福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考

試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合N={x|-l<xV3},5={1,2,3,4},則/口8=()

A.{2,3}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1}

、4-，）的最小正周期為（

2.函數(shù)〉=tan(—)

71

兀2兀2

A.4B.——C.8D.

2T

3.在中國傳統(tǒng)的十二生肖中，馬、牛、羊、雞、狗、豬為六畜，貝『'甲的生肖不是馬”是"甲的生

肖屬于六畜''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知復(fù)數(shù)2=卜2+?『，則三的虛部為（）

A.-9布B.973C.-10D.10

5.在梯形/8CO中，~BC=5AD，4c與BD交于點(diǎn)、E,則麗=)

1—■1—■

A.-AD--ABB.-AD--ABC.-AB--ADD.-AB——AD

66776677

6.將函數(shù)了=??（尤+夕）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

y=/（x）的圖象.若y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則|同的最小值為（)

712兀_715兀

A.—B.—C.一D.

336~6

7.已知/(孫。0),貝111—16——9/的最大值為(

A.-48B.-49C.-42D.-35

sina—cosa2tan3a

0Q?后則a的值可以為（）

sina+cosa1-tan23a'

7171兀71

A.B.------C.—D.-

1220105

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.若/(x)與g(x)分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，則函數(shù)〃(x)=/(x)g(x)的部分圖

象可能為()

10.如圖，在V/3C中，AB=AC=3,3c=2,點(diǎn)。,G分別邊/C,BC上，點(diǎn)瓦尸均在邊N8

上，設(shè)DG=x,矩形。所G的面積為S,且S關(guān)于x的函數(shù)為S(x),則()

A.V/2C的面積為2后B.以1)=竽

C.S(x)先增后減D.S(x)的最大值為血

11.已知向量￡,b>)滿足忖=6,W=L<a,b>=^,(c-a)(c-5)=3,則()

A..-囚=4也B.口的最大值為而

C.歸-4的最小值為回;商D.的最大值為

填空題

試卷第2頁，共4頁

12.log2A/S^"=?

13.已知0>：,函數(shù)/(x)=sin]x-0)在[0,0兀]上單調(diào)遞增，則0的最大值為.

Xy

14.已知函數(shù)/(%)=丁-加，g(x)=--m,若/(x)與g(x)的零點(diǎn)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)

ee

為3,則冽的取值范圍是.

四、解答題

15.VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為仇。,已知csin/cosB=asinBsinC.

⑴求角5；

...Q

(2)若Q=3,VNBC的面積為5,求b.

16.已知函數(shù)/(x)=x3-x-4y[x.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(4J(4))處的切線方程；

⑵若〃x)>lnw恒成立，求機(jī)的取值范圍.

17.已知函數(shù)/'(x)=l-4sin(x-Tsinx.

⑴將/(x)化成/(x)=Nsin(tar+(p)+8(A>0,(o>0,|夕|<])的形式；

⑵求/(x)在0,；上的值域；

(3)將[(X)的圖象向左平移三個(gè)單位長度后得到函數(shù)〃(x)的圖象，求不等式0的解集.

6

18.已知函數(shù)/'(x),g(x)滿足/(》)=2^-「+辦，

〃x)+g(x)=(2e2-l)e-^+(2-+2a.

⑴若/'(x)為R上的增函數(shù)，求。的取值范圍.

(2)證明：/(尤)與g(x)的圖象關(guān)于一條直線對(duì)稱.

⑶若應(yīng)-2收，且關(guān)于尤的方程/(x)+/(e;"7)=2g(2r)在內(nèi)有解，求加的取值

范圍.

19.若存在有限個(gè)修,使得且/⑺不是偶函數(shù)，則稱〃x)為“缺陷偶函

數(shù)”，X。稱為/(X)的偶點(diǎn).

試卷第3頁，共4頁

⑴證明：〃(x)=x+x5為“缺陷偶函數(shù)，，，且偶點(diǎn)唯一.

(2)對(duì)任意x,0R,函數(shù)［(x),g(x)都滿足〃x)+/(y)+g(尤)-2g(y)=/+y.

①若y=對(duì)立是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)尸(X)=Xg(X)有2個(gè)極值點(diǎn).

X

②若g(3)=2,證明：當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>|ln(x2-l).

參考數(shù)據(jù)：In上芭。0.481,V5-2.236.

2

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CDDAAAABACACD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】由交集的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)?={x|T<xV3},5={1,2,3,4},

所以/c8={xk1<xV3}c{1,2,3,4}={1,2,3}.

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)的周期公式求出結(jié)果.

兀兀2

【詳解】函數(shù)y=tan(gx-g)的最小正周期為‘一耳一彳.

