行有關(guān)的計算，又如有時采購有批量折扣即訂貨數(shù)量大時，價格有一定的優(yōu)惠折扣等，這時在計算存儲總費用時需要予以考慮。3)存儲費

存儲費指在一定時期內(nèi)持有單位物品而支出的費用。例如，在一段時間存儲一臺大型設(shè)備所花費的成本，存儲費一般與物品存儲數(shù)量和時間成比例。①

利息：物資占用的資金利息，有時可不作為存儲費的一部分而作為成本費的一部分來計算。②

物資的存儲損耗、折舊和跌價損失：物資存放在倉庫中，除有腐蝕、變質(zhì)、破碎、失竊等損耗外，常常還因技術(shù)發(fā)展或新產(chǎn)品的出現(xiàn)而使其價格下降等。③

物資的稅金與保險費等。④

倉庫的折舊費：保險費、通風(fēng)、照明、起重、自控設(shè)備、房租、地租等費用。⑤

倉庫內(nèi)搬運費：包括倉庫內(nèi)整理、堆碼、盤點、保養(yǎng)等搬運使用的機械費、燃料費、司機和搬運工人的工資等。⑥

其他管理費：如保管人員的工資，辦公室、福利設(shè)施的折舊、修理費，辦公用品及低值易耗品的購置費，差旅費、會議費等。4)缺貨損失費

缺貨損失費指存儲未能滿足需求時造成的損失。例如，當生產(chǎn)原材料缺貨時，將造成停工待料損失。有時為了生產(chǎn)急需，必須采用緊急訂貨而多付出費用。當產(chǎn)品供不應(yīng)求時，沒有把握住應(yīng)有的銷售機會，就會影響利潤，造成信譽的損失，以及不能履行合同而要繳納的罰款等費用。一般缺貨損失的情況與缺貨數(shù)量和缺貨時間有關(guān)，即缺貨的數(shù)量越多、缺貨時間越長，損失越大。由于存在多種不確定性，有時缺貨損失很難確定。

綜上所述，所謂合理的存儲問題，就是研究什么時候訂貨或組織生產(chǎn)，訂購多少貨物或生產(chǎn)多少數(shù)量的產(chǎn)品，既可以使存儲系統(tǒng)總費用最小，又可以避免因缺貨而影響生產(chǎn)或銷售。在存儲問題中根據(jù)需求的變化是確定的常數(shù)還是隨機的規(guī)律性，可將用于庫存控制的存儲模型分為確定性存儲模型和隨機性存儲模型。5．2確定性存儲模型假定在單位時間t內(nèi)(或計劃期)的需求量是已知常數(shù)，其訂貨策略形成t循環(huán)策略，模型的目標函數(shù)是以總成本(總訂貨成本+總存儲成本+總?cè)必洺杀?最小為準則建立的。在建立存儲模型時定義的參數(shù)及其符號如下所示:R

：需求率(DemandperUnitTime)。c1

：單位時間內(nèi)單位貨物的存儲費(HoldingCostperUnitperUnitTime)。c2

：單位時間內(nèi)單位貨物的缺貨損失費(HoldingCostperUnitperUnitTime)。c3

：一次訂貨費，即訂購費或生產(chǎn)裝配費(SetupCostorFixedOrderingCost)。k3：貨物單價(UnitAcquisitionCost)。Q：訂購批量或生產(chǎn)批量(OrderQuantityorProductionLotSize)。S：最大缺貨量(MaximumBackorder)。n：單位時間內(nèi)的訂貨次數(shù)(OrderFrequencyperUnitTime)，顯然

n

=1/t

。5.2.1基本經(jīng)濟訂購批量模型這項模型是針對以一個固定需求率從庫存中提出貨物的情況而設(shè)計的。例如，某汽車生產(chǎn)企業(yè)以每月1000個的速度購買某汽車備件，按年計算，需求率為1000×12=12000(個/年)。除固定需求率外，模型還有兩個關(guān)鍵的假設(shè)：①

訂購的貨物在需要時立即到達，即瞬時補充；②

貨物不允許缺貨。在一定時期內(nèi)周期訂貨，當訂購批量小時，則存儲費小，但訂貨次數(shù)頻繁，會增加訂貨費；當訂購批量大時，則存儲費大，但訂貨次數(shù)減少，會減少訂貨費。經(jīng)濟訂購批量模型的目的是找出一個最經(jīng)濟的訂購批量Q(模型的決策變量)，使庫存貨物滿足需求時的總費用最省。

設(shè)周期性訂貨滿足的時間間隔為

t，需求率為

R，此時訂購批量Q

=

Rt，存儲費為c1。觀察t時間內(nèi)存儲量隨著訂貨與需求而發(fā)生變化的狀態(tài)圖(見圖5.3)，并加總能夠可比的訂貨費和存儲費。由于需求率為常數(shù)，因此在t時間內(nèi)的平均存儲量為

Q/2，如圖5.3所示的虛線表示，則單位時間內(nèi)的平均存儲費用函數(shù)為又訂貨費(訂購費或生產(chǎn)裝配費)為c3，單位成本或貨物單價為

k，訂貨支出費為c3

+kQ，單位時間內(nèi)的平均訂貨費用函數(shù)為，，不考慮貨物本身的成本時，單位時間內(nèi)的平均訂貨費用函數(shù)為第一項，記為

存儲策略的總費用可由存儲費和訂貨費表示，由此可得一個訂貨周期時間

t

內(nèi)的平均總費用函數(shù)為最優(yōu)存儲策略即是平均總費用最小的訂購批量，令，即得最佳訂貨周期為（5.1）由

Q=Rt，得經(jīng)濟訂購批量為（5.2）

式(5.2)即為著名的經(jīng)濟訂購批量公式(EconomicOrderQuantity，EOQ)，該公式1915年由美國西屋公司的經(jīng)濟學(xué)家FordHarris提出。

如果不考慮貨物本身的成本，經(jīng)濟訂購批量的最小費用為:（5.3）

式(5.3)也可由平均總費用函數(shù)的算數(shù)-幾何平均值不等式得到，當時，平均總費用函數(shù)的最小值為（見圖5.4）。例5.1某汽車制造廠每月需外購某種汽車零部件

100

件，不允許缺貨。已知該廠向上游供應(yīng)商訂購這種汽車零部件，每次的訂購費為

400

元，若這種零部件在倉庫存放時，單位零部件每月的存儲費為

2

元，求汽車制造廠的經(jīng)濟訂購批量及最佳訂貨周期。解件/月，元/次，元/(件·月)。代入式(5.1)和式(5.2)，有經(jīng)濟訂購批量及最佳訂貨周期分別為

例5.2某公司平均每天銷售某項物資

2

噸，不允許缺貨。已知每次的訂購費為100元，單位物資每月的存儲費為

60

元，求該公司經(jīng)濟訂購批量、最佳訂貨周期及一年訂購物資的最佳次數(shù)。解

噸/天，

元/次，

元/(噸·天)。有經(jīng)濟訂購批量及最佳訂貨周期分別為

（噸）

（天）一年訂購物資的最佳次數(shù)為（次）這里表示上取整，即不小于x的最小整數(shù)。

還需要說明一點，實際訂購批量與最佳訂購批量往往會有偏差，這時需考慮訂貨偏差對費用的影響。設(shè)實際訂貨偏差率為，則實際訂購批量，因此實際訂貨周期和訂貨費分別為

