第頁(yè)05勾股定理知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一勾股定理●勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.◆1、勾股定理的應(yīng)用條件：勾股定理只適用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三邊的關(guān)系，已知直角三角形中的任意兩邊可以求出第三邊.◆3、勾股定理的幾種變形式：勾股定理將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)了直角三角形三邊之間的等量關(guān)系.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2+b2=c2、a2=c2-b2、b2=c2-a2；、、.【拓展】◎1、銳角三角形的三邊關(guān)系是：在銳角三角形中，若三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為最大邊，則a2+b2＞c2.◎2、鈍角三角形的三邊關(guān)系是：在鈍角三角形中，若三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為最大邊，則a2+b2＜c2.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的證明●通過(guò)拼圖證明勾股定理的思路：（1）圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙，面積就不會(huì)改變.（2）根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性質(zhì)變化驗(yàn)證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)命題結(jié)論.●下面列舉幾種證明方法：◆1、“趙爽弦圖”證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c◆2、我國(guó)數(shù)學(xué)家鄒元治的證明方法證明：在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c◆3、美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”證明：在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化簡(jiǎn)得：a2+b知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計(jì)算和證明題，在解決過(guò)程中，往往利用勾股定理列方程（組），有時(shí)需要通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，化非直角三角形為直角三角形來(lái)解決.◆勾股定理應(yīng)用的類型：（1）已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)求第三邊長(zhǎng)；（2）已知直角三角形的一邊長(zhǎng)確定另兩邊長(zhǎng)的關(guān)系；（3）證明包含平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問(wèn)題；（4)作長(zhǎng)為n(n＞1，且n為整數(shù))的線段；（5）對(duì)于一些非直角三角形的幾何問(wèn)題和日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理構(gòu)建方程或方程組解決.【注意】勾股定理的應(yīng)用的前提條件必須是直角三角形，所以要應(yīng)用勾股定理必須構(gòu)造直角三角形.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四利用勾股定理作長(zhǎng)為n的線段(n＞1，且n為整數(shù))實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，有理數(shù)在數(shù)軸較易找到它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，但要在數(shù)軸上直接標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)則較難，因此，我們可以利用勾股定理作長(zhǎng)為n(n＞1，且n為整數(shù))的線段，進(jìn)而在數(shù)軸上畫出表示n(n＞1，且n為整數(shù))的點(diǎn).◆在數(shù)軸上表示n的步驟：①利用勾股定理求出長(zhǎng)為n的線段；②在數(shù)軸上以原點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為n的線段長(zhǎng)為半徑畫弧與數(shù)軸的正方向相交，則交點(diǎn)為表示n的點(diǎn).題型一利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)題型一利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)【例題1】已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（）A．5 B．7 C．5或7 D．以上都不對(duì)解題技巧提煉利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的步驟：一分，即分清哪條邊是斜邊，哪條邊是直角邊；二代，即將已知邊長(zhǎng)代入a2+b2=c2（c為斜邊）；三化簡(jiǎn)求值，若已知的兩邊可能都是直角邊，也可能是直角邊與斜邊，則應(yīng)利用分類討論思想分兩種情況討論.【變式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若a＝b＝5，求c；（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．【變式1-2】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度數(shù)．（2）若AC＝2，求AD的長(zhǎng)．【變式1-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，則AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式1-4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A．185 B．3 C．125【變式1-5】）如圖所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，則AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48【變式1-6】如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB與BC的長(zhǎng)．【變式1-7】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AP平分∠BAC，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求PD的長(zhǎng)度；（2）連接PC，求PC的長(zhǎng)度．題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】勾股定理的驗(yàn)證方法很多，用面積（拼圖）證明是最常見(jiàn)的一種方法．如圖所示，一個(gè)直立的長(zhǎng)方體在桌面上慢慢地倒下，啟發(fā)人們想到勾股定理的證明方法，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH解題技巧提煉勾股定理的證明主要是通過(guò)拼圖，利用面積的關(guān)系完成的，拼圖常用補(bǔ)拼法和疊合法兩種方法，補(bǔ)拼時(shí)要無(wú)重疊，疊合時(shí)要無(wú)空隙；而用面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理時(shí)的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形（如直角三角形，正方形等）的面積之和等于整個(gè)圖形的面積，從而達(dá)到驗(yàn)證的目的.【變式2-1】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A．B． C．D．【變式2-2】如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式2-3】勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25，小正方形面積為1，若用a、b表示直角三角形的兩直角邊（a＞b），則下列說(shuō)法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【變式2-4】如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．36 B．76 C．66 D．12【變式2-5】將四塊全等的直角三角紙板拼成如圖1所示的圖案，你能由此確定出直角三角形三邊長(zhǎng)a，b，c之間的關(guān)系嗎？試試看．（1）大正方形的面積可以表示為，又可以表示為，從而可得到．（2）若將這四塊紙板拼成如圖2所示的圖案，你能通過(guò)對(duì)比圖1與圖2，換一種方法證明勾股定理嗎？【變式2-6】學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過(guò)程．題型三構(gòu)造直角三角形求線段的長(zhǎng)題型三構(gòu)造直角三角形求線段的長(zhǎng)【例題3】解題技巧提煉利用勾股定理求非直角三角形中線段長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題.