第1課時點到直線的距離與點到平面的距離新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一點到直線的距離直線l的方向向量為v，點P為直線l外一點，A為直線l上隨意一點，則點P到直線l的距離d＝AP2批注?AP·vv是AP要點二點到平面的距離設平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點A是平面α內(nèi)隨意一點，則點P到平面α的距離d＝?|AP|·|cos〈AP·n〉|＝________．批注?等于AP在向量n方向上射影的肯定值．基礎自測1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)點到直線的距離是指過該點作直線的垂線，該點與垂足間的距離．()(2)兩異面直線間的距離不能轉化為點到平面的距離．()(3)平面α外一點P到平面α的距離在平面α內(nèi)任一點與點P的距離中最短．()2．(多選)已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，若點P(－2，1，z)到α的距離為103，則zA.－16B．－4C．4D．163．已知平面α的一個法向量為n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A?α，B∈α，則點A到平面α的距離為()A．13B．66C．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性點到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點B到直線A′C的距離．方法歸納向量法求點到直線距離的一般步驟鞏固訓練1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．點到平面的距離例2在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分別為AB，SB的中點，如圖所示．求點B到平面CMN的距離．方法歸納用向量法求點面距的一般步驟鞏固訓練2如圖，在棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CD的中點，求點B1到平面AD1E的距離．第1課時點到直線的距離與點到平面的距離新知初探·課前預習[教材要點]要點二AP[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：因為n＝(－2，－2，1)，AP＝(－1，－2，z)，且d＝AP·nn＝2+4+z4+4+1＝6+z3答案：AC3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，∴AB＝(－1，－1，2)，又平面α的一個法向量為n＝(1，2，1)，∴點A到平面α的距離為AB·nn答案：B題型探究·課堂解透例1解析：因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直線A′C的方向向量A'又BC＝(0，2，0)，所以BC在A'C上的投影長為BC·所以點B到直線A′C的距離d＝BC2-BC·A鞏固訓練1解析：以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量A1C1所以點B到直線A1C1的距離d＝BC12-B例2解析：取AC的中點O，連接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點，∴AO⊥BO.如圖所示，分別以OA，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1，0，2)，MB＝(－1，3，0)．設n＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則CM·n=3x+則x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴點B到平面CMN的距離d＝n·MBn鞏固訓練2解析：因為正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，故以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．設平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z)，則m⊥AD1，即m·又