上式第二項即為由實際訂購批量偏差而增加的費用，費用偏差系數(shù)表示為當實際訂貨偏差率

改變時，費用偏差系數(shù)計算結(jié)果見表5.1。表5.1表明，實際訂購批量較最佳批量偏差

10%

以內(nèi)，費用增加不超過4.5‰；而當實際訂購批量較最佳訂購批量多100%或少50%時，費用僅增25%。即偏差引起的費用增加并不明顯，這是EOQ公式的一大優(yōu)點，直觀效果如圖5.5所示。表5.1偏差率和偏差系數(shù)對應(yīng)表-0.5-0.2-0.10.10.20.30.510.250.0250.0060.00450.0170.0350.0830.25O-0.510.25圖5.5偏差系數(shù)變化趨勢5.2.2允許缺貨的EOQ模型

該模型是基本EOQ模型的變形，其不同之處在于允許計劃內(nèi)的缺貨，當缺貨發(fā)生時，受影響的客戶需要等待至再次得到該貨物，且客戶的缺貨量將在補充庫存的貨物到達時瞬時得到滿足。模型的假設(shè)有：①

訂購的貨物在補充庫存時立即到達，即瞬時補充；②

貨物允許缺貨。設(shè)周期性訂貨滿足的時間間隔為

t，期初存儲量為（最大庫存量），需求率為R，訂購量Q=Rt，訂貨費為c1，缺貨損失費為c2，單位存儲費為c3。觀察t時間內(nèi)存儲量隨著訂貨與需求而發(fā)生變化的狀態(tài)圖

(見圖5.6)，所需的訂貨費、缺貨損失費和存儲費可以由如下函數(shù)獲得。在時間段，平均存儲量為，且，則平均存儲費用函數(shù)為

在時間段存儲量為0，平均缺貨量為，則平均缺貨損失費用函數(shù)為不考慮貨物本身的成本時，在單位時間可比的平均訂貨費用函數(shù)為由此得到一個訂貨周期時間內(nèi)的單位時間平均總費用函數(shù)為最優(yōu)存儲策略即是平均總費用最小的訂購批量，利用多元函數(shù)求極值方法，令解得最佳訂貨周期為（5.4）最大庫存量為（5.5）將它們代入總費用函數(shù)得最小費用（5.6）同時，由得最佳的經(jīng)濟批量訂貨量，即（5.7）由得最大缺貨量，即（5.8）注意到，當缺貨損失費很大時，有，公式（5.4）、（5.7）和（5.6）可化為公式（5.1）、（5.2）和（5.3），即EOQ模型公式。

例5.3某大型超市一貫采用不允許缺貨的EOQ模型公式確定某品牌日用品的訂購批量，但由于激烈的市場競爭使得公司不得不考慮改用允許缺貨的訂貨策略。設(shè)日用品的需求率為1000件/月，日用品的訂購費為40元/次，單位日用品的存儲費為1元/月，單位日用品的缺貨損失費為1元/月，求最佳訂貨周期、經(jīng)濟訂購批量、最大缺貨量及經(jīng)濟訂購總費用。解需求率件/月，訂貨費元/次，存儲費，

。代入式(5.7)、式

(5.4)、式(5.8)和式(5.6)，有經(jīng)濟訂購批量、最佳訂貨周期、最大缺貨量及經(jīng)濟訂購總費用分別為5.2.3有數(shù)量折扣的EOQ模型基本的經(jīng)濟訂購批量模型即EOQ模型是用來確定企業(yè)在固定訂購批量時一次訂貨(外購或自制)的數(shù)量，當企業(yè)按照經(jīng)濟訂購批量訂貨時，可以實現(xiàn)訂貨成本和存儲成本之和最小化。

在一些實際的訂貨問題中，供應(yīng)商往往根據(jù)訂貨量向供應(yīng)鏈下游用戶提供價格折扣，鼓勵用戶大量購買，此時由用戶的訂貨量確定的批發(fā)價格一般是訂貨量的階梯減函數(shù)，之所以是減函數(shù)是基于規(guī)模經(jīng)濟和交易成本的考慮。價格的折扣對于博弈的雙方都是有利的：價格折扣對于制造商，隨著生產(chǎn)批量加大和生產(chǎn)成本降低，有銷售規(guī)模增加和銷售市場擴大，從而能獲取更大利潤；價格折扣對于各級分銷商也是有利的，可以較少發(fā)生缺貨的現(xiàn)象，有效應(yīng)對價格上漲，同時訂購量大帶來的訂貨次數(shù)減少，也使裝運成本降低。有數(shù)量折扣的EOQ模型建模的基本思路是先計算經(jīng)濟訂購批量，然后代入不同單價，計算總的采購費用(含貨物本身的成本)，取最小者的訂貨數(shù)量。當需求率和單位存儲費確定時，該模型可以指導(dǎo)用戶合理地采購，使總的采購費用最低。

圖5.7有三個折扣點的平均總費用函數(shù)有數(shù)量折扣的EOQ模型求解步驟如下：(i)求出忽略折扣的經(jīng)濟訂購批量，若，計算此時的平均總費用為；(ii)計算，

；(iii)若，則

對應(yīng)的批量為最小費用訂購批量，最小費用對應(yīng)的訂購周期。例5.4某小型航空公司每年需用航空快餐20000套，每次訂貨費為36元，年存儲費為4元。當訂購量小于500套時，單價為11元；當訂購量大于等于500套且小于800套時，單價為10元；當訂購量大于等于800套且小于1200套時，單價為9元；當訂購量大于等于1200套時，單價為8元。試計算最優(yōu)訂購快餐的批量及最佳訂貨周期。解套/年，=36元/次，，分段的單位快餐價格函數(shù)為

先忽略單位零件價格函數(shù)的影響，計算（套），故單位快餐價格為10（元），此批量訂貨的總費用元；再分別計算時的總費用

比較總費用可知最小費用訂購批量,即采用每批訂購1200套的折扣批量，最佳訂貨周期。5.3單周期的隨機性存儲模型

在確定性存儲模型中，假定各時期的需求量是確定的，但實際問題中需求量往往不是確定值，如時令性產(chǎn)品：報紙和書刊、季節(jié)性服裝和食品、計算機硬件和內(nèi)存等的需求量。

這類存儲問題的含義：如果本期存儲的產(chǎn)品沒有銷售完，到下一期該產(chǎn)品就要貶值，降低的產(chǎn)品價格甚至比該產(chǎn)品的成本還要低，造成利潤減少；如果本期產(chǎn)品不能滿足需求，則會因缺貨或失去銷售機會而帶來損失。無論是供過于求還是供不應(yīng)求，時令性產(chǎn)品存儲都會有損失。在需求有隨機規(guī)律時，判斷該時期訂貨多少可使預(yù)期的總損失最小或總盈利最大。

本節(jié)的單周期的隨機性存儲模型，是指在周期內(nèi)只能提出一次訂貨，發(fā)生短缺時不允許再提出訂貨，周期結(jié)束時，剩余貨物可以處理。對隨機性存儲模型進行評價時，常采用損失期望值最小或獲利期望值最大的準則。5.3.1離散需求的隨機性存儲模型

