專題23雙曲線（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①雙曲線的弦長問題 1②雙曲線的中點弦問題 2③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題 4④雙曲線中的最值問題 6⑤雙曲線中面積問題 8⑥雙曲線中定點、定值、定直線問題 10⑦雙曲線中向量問題 12⑧雙曲線綜合問題 13①雙曲線的弦長問題1．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎p曲線．請從①②③中選取兩個作為條件補充到題中，并完成下列問題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點相同．(1)求C的方程；(2)直線與C交于A，B兩點，求的值．2．（2023秋·廣西柳州·高二?？计谀┮阎p曲線C：經(jīng)過點，焦點F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，當(dāng)l過雙曲線C的右焦點時，求弦長|AB|的值．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（，0）．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝x+2與雙曲線交于A，B兩點，求弦長|AB|．4．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點，求.

②雙曲線的中點弦問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，直線相交于點M，且它們的斜率之積是3.(1)求點M的軌跡C的方程；(2)過點能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P，Q，且點N是線段的中點？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．2．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓方程為，點．M是圓上動點，線段的垂直平分線交直線于點．

(1)求點的軌跡方程；(2)記點的軌跡為曲線，過點是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點，且是線段中點．3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知焦點在軸上的雙曲線實軸長為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點，且點是弦的中點？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）中心在原點的雙曲線的焦點在x軸上，且焦距為4，請從下面3個條件中選擇1個補全條件，并完成后面問題：①該曲線經(jīng)過點；②該曲線的漸近線與圓相切；③點在該雙曲線上，，為該雙曲線的左、右焦點，當(dāng)點的縱坐標(biāo)為時，以，為直徑的圓經(jīng)過點．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點能否作直線，使與此雙曲線相交于兩點，且是弦的中點?若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題1．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：的離心率為；(1)求此雙曲線的漸近線方程；(2)若經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支交于不同兩點，，求線段的中垂線在軸上的截距的取值范圍；2．（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┮阎c分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．3．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線的左頂點A，過右焦點F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點，若的面積為．（1）求雙曲線E的方程；（2）若直線與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，求的取值范圍．4．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)校考二模）已知橢圓的左、右兩個頂點分別為、，曲線是以、兩點為頂點，焦距為的雙曲線，設(shè)點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)、兩點的橫坐標(biāo)分別為、，求證為一定值；（3）設(shè)△與△（其中為坐標(biāo)原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍.④雙曲線中的最值問題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點在雙曲線上,設(shè)為雙曲線上的動點,直線與軸相交于點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線與軸相交于點.(1)求雙曲線的方程;(2)在軸上是否存在一點,使得,若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;(3)求點的坐標(biāo),使得的面積最小.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右頂點為，虛軸長為，兩準(zhǔn)線間的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)動直線與雙曲線交于兩點，已知，設(shè)點到動直線的距離為，求的最大值.3．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點，離心率，點在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q，P，且，求的最小值．4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谥校?已知點，，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點，是坐標(biāo)原點，求的最小值.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為4，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點，且∠RAS＝60°.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點N，求的最大值.⑤雙曲線中面積問題1．（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線為其左右焦點，點為其右支上一點，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點，交雙曲線于兩點，求和的面積之積的最小值.2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）P是雙曲線右支上一點，A，B是雙曲線的左右頂點，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點為Q，PA與BQ的交點為C．(1)記P，Q的縱坐標(biāo)分別為，求的值；(2)記的面積分別為，當(dāng)時，求的取值范圍．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在雙曲線上，且C的離心率為．(1)求C的方程；(2)直線交C的左支于P，Q兩點，且直線AP，AQ的斜率之和為0，若，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，求的面積．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線，的斜率之和為1，，求的面積.⑥雙曲線中定點、定值、定直線問題1．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點和點在雙曲線上，雙曲線的左頂點為，過點且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點，直線，與圓分別交于，兩點.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過定點.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當(dāng)l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.3．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點在雙曲線上．(1)點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；(2)點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．4．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)不同于頂點的兩點、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．5．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點，為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為．過點且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點．(1)求Γ的方程；(2)若點E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對稱的不重合兩點，證明：直線ME，NF的交點在定直線上．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線過點，離心率為，直線交軸于點，過點作直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是線段的中點，求直線的方程；(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對稱的兩點，直線與的交點是否在一條直線上？請說明你的理由.⑦雙曲線中向量問題1．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，右焦點為，右頂點為A.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點（與點A不重合），當(dāng)時，求直線l的方程.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點在x軸上的雙曲線C過點，且有一條傾斜角為的漸近線.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足，直線交雙曲線C于A，B兩點，若，求點P的坐標(biāo).3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．4．（2023春·山東濟南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線經(jīng)過，兩點．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與C交于M，N兩點，且C上存在點P﹐滿足，求實數(shù)t的值．⑧雙曲線綜合問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線上的兩個點，且關(guān)于原點對稱．的兩條漸近線互相垂直．(1)求的方程；(2)設(shè)是雙曲線上一點，直線分別與直線交于兩點，求的最小值．2．（2023秋·遼寧阜新·高三阜新市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點，動直線l分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.3．（2023秋·福建廈門·高三廈門一中校考階段練習(xí)）已知雙曲線與直線有唯一的公共點M.(1)若點在直線l上，求直線l的方程；(2)過點M且與直線l垂直的直線分別交x軸于，y軸于兩點.是否存在定點G，H，使得M在雙曲線上運動時，動點使得為定值.4．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，且，若C上的點M滿足恒成立.(1)求C的方程；(2)若過點M的直線l與C的兩條漸近線交于P，Q兩點，且.（i）證明：l與C有且僅有一個交點；（ii）求的取值范圍.5．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，且．(1)求雙曲線的方程．(2)已知點，兩個不重合的動點，在雙曲線上，直線，分別與軸交于點，，點在直線上，且，試問是否存在定點，使得為定值？若是，求出點的坐標(biāo)和；若不存在，請說明理由．