71

故選：D

3.D

【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】若甲的生肖不是馬，則甲的生肖未必屬于六畜；

若甲的生肖屬于六畜，則甲的生肖不一定是馬.

故“甲的生肖不是馬''是"甲的生肖屬于六畜''的既不充分也不必要條件.

故選：D

4.A

【分析】禾?。萦?。+6丫=/+3。%+3M2+/公式展開化簡，借助共輾復(fù)數(shù)知識(shí)即可得到.

【詳解】由題意可得：z=(-2+V3i)3=-8+3x(-2)2xJ5i+3>(?

化簡得：z--8+12V3i+18-3V3i=10+9^i,

所以1=10-96i,所以I的虛部為-9力.

故選：A.

5.A

答案第1頁，共11頁

【分析】根據(jù)相似可得即=即可由向量的線性運(yùn)算即可求解.

—■1—?—.1—.

【詳解】由于就=5而，故ED=—BE,進(jìn)而￡。=;應(yīng)），

56

故而」（25-函」石-」戒

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得/（X）=cos（gx+q,即可根據(jù)對(duì)稱得夕=^+而,左?2求

解.

【詳解】由題意可得/（x）=cos（；x+o|,

由于y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故=cos]-*+T=°，

7itir27r

故----F夕=---Fkit,左￡Z，解得（p=F左兀,左￡Z,

623

取a=一1,為最小值，

故選：A

7.A

【分析】由題意知4+3=1,然后根據(jù)基本不等式即可求解.

xy

【詳解】因?yàn)槿?丁=苫2/（QK0）,所以3+3=1,

%y

所以16/+9/='+"116/+9/）=25+（+■225+2^^1^=49,

當(dāng)且僅當(dāng)年=＜，即f=:，/=：時(shí)，等號(hào)成立，

xy43

所以1-16/—9/的最大值為1-49=-48.

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)二倍角的正切公式以及弦切互化可得tan[c-：）=tan6a,進(jìn)而得

答案第2頁，共11頁

jr]

a=-------kji,keZ,即可求解.

205

■、乂.十sina-cosatana-l（兀、2tan3a〃

【詳施星】由于二---------=-------=tan,------k=tan6a,

sina+cosatana+1<4）1-tan3a

",sina—cosa2tan3a（兀

故由----------=-----z—可得txana一-=tan6a,

sina+cosa1-tan3av4J

JI兀1

故?！?6a+kn,k￡Z,則a=-------kTi,kGZ,

4205

71371

取左=0,a=----,取左=—1,a=—,

2020

7T

因此只有-二符合要求,

20

故選：B

9.AC

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?'(X)與g(x)分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù),

所以〃（-X）=/（-x）g（-尤）=一/（x）g（X）=-〃（X）,

所以函數(shù)Mx)=f(x)g(x)為奇函數(shù)，所以“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

故選：AC.

10.ACD

【分析】根據(jù)面積公式即可求解A,根據(jù)相似即可得CM=30化=土星，

AB9

=殍一警，進(jìn)而可得5(必=一/1-|1+后(0<》<3),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

即可求解BCD.

【詳解】取2c的中點(diǎn)N,連接/N,則/NL8C,且NN=j3272=2行,

所以VABC的面積為工x2x20=2貶,A正確.

2

過C作垂足為石，設(shè)CH與。G交于點(diǎn)M,

由等面積法可得1/氏8=2后，則?！?勺a.由第=型，得CM=CH-DG=4^

23CHABAB9

則MH=CH-CM=匕^一±/空,

39

所以5(月=06.?！?06.須=彳(3》一/)=一±^1卜一|]+四(0<x<3),

答案第3頁，共11頁

則可1）=半，則S（x）在［。,|）上單調(diào)遞增，在|,3）上單調(diào)遞減,

所以S（無）的最大值為Q,B錯(cuò)誤，C,D均正確.

故選：ACD

AEHF

11.BC

【分析】根據(jù)向量的模長及夾角，不妨設(shè)B=（l,0）,5=（3,3V3）,C=（x,y）,通過

（c-a）-［c-b）=3,可求出之是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以尸亭］為圓心，「=?為半

徑的圓上的向量.根據(jù)向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A項(xiàng)；根據(jù)圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最

大值為直徑可判斷B項(xiàng)，根據(jù)圓內(nèi)一點(diǎn)A到圓P上一點(diǎn)距離的范圍為［―|/以/+|/刊］可判

斷C,D項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)B=（l,0）,5=（3,373）,c=（x,y）,

則,菖=［一3/-3?）,c-b=（x-l,y）,所以

修一2>（3-$）=（X-3）（%-l）+y卜―3班卜3,

化簡得（x-2y+，-竺］=學(xué)，記為圓P,即展是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以P卜孚］為

<2J4V）

圓心，廠=叵為半徑的圓上的向量.