報童問題：有報童每天售出的報紙份數(shù)（即報紙需求量）X是一個離散隨機變量，已知概率，。

報童每售出一份報紙能賺k元；如售剩報紙，每剩一份賠h元。問報童每天應(yīng)進貨多少份報紙？

設(shè)報童每天應(yīng)進貨Q份報紙?，F(xiàn)采用損失期望值最小準則來確定Q。

當供過于求時，損失的期望值為

當供不應(yīng)求時，損失的期望值為

報童每天總的損失期望值為損失期望最小值的必要條件是最佳進貨量滿足即求解得

（5.10）滿足上式成立的最佳進貨量為，稱（5.11）為損益轉(zhuǎn)折概率或最優(yōu)服務(wù)水平，即選擇最佳進貨量使得避免缺貨的概率不低于這一服務(wù)水平，此時總成本的期望值最小。由公式（5.10）計算的要點：將對應(yīng)的概率逐個累加，當累加到剛好達到或超過對應(yīng)的進貨量就是最佳進貨量

。例5.5

已知某商品銷售量服從泊松分布，平均銷售量為6件。該商品每件進價40元，售價75元。商品過期后將削價為每件20元并一定可以售出。解已知，。由公式(5.11)計算損益轉(zhuǎn)折概率。查泊松概率分布表得知，的累積概率對應(yīng)的銷售量是6和7之間，故最佳進貨量為7件。5.3.2連續(xù)需求的隨機性存儲模型設(shè)單位貨物進價為,單位售價為，存儲費為。當需求量是連續(xù)隨機變量時，其概率密度函數(shù)為，。問貨物的訂購量為何值時，贏利期望值最大？當貨物的訂購量（或生產(chǎn)量）為，需求量為時，實際銷售量為，因而實際銷售收入為

，進貨成本為，貨物存儲費為記訂購批量的贏利為，即贏利的期望值為其中為平均贏利，與訂購量無關(guān)，記減項為期望損失值（含貨物進貨成本），則問題可轉(zhuǎn)化為問題。令，有（5.12）由公式（5.12）確定的訂購量為最佳訂貨量，記為，此時的損失期望值最?。ㄈ鐖D5.8）。當時，公式（5.12）不成立，這種情況表示訂購貨物無利可圖，故不應(yīng)訂購，即

。當缺貨損失不但考慮銷售收入的減少，還要考慮賠償對方的損失時，缺貨費為，有，只需在前面推導(dǎo)過程中用代替即可。這種情況的最佳訂貨量由下式確定：（5.13）例5.6某鋼鐵廠生產(chǎn)的某型優(yōu)質(zhì)鋼材需求量服從正態(tài)分布，期望，標準差。每噸鋼材成本22000元，售價為32000元，每月單位存儲費1000元。問工廠每月生產(chǎn)該鋼材多少噸，使獲利的期望值最大？解已知。需求量，由公式(5.12)計算利用Excel統(tǒng)計函數(shù)建立正態(tài)分布累積概率值表，在C8單元格輸入“=(C3C2)/(C4+C3)”，在C9單元格輸入“=NORMINV(C8,C5,C6)”，如圖5.9所示。故該鋼鐵工廠每月應(yīng)生產(chǎn)這種鋼材58.5噸。

例5.7已知某商品的需求量

X服從區(qū)間[0，10]上的均勻分布，，，，該存儲系統(tǒng)的最優(yōu)策略是什么？解由公式(5.13)計算臨界數(shù),再由得,即，該系統(tǒng)的最佳訂貨量是8個單位，若q為期初存貨，需訂貨8-q個單位。5.4案例分析案例分析某航空食品廠如何確定最優(yōu)存儲方案

某航空食品有限公司是一家經(jīng)營航空配餐的企業(yè)，日均配餐量達到1.5萬份，日均服務(wù)航班超過100架次。隨著旅游業(yè)的發(fā)展，越來越多的國內(nèi)外航空公司開辟新航線，增加航班，航空食品銷售前景一片光明。由于航空食品的高品質(zhì)性，航空食品生產(chǎn)所需的原料及生產(chǎn)后的冷藏運輸大大增加了采購、配送等成本。在競爭激烈的今天，若要提高企業(yè)運營效率和取得更好的經(jīng)濟效益，必須制定最優(yōu)的存儲策略，最大限度降低成本。

經(jīng)調(diào)查可知，該企業(yè)倉庫常用原料共70余種，上一年全年原料耗費總額1.08億元。由于消耗原料種類較多，消耗量相差很大，采購難易程度不同，這給原料儲備帶來了困難。為了解決這一矛盾，并盡可能地降低成本，采用庫存管理的ABC法制訂合理的倉儲計劃，倉庫原料分類情況如表5.2所示。表5.2航空配餐原料分類及比例

原料分類原料品種原料支出品種（項）占總項數(shù)（%）金額（萬元）占總金額（%）A710810075B2130216020C42605405合計7010010800100如表5.2所示A類原料品種為水果、蔬菜、肉禽、蛋、小麥粉、白糖、食用油七項，從表中可以看出雖然A類原料品種只占消耗原料總數(shù)的10%，消耗金額卻占75%；其他原料(B類和C類)品種占消耗原料總數(shù)的90%，但消耗金額僅占25%，因此應(yīng)重點做好A類原料的存儲管理工作。

根據(jù)航空配餐市場需求和A類原料的供應(yīng)商情況，七項A類原料的存儲要求：果蔬、肉禽原料不允許缺貨且在需要時瞬時補貨；不是所有的航空配餐都使用雞蛋原料，因此此種原料允許缺貨；食用油原料消耗量較大，易于采購和長時間保存，因此不同批量的采購價格不同；白糖、小麥粉原料，除不允許缺貨外，貨源充足易于采購。設(shè)A類七項的每項原料當年的需求量、每次訂購費、存儲費和缺貨損失費等消耗是已知的，針對各類原料如何采取最優(yōu)的存儲策略或制定最佳原料存儲量和最佳訂貨時間是一個值得考慮的問題。通過對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以利用科學(xué)的方法為該企業(yè)做出最優(yōu)的決策。5.5案例討論案例討論1華勝混凝土廠的鋼筋存儲問題華勝混凝土廠從瑞典某公司引進設(shè)備和技術(shù)，近年又改造生產(chǎn)線，2012年重新投產(chǎn)，產(chǎn)品為加氣混凝土砌塊及加氣混凝土屋面板，主要用于建筑的墻體及屋面，具有良好的保溫、防火性能，且質(zhì)輕易于運輸，利于抗震。該廠產(chǎn)品優(yōu)勢在加氣混凝土板材上，鋼筋用于車間生產(chǎn)板材，若缺貨，將導(dǎo)致較大的缺貨損失，包括板材相應(yīng)的利潤、大批工人停工的損失，以及企業(yè)信譽的損失等，這些損失遠超過鋼筋的存儲成本，所以視其為不允許缺貨的模型。另外，由于現(xiàn)在是買方市場，物流便捷方便，且價格穩(wěn)中有降，所以視其為生產(chǎn)時間很短的模型。經(jīng)調(diào)查可知如下信息：1.年需求量的計算(1)計劃板材產(chǎn)量：90000立方米；(2)鋼筋消耗計劃：35千克/立方米；(3)年需求總量：90000立方米

×

35千克/立方米=3150000千克

=3150噸；(4)由經(jīng)驗預(yù)測其中型號6.5的鋼筋年需求量：1300噸/年；型號8的鋼筋年需求量：1050噸/年；型號10的鋼筋年需求量：800噸/年。2.存儲費（存儲費