專題23雙曲線（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①雙曲線的弦長問題 1②雙曲線的中點弦問題 4③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題 9④雙曲線中的最值問題 14⑤雙曲線中面積問題 21⑥雙曲線中定點、定值、定直線問題 29⑦雙曲線中向量問題 39⑧雙曲線綜合問題 43①雙曲線的弦長問題1．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎p曲線．請從①②③中選取兩個作為條件補充到題中，并完成下列問題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點相同．(1)求C的方程；(2)直線與C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選①②，可得，，解得，所以C的方程為；選①③，可得，，解得，所以C的方程為；選②③，可得，，解得，，所以C的方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立，消掉y，整理得，所以，因為，所以．2．（2023秋·廣西柳州·高二校考期末）已知雙曲線C：經(jīng)過點，焦點F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，當(dāng)l過雙曲線C的右焦點時，求弦長|AB|的值．【答案】(1)(2)24【詳解】（1）若焦點F（c，0），其到漸近線的距離，又因為雙曲線C：經(jīng)過點，所以，解得a＝2，所以雙曲線C的方程為；（2）由（1）知雙曲線的右焦點為，所以直線l方程為：設(shè)點，，聯(lián)立，得，所以，，從而.所以弦長|AB|的值為24．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（，0）．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝x+2與雙曲線交于A，B兩點，求弦長|AB|．【答案】(1)y2＝1(2)2【詳解】（1）由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以雙曲線C的方程為y2＝1．（2）由直線與雙曲線聯(lián)立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,,∴|AB|2．4．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實軸長的倍.得，且，又，解得,所以，所以雙曲線方程為.（2）由（1）可知雙曲線的右焦點為，所以直線的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以.

②雙曲線的中點弦問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，直線相交于點M，且它們的斜率之積是3.(1)求點M的軌跡C的方程；(2)過點能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P，Q，且點N是線段的中點？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)不能，理由見解析【詳解】（1）設(shè)，∵，，∴，整理得即點M的軌跡C的方程．（2）若能作出直線m，則直線m的斜率存在，設(shè)為k，設(shè)則，兩式相減得整理可∵N是線段的中點，即，故直線m的方程為，即，將直線方程代入雙曲線方程可得，此時直線與雙曲線不相交．故不能作出這樣的直線m．2．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓方程為，點．M是圓上動點，線段的垂直平分線交直線于點．

(1)求點的軌跡方程；(2)記點的軌跡為曲線，過點是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點，且是線段中點．【答案】(1)(2)不存在這樣的直線【詳解】（1）由中垂線性質(zhì)知，所以所以點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線設(shè)此雙曲線方程為，則所以點的軌跡方程為．（2）設(shè)可得兩式相減得由題意，所以直線方程為，由，得∵．∴不存在這樣的直線．3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知焦點在軸上的雙曲線實軸長為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點，且點是弦的中點？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：因為雙曲線的焦點在軸上，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為該雙曲線的實軸長為，一條漸近線斜率為，則，解得，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：假定直線存在，設(shè)以為中點的弦的兩端點為、，則有，．