2

對(duì)于A,a-b=（2,343）,所以收“卜西+口6丁=技,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,同=舊+F表示原點(diǎn)（0,0）到圓尸上一點(diǎn)的距離，

因?yàn)樵c(diǎn)（0,0）在圓尸上，所以同的最大值為圓尸的直徑，即2乂苧=屈，故B正確；

對(duì)于C,D,區(qū)-司=,（37），（36-y『表示點(diǎn)A（3,3、）到圓尸上一點(diǎn)的距離,

因?yàn)辄c(diǎn)A（3,36）在圓p內(nèi)，所以區(qū)-目的最小值為

答案第4頁，共11頁

忸一同的最大值為r+|/P|=苧+/(3-2『+：-孚'=后;用，故C正確,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

-15

12.—

2

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

r22

【詳解】log2亞=log2，⑵)5=log2A/5=log22=，og2=y-

故答案為：

2

13.3

4

【分析】利用整體法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由于xe[0,s],所以x-ge,

要使〃x)=sin(x-￡|在[0,5]上單調(diào)遞增，則0兀一解得:

3

故口的最大值為了，

4

_,3

故答案為：—

4

14.

【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義轉(zhuǎn)化為直線歹=加與函數(shù)＞==2的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)求解.

ee

【詳解】由g(%)=0,得當(dāng)Y=冽，令函數(shù)》=《X，一次函數(shù)＞X在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/p>

eee

R,

因此直線＞=機(jī)與函數(shù)y=彳x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)修；

e

由/(無)=0,得丁X=加，令函數(shù)/")=X之，依題意，函數(shù)/(X)有不同于m的兩個(gè)零點(diǎn),

ee

即直線＞=加與函數(shù)了=〃(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不能是％,

由以工)=之，求導(dǎo)得“(、)=一，當(dāng)X＜1時(shí)，"(x)〉o；當(dāng)x〉l時(shí)，〃(x)＜0,

ee

即函數(shù)〃(X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，A(x)mM=/?(1)=-,

答案第5頁，共11頁

而力（0）=0,當(dāng)x＞0時(shí)，〃（x）＞0恒成立,

則當(dāng)。＜機(jī)＜,時(shí)，直線了=機(jī)與函數(shù)y=訪00的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

e

當(dāng)/（無）=g（x）,即三=今時(shí)，x=0或x=2,則當(dāng)x=0或x=2時(shí)，/（X）與g（x）的零點(diǎn)相

ee

同,

212

由%=0,得加=0,由x=2,得加==■,因此0＜加＜一且冽

eee

所以m的取值范圍是（0,馬Ug」）.

eee

故答案為：（0,2）U（43

eee

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：己知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都

是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：

①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；

②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式;

③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

7T

15.⑴?

（2）6=3

【分析】（1）由正弦定理邊化角，即可求得答案；

（2）由三角形面積求出c,再利用余弦定理即可求得答案.

【詳解】（1）由題意知csin4cosB=asinBsinC,即sinCsin/cosB=sinZsinBsinC,

由于4c￡（O,Ji）,sin/wO,sinCwO,

故cos5=sin8,即tan5=l,結(jié)合BE（0,兀），則5=工;

4

rrQ1Q

（2）4=3,B=],V4BC的面積為5，則/〃csinB=5，貝＞Jc=3V^，

/y

2

故/=a+/一2accosB=27-2x3x3也義——二9，

2

故b=3.

16.（l）y=46x-132

⑵。＜加＜二

e

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，即可求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解直線方程，

（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)〃（。=3———2,求導(dǎo)，”（。=15/一1,利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及正負(fù)

答案第6頁，共11頁

確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)最值得解.

【詳解】(1)由〃X)=Y-X-4五可得/'(刈=3/_1_2

故/'(4)=48-1-=46,又/(4)=64-4_8=52,

故y=/(久)在點(diǎn)(4J(4))處的切線方程為歹=46(x-4)+52，即y=46尤-132

(2)/'(x)=3尤2_]_2二=3x?4尸一2僅八),

TXy/X

令〃(%)=3%2G一五一2,令G=t>o,則〃(。=3/-'-2,//?)=15〃一1,

由于〃⑺在(。,+8)單調(diào)遞增，故當(dāng)/>:口粗3>0,〃3單調(diào)遞增，當(dāng)