=

貨物占用資金應(yīng)付的利息+保管費+貨物損壞費）1998年年利率為1.24％，鋼筋單價為2400元/噸；貨物占用資金應(yīng)付的利息：29.76元/噸；貨物損壞變質(zhì)的費用：每年總有1～2捆鋼筋因銹蝕作廢物(1捆鋼筋為1.5～2噸，此處計為1.5噸。廢鋼筋為600～800元/噸，此處計為800元/噸)處理；貨物損失為：1.5噸×（2400—800）元/噸＝2400元；分攤到每一噸為：2400元÷3150噸＝0.76元/噸；其他費用暫視為0，則存儲費用總共為：29.76＋0.76＝30.52（元/噸）3.訂購費（訂購費

=

手續(xù)費

+

電信往來費

+

委派人員的費用）此費用為估算法?，F(xiàn)作如下估計：（1）每次派兩人：供應(yīng)科長及司機；（2）每次花時間為兩個半天（包括洽談訂貨、給支票、取發(fā)票等）；（3）交往費。

以上三項計為200元/次，其他費用（手續(xù)費，電信往來費）計為20元/次，則定購費為220元/次。4.生產(chǎn)準備期（為防止訂貨后，鋼筋進廠的時間拖后或者由于板材生產(chǎn)量的突然增加導(dǎo)致缺貨而設(shè)置的緩沖量）。生產(chǎn)準備期設(shè)為4天，即在鋼筋用完前4天就訂貨。請分別對型號6.5、型號8及型號10的鋼筋的存儲問題進行科學(xué)決策。案例討論2北京方舟科技有限公司的產(chǎn)品存儲決策問題

北京方舟科技有限公司，涉及多媒體網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用、數(shù)字視頻、電子出版和桌面印刷制版等技術(shù)領(lǐng)域。公司提供從產(chǎn)品開發(fā)、網(wǎng)絡(luò)集成、系統(tǒng)銷售，直到專業(yè)化的影視后期編輯、平面設(shè)計、電子出版物制作等多項服務(wù)。非線性視音頻編輯系統(tǒng)(簡稱“非線性”)是公司的主要產(chǎn)品之一?！胺蔷€性”是應(yīng)用于廣播電視領(lǐng)域的專業(yè)計算機多媒體設(shè)備，主要用來完成電影、電視節(jié)目(如：新聞、專題、電視劇……)的編輯制作。目前，公司的“非線性”產(chǎn)品的核心硬件(Finishqxc/NT，F(xiàn)inishV60及FinishV80)，均是從美國進口，如何訂貨才能使公司的成本最低是在年初計劃時必須解決的問題。由于該產(chǎn)品的訂購折扣是一定的，且在實際銷售過程中并不要求必須為現(xiàn)貨供應(yīng)。因此，為允許缺貨的經(jīng)濟訂購批量模型。具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表5.3所示。表5.3企業(yè)的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中的費用信息有以下說明：（1）由于計算機多媒體技術(shù)發(fā)展非?？?，技術(shù)折舊大，也就是說，產(chǎn)品如購進后沒能及時售出，其技術(shù)折舊所帶來的損失非常大。因此在年存儲費中，不但有庫存費，還包括了產(chǎn)品的年技術(shù)折舊損失。（2）缺貨損失是指由于缺貨而帶來的合同損失費用，以及由此引起的公司信用等軟性損失。

根據(jù)以上信息，該企業(yè)該如何制定其存儲決策。產(chǎn)品核心硬件年訂貨量/套單位產(chǎn)品成本/元訂貨費/元年存儲費/元缺貨損失/元Finishqxc/NT1800265003000158001400FinishV601000420003000245002000FinishV80120920003000540004600案例討論3博明包裝制品廠的存儲決策問題博明包裝制品廠2010年開始進口日本、韓國產(chǎn)的銅版紙、膠版紙、白板紙等印刷、包裝使用紙張，并在國內(nèi)銷售。利用存儲論可以解決公司訂貨量、訂貨時間的問題，以免因紙張存貨不足發(fā)生缺貨現(xiàn)象而失去銷售機會，或因為進貨過多造成商品積壓，占用流動資金過多導(dǎo)致周轉(zhuǎn)不開。根據(jù)如下信息請對其存儲問題進行決策。

由于包裝市場對紙張的需求具有隨機性，故要建立隨機性存儲模型。選擇定點訂貨策略，即庫存降到某一確定的數(shù)量時訂貨，而且訂貨的數(shù)量不變。存儲量的變化如圖

5.10

所示。根據(jù)公司連續(xù)兩年多的紙張銷售記錄，可計算出公司紙張每月的平均銷售量(即需求量)為

486

噸，年均需求量為

5832

噸，標準偏差為

128

噸。公司平均每次的訂貨費為

5000

元，一噸紙張每年的存儲費用為

280

元。由于貨物需要從韓國或日本進口，從簽約開立信用證到貨物到達口岸，進入倉庫大約需要

25

天，故提前期內(nèi)的平均需求量為

405

噸，公司規(guī)定允許的缺貨率為

10%圖5.10

存儲量的變化復(fù)習(xí)思考題1、某工程隊建設(shè)一條工廠鐵路專用線，假設(shè)平均每天需要

8

根鋼筋混凝土軌枕，每根300元。軌枕由預(yù)制廠運往工地需要動用預(yù)制廠的吊車，吊車是按臺班收費的，3000元一個臺班。因此，工程隊采用分批集中運輸?shù)霓k法向工地運輸軌枕，但暫不使用的必須積壓資金，如果資金的月利(息)率為7.2%。試問在不允許缺貨的情況下，一年修成專用線所需的軌枕分幾批運輸、每批需用吊車幾個臺班最為理想?2、某企業(yè)生產(chǎn)需要一種外購零部件，年需求量為

10000

件，不允許缺貨，市場供應(yīng)充足，單價為

100

元。已知組織一次采購的費用為

2000

元，每件每年的存儲費為單價的20%。試求最優(yōu)經(jīng)濟訂購批量和每年的總費用。3、某電子設(shè)備廠對一種電子元器件的需求R=20000件/年，訂貨提前期為0，每次的訂貨費為25元。該元器件每件成本50元，年存儲費為成本的20%，如發(fā)生缺貨，則每件每年的損失費為30元。試回答：（1）確定經(jīng)濟訂購批量和每年的總費用；（2）如不允許缺貨，請重新確定經(jīng)濟訂購批量。4、某建筑公司根據(jù)投標情況，預(yù)計在一年之內(nèi)需用門窗平板玻璃

300

箱。假設(shè)每箱價格200元，每箱每年的保管費為20元，訂購費平均每次120元，問幾次訂購最好？若允許缺貨，設(shè)缺貨損失費為每箱每月20元，試求合理的訂購次數(shù)。5、某廠采購生產(chǎn)原料情況如表5.4所示。表5.4某廠采購生產(chǎn)原料情況假設(shè)年需求量為10000噸，每次訂購費用2000元，原料存儲費率為20%，試求每次的訂購量。

又知該廠的原料需求分布如表5.5所示。表5.5某廠的原料需求情況采購數(shù)量（噸）0～19992000以上單價（元）10080需求量R（噸）8090100110120概率