【變式3-1】已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的長(zhǎng)．【變式3-2】△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則BC的長(zhǎng)為（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不對(duì)【變式3-3】如圖，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的長(zhǎng)．題型四利用勾股定理作長(zhǎng)為題型四利用勾股定理作長(zhǎng)為n的線段【例題4】小明學(xué)了在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的方法后，進(jìn)行了練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點(diǎn)為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點(diǎn)A，然后過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．2.2 B．5 C．1+2 D．解題技巧提煉作長(zhǎng)為n的線段的步驟：（1）設(shè)法將n表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和；（2）構(gòu)造直角三角形，使直角三角形的兩條直角邊等于第一步得出的兩個(gè)整數(shù)的值，斜邊即為長(zhǎng)為n的線段.【變式4-1】如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A和B分別對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是﹣1和1．過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，以點(diǎn)B為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是．【變式4-2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在數(shù)軸上，以B點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)表示的數(shù)是．【變式4-3】如圖（1）在4×4的方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．（1）求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長(zhǎng)為．（2）如圖（2），若點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E表示的數(shù)為．題型五利用勾股定理直接求圖形的面積題型五利用勾股定理直接求圖形的面積【例題5】如圖，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，則陰影部分的面積是（）A．13 B．15 C．18 D．19解題技巧提煉求不規(guī)則圖形的面積的方法：首先通過(guò)添加輔助線，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如直角三角形，長(zhǎng)方形等），然后利用規(guī)則圖形的特殊性質(zhì)，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，最后求出面積.【變式5-1】如圖，求等腰三角形ABC的面積．【變式5-2】如圖在四邊形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求該四邊形的面積．題型六利用圖形面積之間的關(guān)系求圖形的面積題型六利用圖形面積之間的關(guān)系求圖形的面積【例題6】如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為（）A．8 B．9 C．10 D．12解題技巧提煉與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上的圖形之和等于斜邊上的圖形的面積.【變式6-1】如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝22，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個(gè)月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．42【變式6-2】如圖，S1、S2、S3分別是以Rt△ABC的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中S1＝10π，S2＝6π，則S3＝．【變式6-3】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為16cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2．題型七用勾股定理進(jìn)行證明題型七用勾股定理進(jìn)行證明【例題7】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝AE+CD．解題技巧提煉證明線段的平方關(guān)系的方法：對(duì)于帶有平方運(yùn)算的問(wèn)題，主要思路是找出或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理并結(jié)合等量代換和代數(shù)中的恒等變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【變式7-1】已知AD是△ABC的中線，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，試說(shuō)明AC2＝AE2﹣BE2．【變式7-2】已知，如圖，△ABC中，AB＞AC，AD為BC邊上的高，M是AD邊上任意一點(diǎn)．求證：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【變式7-3】（2022秋?金湖縣期中）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．若∠C為直角，則a2+b2＝c2；若∠C為銳角或鈍角，則a2+b2與c2之間有怎樣的大小關(guān)系呢？我們一起進(jìn)行探究吧．（1）閱讀并填空：如圖1，若∠C為銳角，則a2+b2＞c2．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝，∴．即c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，∴a2+b2﹣c2＝2a?CD．∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2﹣c2＞0，∴a2+b2＞c2．（2）解答問(wèn)題：如圖3，若∠C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的大小關(guān)系．題型八利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題題型八利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題【例題8】如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛行（）A．6m B．8m C．10m D．18m解題技巧提煉生活中的一些實(shí)際問(wèn)題常常通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（直角三角形）來(lái)求解，勾股定理在生活中應(yīng)用廣泛，建立的模型有時(shí)并不是已知兩邊求三邊，而只是告訴了其中一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題.【變式8-1】如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺．突然一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，則水深尺．【變式8-2】如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【變式8-3】如圖，一棵大樹被臺(tái)風(fēng)掛斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m【變式8-4】如圖，∠AOB＝90°，OA＝36cm，OB＝12cm，一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向滾向點(diǎn)O，另一小球立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程BC是（）cm．A．13 B．20 C．24 D．16．【變式8-5】如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝2m．若梯子的頂端沿墻下滑0.5米，這時(shí)梯子的底端也恰好外移0.5米，則梯子的長(zhǎng)度AB為（）A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m05勾股定理隨堂檢測(cè)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，則AC等于（）A．12 B．8 C．4 D．22.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c，則下列式子成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)2+c2＝b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝c2 D．b2+c2