0<^<4|」,/(x)<O,4x)單調(diào)遞減,

一X41行一2<0,且當(dāng)，>—2,又九(1)=0,

故當(dāng)0</<1時(shí)，〃(。<0,而％>1,〃(?！?,

因此0cx<1時(shí)，〃(x)<0,而x>l,/z(x)〉0,

故0<x<l時(shí)，/'(x)<0,而x〉lJ'(x)〉0,

故/(X)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+8)單調(diào)遞增，故/@僵=〃1)=-4,

因此ln〃z<f(x)而n=-4,i^o<m<—,

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0,此時(shí)0〈加〈二也滿足，

e

綜上可得0<〃?<4

e

17.⑴，(x)=2sin(2%+:

⑵[1,2]

(3)卜ku,—卜kit，左￡Z

44_

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換即可求解，

(2)利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解,

71

(3)利用函數(shù)平移可得"x)=/X+-=2cos2x,即可利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體法

答案第7頁，共11頁

求解.

【詳解】(1)由/(x)=l-4sin[x-T?卜nx可得

=2cos2x--=2sin]2x+j；

I3.

/、八兀rIc兀兀2兀

(2)xG0,—,貝+

4663

故sm12x+te/,ljJ，故/(x)=2sin[2x+[JqL2],

故值域?yàn)閇1,2],

(3)由題意可得〃(x)=,卜2sinl2x+燈=2cos2x

故力(x)20,即2cos2x>0,故一T+2左兀<2x-~+kGZ,

TTTT

解得---\-kn<x<—+kit,左￡Z,

44

TTTT

故不等式的解集為-7+也,7+航，4ez

44

18.(1)[-2V2,+8)

(2)證明見解析

⑶[91]

【分析】(1)求導(dǎo)，利用/''(x)NO對(duì)xeR恒成立，可求”的取值范圍；

(2)求得g(x)的解析式，根據(jù)g(x)=/(2-x)可得結(jié)論;

(3)可得g(2r)=/(x),結(jié)合已知可得了(e:%)=〃x)在內(nèi)有解，結(jié)合(1)的單

調(diào)性可得e*-皿=x,構(gòu)造函數(shù)可得加的取值范圍.

【詳解】(1)由/3=21-b+辦，可得/■'(尤)=26工+尸+。，

因?yàn)椤癤)為R上的增函數(shù)，所以/'(x"0對(duì)xeR恒成立,

所以2e*+尸+a20對(duì)xeR恒成立，所以。2-(2e*+/)對(duì)xeR恒成立,

因?yàn)?e*+b>2j2e*-eT=272，所以-(2e*+e-A)<-272,

答案第8頁，共11頁

當(dāng)且僅當(dāng)2e'=「，即e—日時(shí)取等號(hào)，所以［-(2/+片*)］1m*=-2亞，

所以42-2忘，所以。的取值范圍為［-2血,+oo).

(2)因?yàn)?(x)=2e*+亦，/(x)+g(x)=(2e2-l)e^+^2—^［e*+2a,

所以g(x)=(2e?-l)e「*+(2-二*”+2a-(2e*-e^x+ax)

2

即g(x)=2e-尸一ge*+2a-ax=2e2T一產(chǎn)+a(2-x),所以g(無)=/(2-無)，

函數(shù)了=/(x)關(guān)于y對(duì)稱的函數(shù)為y=/(-尤)，

再把了=/(-無)向右方平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=/■［-(x-2)］=〃2-x),

所以函數(shù)V=g(x)與y=/(無)關(guān)于對(duì)稱尤=1；

(3)由(2)可得8(2-"=2廣(2-6-6(2一"-2+0［2-(27)］=26"-「+辦=/(工)，

又因?yàn)椤▁)+/(e*-m)=28(2-》)在［-1,1］內(nèi)有解,

所以/(x)+/(e，-加)=2/(尤)在［-1,1］內(nèi)有解，

所以/(e，-根)=/(x)在［-川內(nèi)有解,，

由(1)可知時(shí)，/(無)為R上的增函數(shù)，

所以e*-4=x,所以加=e*-x在［-1』內(nèi)有解,

令/z(x)=e*-x,求導(dǎo)可得“(x)=e*-1,

當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，〃(x)<0,函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以〃(幻血"=伙0)=1，又〃(-1)=工+1<1.5,A(l)=e-l>1.5,

e

所以"(x)1mx=A(l)=e-l,

所以％的取值范圍為

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于有解問題，往往利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為兩自變量的值相等問題解

決，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題或兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)問題解決.

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

答案第9頁，共11頁

【分析】(1)根據(jù)Mx)="-x),即可解方程求解,

(2)①根據(jù)”無)+g(x)-/=-〃y)+2g(y)+y=。，取夕=》，可得g(x)=丁-；+2.,

即可對(duì)尸(無)=xg(x)求導(dǎo)