P0.10.20.30.30.1在每噸價格為850元，存儲費為每噸45元，缺貨損失費為每噸1250元的情況下，試求(s,S)存儲策略。6、某制造廠在裝配作業(yè)中需要一種外購件，需求率為常數(shù)，全年需求量為300萬件，不允許缺貨。一次訂購費為100元，存儲費為0.1元/(件·月)，庫存占用資金每年利息、保險等費用為年平均庫存金額的

20%，該外購件進貨單價與訂購批量有關(guān)，具體關(guān)系如表

5.6所示。試求經(jīng)濟訂購批量。表5.6一周內(nèi)需求量的概率分布

批量Q（件）[0,10000)[10000,30000)[30000,50000)[50000,,∞)單價（元）1.000.980.960.947、某產(chǎn)品的市場需求量為每周650件，且均勻銷售，訂購費為25元，每件產(chǎn)品的單位成本為3元，存儲費用為每周每件0.05元。試求：(1)假設(shè)不允許缺貨，求多久訂購一次及每次訂購數(shù)量；(2)若缺貨損失費為每周每件2元，求多久訂購一次及每次訂購數(shù)量；(3)若允許缺貨如(2)，且送貨延遲一周，求多久訂購一次及每次訂購數(shù)量。8、某工廠生產(chǎn)中，每年需要某種機器配件5000件，不允許缺貨，每件價格為20元，每次訂購費用為200元，年度存儲費用為庫存物資資金的10%，試求：⑴

經(jīng)濟訂購批量及最小平均總費用；⑵如果每次訂購費用為10元，每次訂購多少為佳？最小平均總費用是多少？若上題中允許缺貨，求訂購批量、最小平均總費用及最大缺貨量。設(shè)缺貨費用為3元/(件·月)。9、某商店存有某種商品10件，每件的進價30元，周期存儲費10元，缺貨損失費160元。已知該商品的隨機需求服從的正態(tài)分布。試確定該商品的最佳訂貨量。10、已知某產(chǎn)品的單位成本，單位存儲費，單位缺貨損失，每次訂貨費

。需求量的密度函數(shù)：

設(shè)初期庫存為0，試確定

最優(yōu)存儲策略。謝謝！第六章決策分析

在日常生產(chǎn)和管理過程中，常常遇到一類問題：決策者有多種可選的可行方案，將來發(fā)生事件的不確定因素很多，決策者在決策時如何基于多方面的因素分析確定最佳策略呢？

比如，一個全球性制造商需要確定一個新的工廠地址，需要考慮眾多的影響因素，有世界經(jīng)濟發(fā)展態(tài)勢、銷售區(qū)域的需求量、可用的自然資源和員工數(shù)量、原料成本、運輸成本、廠房所在地的人文和地理環(huán)境、制造與管理成本等，這類問題需要同時考慮多個因素、事件發(fā)生的狀態(tài)和概率等，往往難以通過線性規(guī)劃等最優(yōu)化方法來建模求解，本章通過幾種常用的決策模型介紹，指導(dǎo)決策者如何進行合理的決策。6.1基本概念及分類

決策存在于社會生活的各個領(lǐng)域，依賴于決策者個人或群體知識和才能的積累，諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者西蒙有一句名言“管理就是決策”，強調(diào)了決策是管理的核心。所謂決策，是指人們?yōu)閷崿F(xiàn)預(yù)定的目標，根據(jù)一定的條件，采用科學(xué)的方法和手段，從所有可供選擇的方案中找出最滿意的一個方案，進行實施，直至目標的實現(xiàn)。依據(jù)不同的標準，幾種常見的決策分類如下：（1）按決策目標的影響程度不同，可分為戰(zhàn)略決策、策略決策和執(zhí)行決策。戰(zhàn)略決策具有全局性、方向性和原則性特征，涉及與企業(yè)生存和發(fā)展有關(guān)的全局性、長遠性問題。如一個企業(yè)的廠址選擇、產(chǎn)品開發(fā)方向、原料供應(yīng)地的選擇等；策略決策具有局部性、階段性特征，是以完成戰(zhàn)略決策所規(guī)定的目的而進行的決策。如企業(yè)生產(chǎn)工藝和設(shè)備的選擇、工藝路線的布置、產(chǎn)品規(guī)格的選擇等；執(zhí)行決策是根據(jù)策略決策的要求對執(zhí)行行為方案的選擇，如日常生產(chǎn)調(diào)度的決策，產(chǎn)品合格標準的選擇等。（2）根據(jù)決策問題的重復(fù)性程度不同，決策可分為程序性決策和非程序性決策。程序性決策又稱例行決策、常規(guī)決策，一般是為了解決那些經(jīng)常重復(fù)出現(xiàn)、性質(zhì)非常相近的例行性問題，可按程序化的步驟和常規(guī)性的方法處理。非程序性決策通常處理的是那些偶然發(fā)生、無先例可循、非常規(guī)性的問題，決策者難以照章行事，需有一定創(chuàng)造性思維做出應(yīng)變的決策。（3）根據(jù)決策目標的多寡，決策分為單目標與多目標決策。單目標決策是就單一問題所進行的決策，常常只考慮某個主要的或者關(guān)鍵的決策目標；多目標決策是解決多項問題所進行的相對復(fù)雜的決策，通?？紤]多個主要目標或者因素。一般地，重大問題的決策涉及因素較多、內(nèi)容結(jié)構(gòu)復(fù)雜、目標相對分散，這樣的決策稱為多屬性決策，最優(yōu)方案的確定過程比較困難。（4）根據(jù)自然狀態(tài)的可控程度，可將決策問題分為確定型、不確定型和風(fēng)險型三種決策。確定型決策是指自然狀態(tài)完全確定，做出的選擇結(jié)果也是確定的，比如，通過線性規(guī)劃得到最優(yōu)的生產(chǎn)計劃等；風(fēng)險型決策是指不能完全確定未來出現(xiàn)何種自然狀態(tài)，但可以預(yù)測各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率；不確定型決策是指不僅無法確定未來出現(xiàn)哪種自然狀態(tài)，而且也無法估計各種自然狀態(tài)的概率。（5）根據(jù)決策問題涉及決策人數(shù)的多少，又可將決策問題分為單決策者決策和群決策問題。隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的推廣應(yīng)用、決策科學(xué)化和民主化的要求，群決策的應(yīng)用日益廣泛。6.2不確定型決策方法

不確定型決策有幾個要素，即：備選方案、狀態(tài)和每個決策方案產(chǎn)生的后果或者收益。不確定型決策的目的就是從若干個備選方案中擇優(yōu)；狀態(tài)也稱為事件，可能是定性的，也可能是定量的，比如在確定某新廠的規(guī)模時，未來產(chǎn)品的需求量是不確定的，可以將其量化成價格的函數(shù)，也可以定性地劃分為高需求、中等需求和低需求等幾種情況；方案的收益是某一決策方案在某一狀態(tài)下的收益數(shù)值，一般可以定量地測算出來。

不確定型決策是指決策者面臨多種可能的自然狀態(tài)，但未來自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率不可預(yù)知，不同狀態(tài)下具有多種可選擇的決策方案。由于所面臨的是不確定狀況，無法確定何種狀態(tài)出現(xiàn)，決策者只能依據(jù)一定的決策準則來進行分析決策。常用的決策準則有：樂觀準則、悲觀準則、折衷準則、等可能性準則、后悔值準則等。6.2.1樂觀準則

