7.1

數(shù)值求積公式與代數(shù)精度

數(shù)值求積的必要性由微積分理論可知，只要被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，就可以使用牛頓—萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式計算定積分。然而，在許多實(shí)際問題中，這種解析方法是無能為力的，或者是非常麻煩的。體現(xiàn)在：（1）找不到原函數(shù)F(x)，如第一個例子中的第二類橢圓積分等，有些被積函數(shù)是以表格形式給出，沒有有限的解析表達(dá)式。(2)雖然可以找到原函數(shù)F(x)，但它比被積函數(shù)復(fù)雜得多，而且有時難以給出最后的數(shù)值結(jié)果。(3)除一些特殊的無窮積分外，通常很難求無窮積分的值。7.1

數(shù)值求積公式與代數(shù)精度

數(shù)值求積基本思想求積區(qū)間離散化借助函數(shù)插值求定積分得到近似求積公式及余項7.1.1

數(shù)值求積的基本思想數(shù)值求積公式積分余項

基于積分中值定理構(gòu)造的求積公式左、右矩形公式中點(diǎn)公式梯形公式辛卜生公式7.1

數(shù)值求積公式與代數(shù)精度7.1.2

求積公式的代數(shù)精度定義7-1

m次代數(shù)精度定理7-1例7-1

確定求積公式的代數(shù)精度例7-2

確定求積公式的代數(shù)精度例

確定下面2個求積公式的代數(shù)精度7.1.3

插值型求積公式定理7-2p1487.1

數(shù)值求積公式與代數(shù)精度求積系數(shù)求積余項容易得到7.1.4

求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義7-2

求積公式收斂定義7-3

求積公式穩(wěn)定定理7-3

若Ak>0，則求積公式是穩(wěn)定的。7.2.1

牛頓—柯特斯求積公式與求積系數(shù)7.2

牛頓—柯特斯求積公式不難推得n=1,2,4時的梯形、辛卜生和柯特斯求積系數(shù)。表7-1牛頓--柯特斯系數(shù)表。觀察柯特斯系數(shù)的對稱性、和為1，n>7時有負(fù)值,影響公式的穩(wěn)定性。7.2.2

偶數(shù)階牛頓—柯特斯公式的代數(shù)精度7.2牛頓—柯特斯求積公式具有3次代數(shù)精度辛卜生公式被廣泛使用。

7.2.3

低階牛頓—柯特斯公式的余項7.2牛頓—柯特斯求積公式

梯形求積公式的余項7.2.3

低階牛頓—柯特斯公式的余項7.2牛頓—柯特斯求積公式

辛卜生求積公式的余項同理可求出柯特斯求積公式的余項7.2.4

復(fù)化求積公式及其余項7.2牛頓—柯特斯求積公式問題：牛頓—柯特斯公式無論從收斂性、還是穩(wěn)定性上都不能得到保證解決方法：將積分區(qū)間分成n等分，使每等分的寬度盡可能的小每個小區(qū)間使用低階的牛頓—柯特斯公式1.復(fù)化梯形公式及余項1次代數(shù)精度7.2.4

復(fù)化求積公式及其余項7.2牛頓—柯特斯求積公式2.復(fù)化辛卜生公式及余項3次代數(shù)精度7.2.4

復(fù)化求積公式及其余項7.2牛頓—柯特斯求積公式3.復(fù)化柯特斯公式及余項5次代數(shù)精度復(fù)化辛卜生算法流程圖7-1例7-3例7-4

復(fù)化求積公式收斂的階7.3龍貝格求積公式7.3.1

變步長求積公式7.3龍貝格求積公式例7-5P1567.3.2

龍貝格求積公式7.3龍貝格求積公式

修正梯形公式

修正辛卜生公式不難驗證，修正梯形公式正好就是辛卜生公式Sn，可以設(shè)想對辛卜生公式修正得到柯特斯公式，視為對梯形公式的二次修正。7.3.2

龍貝格求積公式7.3龍貝格求積公式

龍貝格（Romberg）公式

龍貝格算法示意圖對柯特斯公式進(jìn)行修正，得到精度更好的求積公式，但它不是n=8時的牛頓—柯特斯公式，由龍貝格首先提出，稱為龍貝格公式。

龍貝格算法流程框圖例7-6P1587.4.1

高斯求積公式與高斯點(diǎn)7.4高斯求積公式定理7-5插值型求積公式能達(dá)到的最高代數(shù)精度為2n+1次。定義7-4

具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式稱為高斯求積公式，其求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。為構(gòu)造具有最高代數(shù)精度的高斯型求積公式，直接用待定系數(shù)法求解n+1個系數(shù)Ak和n+1個求積節(jié)點(diǎn)xk通常是不可能的。通常的方法是：（1）先確定求積區(qū)間上的高斯點(diǎn)xk；（2）在求n+1個求積系數(shù)Ak（待定系數(shù)法和公式法均可）定理7-6高斯點(diǎn)的充要條件。p1607.4.2

高斯求積公式的構(gòu)造構(gòu)造被積區(qū)間[a,b]上的n+1次帶權(quán)正交多項式gn+1(x)求gn+1(x)的n+1個零點(diǎn)，作為高斯點(diǎn)xk用待定系數(shù)法或?qū)窭嗜栈瘮?shù)求積分來確定求積系數(shù)Ak例7-7P1617.4.3

高斯—勒讓德求積公式7.4高斯求積公式定理7-7[-1,1]上的n+1次勒讓德多項式與任一不超過n次的多項式正交。（權(quán)函數(shù)為1）當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)xk為n+1次勒讓德正交多項式的零點(diǎn)時，求積公式稱為高斯—勒讓德求積公式。例7-8高斯—勒讓德一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn)公式當(dāng)積分區(qū)間為[a,b]時，需引進(jìn)變換則t在區(qū)間[-1,1]上。例7-9P1647.4.4

高斯—切比雪夫求積公式7.4高斯求積公式其中，求積區(qū)間為[-1,1]，權(quán)函數(shù)、高斯點(diǎn)分別為7.4.5

高斯—埃爾米特求積公式其中，求積區(qū)間為[-∞,+∞]，高斯點(diǎn)為n+1次埃爾米特正交多項式的零點(diǎn)，權(quán)函數(shù)、求積系數(shù)分別為例7-10P1657.4.6

高斯求積公式的余項與穩(wěn)定性7.4高斯求積公式定理7-8帶權(quán)高斯公式的余項

勒讓德公式的余項

切比雪夫公式的余項

埃爾米特公式的余項一、二、三點(diǎn)勒讓德公式的余項定理7-9高斯求積公式是穩(wěn)定的7.5.1

基于Taylor展開的微分公式7.5數(shù)值微分Taylor展開式向前差商公式向后差商公式中心差商公式二階差商公式7.5.1基于Taylor展開的微分公式7.5數(shù)值微分

方法誤差

舍入誤差

整體誤差由截斷誤差項可以看出，前兩個公式的精度為O(h)，后兩個公式的精度為O(h2)。如果僅從截斷誤差上考慮，h的冪次越高、h越小，計算精度就越高。從穩(wěn)定性的角度講，還應(yīng)考慮舍入誤差。

h越小，f(x0+h)、f(x0-h)和f(x0)的值越接近，它們相減后的有效數(shù)字損失越嚴(yán)重。在實(shí)際計算時，步長h不宜過大，也不宜過小，應(yīng)綜合考慮截斷誤差和數(shù)值穩(wěn)定性這兩個重要因素。中心差商公式整體誤