根據(jù)雙曲線的對稱性知．由點、在雙曲線上，得，，兩式相減得，所以，所以，即以為中點的弦所在直線的斜率，故直線的方程為，即．聯(lián)立，消去得，，因此直線與雙曲線無交點，故滿足條件的直線不存在．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）中心在原點的雙曲線的焦點在x軸上，且焦距為4，請從下面3個條件中選擇1個補全條件，并完成后面問題：①該曲線經(jīng)過點；②該曲線的漸近線與圓相切；③點在該雙曲線上，，為該雙曲線的左、右焦點，當(dāng)點的縱坐標(biāo)為時，以，為直徑的圓經(jīng)過點．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點能否作直線，使與此雙曲線相交于兩點，且是弦的中點?若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選①，由題意可知，雙曲線的兩個焦點分別為，，由雙曲線的定義可得，故，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選②，因為圓的方程為，圓心為，半徑為，雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，解得，即，因為，則，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選③，因為以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，

由勾股定理可得，則，所以，從而，則，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，設(shè)點，，

則，由題意可得，兩式作差并化簡得，所以直線的斜率為，從而直線的方程為，即，聯(lián)立，整理可得，易得，因此直線不存在.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，又焦點到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，所以直線的方程為.③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題1．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：的離心率為；(1)求此雙曲線的漸近線方程；(2)若經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支交于不同兩點，，求線段的中垂線在軸上的截距的取值范圍；【答案】(1)(2)【詳解】（1）雙曲線的離心率為．，可得，所以．可得雙曲線．可得雙曲線的漸近線方程為：．（2）設(shè)經(jīng)過點的直線方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去得：，，解得．的中點為，線段的中垂線方程為：，令得截距．即線段的中垂線在軸上截距的取值范圍是．2．（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┮阎c分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，所以，，由已知，可得，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，整理可得所以，解得，由，可得，，原點到直線的距離，所以設(shè)，，易知漸近線方程為，不妨設(shè)在漸近線上，由得，同理，所以，到直線的距離，所以所以，，則令，則故的取值范圍是3．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線的左頂點A，過右焦點F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點，若的面積為．（1）求雙曲線E的方程；（2）若直線與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）因為雙曲線為等軸雙曲線，所以，設(shè)雙曲線的焦距為2c，，故，即．因為BC過右焦點F，且垂直于x軸，將代入，可得，故．將的面積為，所以，即，所以，，故雙曲線E的方程為．（2）依題意，直線與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點，聯(lián)立方程組消去y可得，，所以解得，且所以．聯(lián)立方程組得，同理，所以．所以，其中，所以．4．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的左、右兩個頂點分別為、，曲線是以、兩點為頂點，焦距為的雙曲線，設(shè)點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)、兩點的橫坐標(biāo)分別為、，求證為一定值；（3）設(shè)△與△（其中為坐標(biāo)原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）.【詳解】（1）由橢圓方程可得：，，即雙曲線中，又雙曲線焦距為

曲線的方程為：（2）由題意可知，直線斜率存在，則可設(shè)聯(lián)立得：

，橢圓與直線聯(lián)立得：可得：，即為定值（3）由（2）可設(shè)，則，

又點在雙曲線上

，解得：又位于第一象限

，令

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的取值范圍為④雙曲線中的最值問題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點在雙曲線上,設(shè)為雙曲線上的動點,直線與軸相交于點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線與軸相交于點.(1)求雙曲線的方程;(2)在軸上是否存在一點,使得,若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;(3)求點的坐標(biāo),使得的面積最小.【答案】(1)(2)存在或(3)的坐標(biāo)是或或或【詳解】（1）由已知得,解得,所以雙曲線的方程為.（2）設(shè),如圖:

根據(jù)題意得:,令得,因為點關(guān)于軸的對稱點為,所以,則,令得,因為,平方可得,因為,則,因為,所以,則,即,所以存在或滿足條件;（3）如圖:

因為,由（2）知,即,代入上式得:,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時,所以的坐標(biāo)是或或或時,的面積最小.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右頂點為，虛軸長為，兩準(zhǔn)線間的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)動直線與雙曲線交于兩點，已知，設(shè)點到動直線的距離為，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：依題意可得，解得，所以雙曲線方程為（2）解：由（1）可知，依題意可知，設(shè)，，，，則有，，所以，，所以，，作差得，又的方程為，所以過定點，所以，即的最大值為；3．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點，離心率，點在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q，P，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）24.【詳解】因為，所以，．所以雙曲線的方程為，即．因為點在雙曲線上，所以，所以．所以所求雙曲線的方程為．設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，由，得，所以．同理可得，，所以．設(shè)，則，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以當(dāng)時，取得最小值24．4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谥校?已知點，，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點，是坐標(biāo)原點，求的最小值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由雙曲線定義可知：點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，，的方程為：（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為：此時，