樂觀準則又稱“最大最大”準則，是一種趨險型決策準則。決策者對未來持樂觀態(tài)度，即使面臨情況不明的決策情景，也決不放棄任何一個能取得好結(jié)果的機會。

決策者確定每個方案在最佳自然狀態(tài)下的收益值，選擇其中最大收益值對應(yīng)的方案作為最優(yōu)方案。例6.1某沿海城市的一位空調(diào)經(jīng)銷商，在夏季來臨之前準備進貨，必須決定進貨的規(guī)模是大批量、中批量還是小批量。已知在不同天氣狀況下，三種進貨方案的損益值（單位：萬元）見表6-1，試問該空調(diào)經(jīng)銷商需采取何種進貨方案。表6-1解：找出每一個方案的最好結(jié)果大批量

max(10,6,-2)=10（萬元）,中批量max(7,8,4)=8（萬元）,小批量max(3,4,5)=5（萬元）。

從上面三個結(jié)果中選擇最好結(jié)果max(10,8,5)=10（萬元），即大批量進貨，根據(jù)樂觀準則，選擇大批量進貨為最優(yōu)決策方案。

在問題解決過程中，還有許多相關(guān)問題需要考慮，比如，大、中和小的數(shù)量究竟多少，各種批量進貨下在不同天氣狀態(tài)下的收益如何測算等，這些都需要根據(jù)具體問題具體分析。6.2.2悲觀準則

悲觀準則又稱“最大最小”準則，是一種避險型決策準則。決策者對未來持悲觀態(tài)度，認為未來將出現(xiàn)最差的自然狀態(tài)。在一些情況下，由于個人、企業(yè)或組織的財務(wù)能力有限，經(jīng)驗不足，承受不起巨額損失的風(fēng)險，因此決策時非常謹慎。

首先，決策者確定每個方案在最差自然狀態(tài)下的收益值，然后選擇在最差自然狀態(tài)下帶來最多收益的方案。

例6.2

試用悲觀準則對例6.1的問題進行決策。解：找出每一個方案的最壞結(jié)果

大批量min(10,6,-2)=-2（萬元）

中批量min(7,8,4)=4（萬元）

小批量min(3,4,5)=3（萬元）

從上面三個結(jié)果中選擇最好結(jié)果max(-2,4,3)=4（萬元），是天氣不熱時中批量進貨的收益。根據(jù)悲觀準則，選擇中批量進貨為最優(yōu)方案。6.2.3折衷準則

在決策過程中，最好和最差的自然狀態(tài)都有可能出現(xiàn)，決策者對未來事物的判斷不能盲目樂觀，也不可盲目悲觀。因此，可以根據(jù)決策者的估計和判斷對最好的自然狀態(tài)設(shè)一個樂觀系數(shù)

，相應(yīng)的最差的自然狀態(tài)就有一個悲觀系數(shù)

。這樣，

與

就分別表示最好與最差狀態(tài)下的權(quán)重，反映決策者的風(fēng)險態(tài)度，或者對未來事物發(fā)展可能性的判斷。決策步驟是，以各方案的最好與最差收益值為變量，計算各自的期望值，選擇期望值最大者所對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案。例6.3

設(shè)定樂觀系數(shù)

=0.8，試用折衷準則對例6.1的問題進行決策。

解：以0.8與0.2分別作為各方案在最好與最差狀態(tài)下的權(quán)重，計算收益期望值，大批量進貨期望收益為10×0.8+(-2)×0.2=7.6（萬元）；中批量進貨期望收益8×0.8+4×0.2=7.2（萬元）；小批量進貨期望收益為5×0.8+3×0.2=4.6（萬元）。從三個期望收益值中選取最大值max(7.6,7.2,4.6)=7.6（萬元），對應(yīng)方案是大批量進貨。所以，依據(jù)折衷準則，選擇大批量進貨為最優(yōu)方案。

顯而易見，樂觀系數(shù)的合理確定是這個準則的關(guān)鍵，一般可以從決策者的經(jīng)濟承受能力、未來狀態(tài)的預(yù)判、對風(fēng)險的偏向等來確定。6.2.4等可能性準則

因無法確知各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率，可以認為它們有同等的可能性，每一個自然狀態(tài)發(fā)生概率數(shù)都是1/狀態(tài)數(shù)。在此基礎(chǔ)上，計算各個方案的期望收益值，然后進行比較。例6.4利用等可能性準則對例6.1的問題進行決策。解：題中有三種可能的自然狀態(tài)，依據(jù)等可能性準則，每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/3。計算每個方案的收益期望:大批量進貨預(yù)期收益10×1/3+6×1/3+（-2）×1/3=14/3（萬元）；中批量進貨預(yù)期收益為7×1/3+8×1/3+4×1/3=19/3（萬元）；小批量進貨期望收益3×1/3+4×1/3+5×1/3=4（萬元）。選擇三個期望收益中最大值，即19/3（萬元），對應(yīng)的方案是中批量進貨。所以，根據(jù)等可能性準則，選擇中批量進貨為最優(yōu)方案。

這種策略的缺點是忽略了實際結(jié)果發(fā)生的可能性，也不適合一次性決策（與重復(fù)決策相比）。對于重復(fù)發(fā)生的決策，期望收益策略是可行的。比如，對某種新藥研制來說，70%的產(chǎn)品可能無法回收成本，但是1到2種藥品的收益可以輕易地抵消無法回收成本的損失。6.2.5

后悔值準則

由于自然狀態(tài)的不確定性，在決策實施后決策者很可能會覺得：如果采取了其他方案將會有更好的收益。由此決策者所造成的損失價值，稱為后悔值。根據(jù)后悔值準則，每個自然狀態(tài)下的最高收益值為理想值，該狀態(tài)下每個方案的收益值與理想值之差作為后悔值。決策者追求最小后悔值，決策步驟是，在各個方案中選擇最大后悔值，比較各個方案的最大后悔值，從中選擇最小者對應(yīng)的方案為最優(yōu)決策方案。例6.5試用后悔值準則對例6.1的問題進行決策。解：找出各狀態(tài)下最大收益值，即理想值，三種狀態(tài)分別為10，8，5（萬元）。計算各狀態(tài)下每個方案的后悔值，各狀態(tài)理想值減去各狀態(tài)損益值，所得到后悔值為

各方案的最大后悔值分別為7，3，7（萬元）。找出三個方案的最大后悔值中的最小結(jié)果min（7，3，7）=3（萬元），對應(yīng)于中批量進貨方案。所以，依據(jù)后悔值準則，中批量進貨方案為最優(yōu)方案。對于同一個決策問題，運用不同的決策準則，得到的最優(yōu)方案有所不同（請讀者分析差異結(jié)果的原因）。在不確定型決策中，決策準則的使用是因人、因時、因地而異的。在現(xiàn)實生活中，決策者面臨不確定型決策問題時，常常會試圖獲取有關(guān)信息，通過統(tǒng)計分析或主觀估計來得到各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率，使不確定型決策轉(zhuǎn)化為風(fēng)險型決策。6.3風(fēng)險型決策分析方法

所謂風(fēng)險型決策，是指決策者在進行決策時，雖然無法確知未來將會出現(xiàn)何種自然狀態(tài)，但卻可以了解未來可能狀態(tài)的種類以及每種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性概率。決策者無論采取哪一種方案，都要承擔(dān)一定的風(fēng)險，因此稱這種決策為風(fēng)險型決策。在風(fēng)險型決策中，一般采用期望值作為決策依據(jù)，分析過程可采用決策樹方法。6.3.1最大收益期望值決策準則

最大收益期望值決策準則是指選擇收益期望值最大的方案作為決策方案，每個方案的收益期望值為所有狀態(tài)下的收益值與對應(yīng)概率的乘積之和。即其中，

為方案

在第j個狀態(tài)下的收益值，

為第j個狀態(tài)出現(xiàn)的概率，選擇max對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案。例6.6

一企業(yè)為生產(chǎn)新產(chǎn)品需要建立新工廠，現(xiàn)有兩種基建方案：一是建大廠，需投資3000萬元；一是建小廠，需要投資1600萬元。據(jù)估計，兩種方案在未來幾年內(nèi)的獲利數(shù)見表6-2。問該采用哪種基建方案?表6-2解：計算各個方案的收益期望值:建大廠：(10000-3000)×0.7＋(-2000-3000)×0.3=3400(萬元)；建小廠：(4000-1600)×0.7＋(1000-1600)×0.3=1500(萬元)。選擇兩個期望值中較大者對應(yīng)的方案為決策方案，即選擇建大廠的決策方案。6.3.2最小機會損失期望值決策準則

最小機會損失期望值決策準則，是指決策目標的指標為損失值時，選擇損失期望值最小的方案作為決策方案。損失值計算與前面提過的后悔值相似，為每個方案在各狀態(tài)下的收益值與該狀態(tài)下最好收益值的差。例6.7試用最小機會損失期望值決策準則對例6.6進行決策分析。解：各狀態(tài)下每個方案的損失期望值見表6-3。計算每個方案的損失期望值。建大廠：0×0.7＋4400×0.3=1320（萬元）建小廠：4600×0.7＋0×0.3=3220（萬元）。選擇損失期望值最小者對應(yīng)的方案為決策方案，即應(yīng)采用建大廠的基建方案。表6-36.3.3渴望水平?jīng)Q策方法例6.8一個零售商某季度以每件0.7萬元購進，每件1萬元賣出某產(chǎn)品，如果賣不出去，就要承擔(dān)完全的損失，情況見表6-4（單位：萬元），該零售商渴望每季度盈利60萬元，那么最優(yōu)行動是什么？解：從表6—4中可以看出，買進200件產(chǎn)品以上的方案才可能獲得盈利60萬元，各方案中，買進200，300，400，500件產(chǎn)品的獲利在60萬元及以上的可能性分別為0.94（=0.1+0.3+0.3+0.24），0.84（=0.3+0.3+0.24），0.54（=0.3+0.24），0.24（=0.24），由此，各方案中，買進200件獲利60萬元的可能性最大。表6-46.3.4決策樹分析方法

在解決復(fù)雜問題時，一種有效的方式是將其分解成一系列小問題。決策樹法是風(fēng)險決策最常用的一種方法，它將決策問題按從屬關(guān)系分為幾個等級，用決策樹形象地表示出來。通過決策樹能統(tǒng)觀整個決策的過程，從而能對決策方案進行全面的計算、分析和比較。決策樹一般由四個部分組成：決策點：在圖中以方框表示，決策者必須在決策點處進行最優(yōu)方案的選擇。從決策點引出方案分支，在各方案分支上標明方案內(nèi)容及其期望損益值，各個方案之間的差別一目了然。狀態(tài)點：在圖中以圓圈表示，位于方案分支的末端。由狀態(tài)點引出狀態(tài)分支，在狀態(tài)分支上標明狀態(tài)內(nèi)容及其出現(xiàn)的概率。樹枝：即方案分支與狀態(tài)分支，每一樹枝代表一個方案或某方案的一個狀態(tài)。樹梢：在圖中以三角表示，是狀態(tài)分支的末梢，表示某方案在該狀態(tài)下的損益值。決策樹一般從左至右逐步畫出，標出原始數(shù)據(jù)后，再從右至左計算出各結(jié)點的期望損益值，并標在相應(yīng)的結(jié)點上，進而對決策點上的各個方案進行比較，依據(jù)期望值決策準則做出最終決策。用決策樹法進行決策分析，可分為單階段決策和多階段決策兩類。（1）單階段決策所謂單階段決策，指的是在決策過程中，決策者只需進行一次方案選擇。例6.9某制造企業(yè)欲投資更新產(chǎn)線，目前有兩種方案可供選擇：一是引進全自動流水生產(chǎn)線，二是引進一條半自動流水生產(chǎn)線。兩種方案在不同的市場形勢下的獲利情況見表6-5。兩個方案對應(yīng)的投資額分別為2000萬元、1500萬元，試決策：該采取哪種投資方案?表6-5解：繪出決策樹，如圖6.1所示，單位：萬元。決策結(jié)點在左邊，樹枝向右伸開，因為有兩個備選方案，方案枝有兩條；可能的自然狀態(tài)有三種，所以每個狀態(tài)結(jié)點后有三個狀態(tài)分支。計算各狀態(tài)點的收益值。狀態(tài)點1：5000×0.5＋2500×0.3＋1500×0.2=3550（萬元）。狀態(tài)點2：8000×0.5＋0×0.3＋（-2500）×0.2=3500（萬元）。計算各方案的收益期望值。方案A1：3550-2000=1550（萬元），方案A２：3500-1500=2000（萬元）。依據(jù)最大收益期望值準則，方案A２收益期望值較大，為最優(yōu)方案，也就是引進半自動流水生產(chǎn)線為最優(yōu)決策方案。圖6.1企業(yè)產(chǎn)線更新問題的決策樹（2）多階段決策

很多實際決策問題，需要決策者進行多次決策，這些決策按先后次序分為幾個階段，后階段的決策內(nèi)容依賴于前階段的決策結(jié)果及前一階段決策后所出現(xiàn)的狀態(tài)。在做前一次決策時，也必須考慮到后一階段的決策情況，這類問題稱之為多階段決策問題。例6.10某一化工原料廠，由于某項工藝不甚好，產(chǎn)品成本高。在價格中等水平時無利可圖，在價格低落時要虧本，只有在價格高時才贏利，且贏利也不多?，F(xiàn)企業(yè)考慮進行技術(shù)革新，取得新工藝的途徑有兩種，一是自行研究，成功的可能是0.6，二是購買專利，估計購買談判成功的可能性是0.8。不論是研究成功還是談判成功，生產(chǎn)規(guī)模有兩種考慮方案，一是產(chǎn)量不變，二是產(chǎn)量增加。若研究失敗或者談判失敗，則仍然采用原工藝進行生產(chǎn)，生產(chǎn)保持不變。根據(jù)市場預(yù)測，今后五年內(nèi)這兩種產(chǎn)品跌價的可能性是0.1，保持中等水平的可能性是0.5，漲價的可能性是0.4?，F(xiàn)在企業(yè)需要考慮：是否購買專利，是否自行研究。其決策表見表6-6（單位：萬元）。解：該問題的決策樹見下圖。表6-6各點益損期望值為：點4：點8：點9：