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：代入雙曲線方程可得：可知上式有兩個不等的正實數(shù)根

解得：由得：綜上所述，的最小值為5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為4，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點，且∠RAS＝60°.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點N，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，所以點A到漸近線的距離為

所以，解得，

所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是：（2）方法①：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可知點Q處的切線即為的角平分線.設(shè)點，，則設(shè)直線的方程是：，由得：，，解得：，，，，，，即直線：，即：

由點到直線的距離公式得：直線方程：，即：由，得：所以，由都在雙曲線右支上，得：所以所以所以，令，則

當(dāng)，即時，的最大值為.方法②：如圖，由題意知點Q在雙曲線左支上，設(shè)，則.易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，記，又為的平分線，則.因為，，所以，同理，又，代入，得，化簡得.又，，所以，由，，得，，所以，.所以直線的方程為，，由點到直線的距離公式得：，又直線MN的斜率為，且過點M，所以直線的方程為：，將其與聯(lián)立得.設(shè)，則，.易知點N在第四象限，所以，得：，.故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.

⑤雙曲線中面積問題1．（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線為其左右焦點，點為其右支上一點，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點，交雙曲線于兩點，求和的面積之積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）解：由題意點處的切線為，所以過點處的切線方程為，交軸于點，則，即，所以為的角平分線；（2）過的切線，當(dāng)時，即不為右頂點時，，即，（或由直線與單支有兩個交點，則也可）聯(lián)立設(shè)，則所以又所以，，當(dāng)時，即點為右頂點時，，所以，所以的最小值為.2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．【答案】(1)6(2)4【詳解】（1）如圖，雙曲線的漸近線方程為，代入點的，又點在雙曲線上，即，聯(lián)立解得，故雙曲線的方程為．設(shè)點，，已知直線AB、AC的斜率一定存在，所以設(shè)直線AB的方程為，即，代入雙曲線的方程得，所以，則，所以由直線AB與AC斜率之和為0，可設(shè)AC的方程為：同理可得所以，所以直線l的斜率為6．（2）設(shè)M點坐標(biāo)為，過M作漸近線的平行線分別為，由（1）知，雙曲線E的漸近線方程為，故可設(shè)的方程分別為，．聯(lián)立解得所以同理可得又由，得，所以，又點M在雙曲線E上，則，所以，即故△MPQ的面積為4．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）P是雙曲線右支上一點，A，B是雙曲線的左右頂點，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點為Q，PA與BQ的交點為C．(1)記P，Q的縱坐標(biāo)分別為，求的值；(2)記的面積分別為，當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）由已知條件得：，設(shè)PA，PB的斜率分別為，則QA，QB的斜率分別為，由即有．由即有而，．（2）由于，顯然P，Q，B，A四點共圓，PO為直徑，PQ中點為圓心，又則，

①，又

②，得：，解得．由，，而．．因為，根據(jù)單調(diào)性，求得4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在雙曲線上，且C的離心率為．(1)求C的方程；(2)直線交C的左支于P，Q兩點，且直線AP，AQ的斜率之和為0，若，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得所以雙曲線的方程為．（2）不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角分別為，，因為，所以．因為，所以，即，解得或（舍），所以直線，直線．在直線中，令，得，所以，同理得，所以，所以的面積為．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線，的斜率之和為1，，求的面積.【答案】(1)（）(2)【詳解】（1）設(shè)動點，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動.，，動點在右側(cè)，有，同理有，∵四邊形的面積為8，∴，即，所以所求軌跡C方程為（）.（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，在曲線C上，過點T直線與曲線C有兩個交點，則或，同時或，解得或.

，解得或（舍去）.時，直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得.直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得，，點Q到直線的距離

，.方法二：，，，則，.⑥雙曲線中定點、定值、定直線問題1．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點和點在雙曲線上，雙曲線的左頂點為，過點且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點，直線，與圓分別交于，兩點.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過定點.【答案】(1)(2)(3)直線過定點,證明見解析.【詳解】（1）因為點和點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，此時直線與雙曲線有且僅有一個交點，不滿足題意，所以，所以，，因為,所以，所以.（3）（i）當(dāng)軸時，且，所以，則，聯(lián)立，整理得，即，解得或，當(dāng)時，，所以，由于對稱性，，此時直線過定點；（ii）當(dāng)不垂直于軸時，以下證明直線仍過定點設(shè)為，因為，所以聯(lián)立，即，所以，解得或，當(dāng)時，，所以,同理，將上述過程中替換為可得，所以，，因為，所以，所以，所以三點共線，即此時直線恒過定點，綜上直線過定點.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當(dāng)l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，將代入C的方程有，，所以M，N到直線的距離之和為，所以，C的方程為.（2）