點10：點11：點7：在決策點5，去掉產(chǎn)量不變方案，9點的期望值移到5點，11點的期望值移到6點。點2：

點3：

由于點2的期望值大于點3，所以，企業(yè)應(yīng)該購買專利；在成功時增加產(chǎn)量；失敗時按原來工藝生產(chǎn)。（3）貝葉斯分析方法

前文所提到的狀態(tài)概率，一般是指先驗概率分布。一般情況下給定準確的先驗概率分布是一件很困難的事情。在這種環(huán)境下決策，決策者的風(fēng)險很大。對此，常?？梢酝ㄟ^一定的方式來減少環(huán)境的不確定性，提高狀態(tài)發(fā)生概率估計的準確性。比如，產(chǎn)品銷售若與天氣情況有關(guān)，單憑決策者經(jīng)驗估計天晴與否具有很大的不可靠性，而如果獲得了天氣預(yù)報信息，則對天氣情況的預(yù)測準確度會大大提高；再如，對產(chǎn)品市場銷售量的估計，也可以通過小批量預(yù)銷售來獲得未來產(chǎn)品的銷售量分布可能性。這種通過試驗獲得的概率一般稱為后驗概率，計算方法依據(jù)貝葉斯公式。例6.11

某海域天氣變化無常。該地區(qū)有一小型漁業(yè)公司，每天決定是否出海捕魚。若晴天出海，則可獲利150000元，若陰天則虧損50000元。根據(jù)氣象資料，當前季節(jié)該海域晴天的概率0.8，陰天概率為0.2。為更好地掌握天氣情況，公司成立了一個氣象站，對相關(guān)海域進行氣象預(yù)測。該氣象預(yù)測站的預(yù)報精度如下，若某天是晴天，則預(yù)報準確率為0.95；若某天是陰天，則預(yù)報的準確率為0.9。若某天氣象站預(yù)報為晴天，那是否應(yīng)該出海；若預(yù)報是陰天，則是否應(yīng)該出海？解：設(shè)

表示氣象站預(yù)報為晴、陰天兩種情況；

表示某天是晴天或陰天。氣象站的預(yù)報精度可以表示為：

?，F(xiàn)在實際問題是需要求解

根據(jù)貝葉斯公式，容易得到：當預(yù)報為晴天時，出海捕魚的獲利期望

不出海的獲利為0。此時最優(yōu)方案為出海（見圖6.3-a）。當預(yù)報為陰天時，出海捕魚的獲利期望不出海的獲利為0。此時最優(yōu)方案為不出海（見圖6.3-b）。例6.12某工廠的產(chǎn)品每1000件裝成一箱出售。每箱中產(chǎn)品的次品率有0.01，0.40，0.90三種可能，其概率分別是0.2，0.6，0.2?，F(xiàn)在的問題是：出廠前是否要對產(chǎn)品進行嚴格檢驗，將次品挑出。可以選擇的行動方案有兩個：（1）整箱檢驗，檢驗費為每箱100元；（2）整箱不檢驗，但如果顧客在使用中發(fā)現(xiàn)次品，每件次品除調(diào)換為合格品外還要賠償0.25元損失費。為了更好地做出決定，可以先從一箱中隨機抽取一件作為樣本檢驗。然后根據(jù)這件產(chǎn)品是否次品再決定該箱是否要檢驗，抽樣成本為4.20元。要決策的問題是：（1）是否抽檢?（2）如不抽檢，是否進行整箱檢驗?（3）如果抽檢，應(yīng)如何根據(jù)抽檢結(jié)果決定行動?解：假設(shè)

為整箱檢驗；

為整箱不檢驗；

、

、

表示次品率分別為0.01，0.40，0.90的三種自然狀態(tài)；

表示抽取一件樣品的行動；

，

為抽樣是次品和合格品的兩個結(jié)果。由表6-7收益矩陣可得各行動方案后悔值矩陣，如表6-8。抽取一件樣品的抽樣分布如表6-9。表6-7表6-8表6-9繪制決策樹，如圖6-4所示。計算有關(guān)概率。A.抽樣各有關(guān)概率。B.求在X=0的情況下，出現(xiàn)各種不同自然情況的概率。利用貝葉斯公式，

。同理可求出，C.在X=1情況下，出現(xiàn)各種不同自然情況的概率計算各方案點和決策點的后悔期望值如下：點6：97.5×0.3426=33.4（元），點7：125×0.0346=4.325（元），點8：97.5×0.004739=0.4621（元），點9：125×0.4265=53.31（元），點10：97.5×0.2=19.5（元），點11：125×0.2=25（元）。決策結(jié)果是首先抽取1件產(chǎn)品作為樣品檢驗，如該件合格則整箱不檢驗。如是次品，則整箱檢驗。圖6-4產(chǎn)品抽檢的決策樹6.4多屬性決策方法

社會經(jīng)濟系統(tǒng)的決策問題，往往涉及多個不同屬性。一般來說，多屬性綜合評價有兩個顯著特點，第一，指標間不可公度性，即屬性之間沒有統(tǒng)一量綱，難以用同一標準進行度量。第二，某些指標之間存在一定的矛盾性，某一方案提高了某個指標值，卻可能降低另一指標值。因此，克服指標間不可公度的困難，協(xié)調(diào)指標間的矛盾性，是多屬性綜合評價要解決的主要問題。

設(shè)有m個備選方案

(1<i<m)，n個決策指標

(1<j<n)，m個方案n個指標構(gòu)成的矩陣

稱為決策矩陣。

基于n個指標值，如何綜合考慮這些指標并選擇最優(yōu)方案？多屬性決策問題主要涉及兩個步驟，一，決策指標的標準化；二，基于標準化數(shù)據(jù)的方案擇優(yōu)方法。6.4.1決策指標的標準化

由于指標體系中指標不同的量綱，例如，產(chǎn)值的單位為萬元，產(chǎn)量的單位為萬噸，投資回收期的單位為年等，這給綜合評價帶來許多困難。將不同的量綱的指標通過適當?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為無量綱的標準化指標，稱為決策指標的標準化。決策指標根據(jù)指標變化方向，大致可以分為兩類，即效益型（正向）指標和成本型（逆向）指標。效益型指標具有越大越優(yōu)的性質(zhì)，成本型指標具有越小越優(yōu)的性質(zhì)。（1）向量歸一化法。在決策矩陣

中，令矩陣

稱為向量歸一標準化矩陣。Y的列向量的模等于1。經(jīng)過歸一化處理后，其指標值均滿足

，并且正、逆向指標的方向沒有發(fā)生變化，即正向指標歸一化變化后，仍是正向指標，逆向指標歸一化變換后，仍是逆向指標。

（2）線性比例變化法。在

，對正向指標

，取

則對于逆向指標

，取

，則

稱為線性比例標準化矩陣，經(jīng)過線性比例變換后，標準化指標滿足

，并且正、逆向指標均化為正向指標，最優(yōu)值為1，最劣值為0。

（3）極差變化法。對正向指標

，取

則

對于逆向指標

，取

，

，則

矩陣

稱為極差變換標準化矩陣。經(jīng)過極差變換之后，均有

，并且正、逆向指標均化為正向指標。（4）定性指標量化處理方法。在多屬性決策指標體系中，有些指標是定性指標，只能作為定性描述，例如“可靠性”、“靈敏度”、“員工素質(zhì)”等。對定性指標作量化處理，常用的方法是將這些指標依問題性質(zhì)劃分為若干級別，分別賦以不同的量值。一般可劃分為5個級別，具體分值見表6-10。表6-10例6.13某公司在