方法1：當(dāng)l垂直于x軸時，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時，由雙曲線的定義可知，，故.設(shè)，代入C的方程有：，設(shè)，，則，，所以，所以.綜上，的值為6.方法2：當(dāng)l垂直于x軸時，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)，代入C的方程有：.設(shè)，，則，，所以.綜上，的值為6.3．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點在雙曲線上．(1)點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；(2)點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．【答案】(1);(2)證明見解析.【詳解】（1）解：因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線，則．設(shè)點坐標(biāo)為，則，所以．因為點在曲線上，所以，所以，所以的值為．（2）證明：依題意，直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立，消得，顯然，否則不可能有兩個交點，，由韋達(dá)定理得，因為直線的斜率之積為，所以，所以，即，所以有，將韋達(dá)定理代入化簡得，而當(dāng)，此時直線為，易知恒過定點，故舍去，所以，此時滿足且直線過定點，（如圖所示）

又因為為垂足，所以為直角三角形，為直角，所以當(dāng)點為斜邊的中點時，為定值．綜上所述，存在定點，使得為定值．4．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)不同于頂點的兩點、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點，定點坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)，由可得，又，，又焦點到其一條漸近線的距離為，解得：．所以雙曲線的方程：.（2）設(shè)直線的方程為，如圖，

由得，，，直線，則直線在軸上的截距為，直線，則直線在軸上的截距為，由題得：，又，所以．所以，則，，，，化簡得：或．若，直線過頂點，舍去．．則直線的方程為，所以直線過定點．5．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點，為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為．過點且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點．(1)求Γ的方程；(2)若點E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對稱的不重合兩點，證明：直線ME，NF的交點在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見解析.【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線MN的方程為，由，可得，則，，設(shè)，，，，，所以，直線：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得，當(dāng)直線與x軸重合時，則，：，：，聯(lián)立可得，綜上，直線ME與NF的交點在定直線上.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線過點，離心率為，直線交軸于點，過點作直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是線段的中點，求直線的方程；(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對稱的兩點，直線與的交點是否在一條直線上？請說明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直線PM與QN的交點在定直線，理由見解析【詳解】（1）由題意得：，，.解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法1：設(shè)，則依題意有解得，所以直線的方程為或.方法2：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.當(dāng)時設(shè)，，得，.又因為，所以，，解得.此時，所以直線MN的方程為或.（3）方法1：設(shè)，，直線PM的方程為，直線ON的方程，聯(lián)立兩方程，可得①結(jié)合（2）方法2，可得代入①得故.所以直線PM與QN的交點在定直線上.方法2設(shè)直線MN的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得所以直線PM與QN的交點在定直線上.⑦雙曲線中向量問題1．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，右焦點為，右頂點為A.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點（與點A不重合），當(dāng)時，求直線l的方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）雙曲線的漸近線化為，設(shè)雙曲線的方程為，即，又雙曲線的右焦點，則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，顯然，由消去整理得，顯然，，而，則，化簡得，即，而，解得，所以直線的方程為，即.

2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點在x軸上的雙曲線C過點，且有一條傾斜角為的漸近線.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足，直線交雙曲線C于A，B兩點，若，求點P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為，則由題意可得，，且，解得，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）雙曲線的方程為，所以的右焦點，點Q滿足，則P為OQ的中點，設(shè)，則，

若直線AB的斜率不存在，則其方程為，此時，m＝1，Q與F重合，不合題意；若直線AB的斜率存在，設(shè)，m≠1，∵，∴，∴，∵點P在雙曲線C上，∴，∴，即，聯(lián)立消去得．所以，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，即∴，解得，，符合題意，所以，點P的坐標(biāo)．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．【答案】(1)(2)0【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，所以到的一條漸近線的距離為，所以，又，解得，所以的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，易得，或，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，解得，所以，，所以．綜上，．4．（2023春·山東濟南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線經(jīng)過，兩點．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與C交于M，N兩點，且C上存在點P﹐滿足，求實數(shù)t的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由已知可得，，解得，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得.由韋達(dá)定理可得，所以.所以，.則由可得，，解得，即.因為點在雙曲線上，所以有，整理可得，解得.⑧雙曲線綜合