之一，被國內部分院校(主要是北京大學、中國人民大學、南京大學等名校)指定為考研考濟理論——基本原理與擴展》的考生復習專業(yè)課，我們精心編著了供免費下載，免費升級):1.尼科爾森《微觀經濟理論——基本原理與擴展》(第11版)筆記和課后習題詳解2.尼科爾森《微觀經濟理論——基本原理與擴展》講義與視頻課程【25小時高清視頻】3.尼科爾森《微觀經濟理論——基本原理與擴展》(第11版)課后習題詳解4.尼科爾森《微觀經濟理論——基本原理與擴展》配套題庫【課后習題+章節(jié)題庫(含名校考研真題)+模擬試題】本書是尼科爾森《微觀經濟理論——基本原理與擴展》(第11版)教材的配套電子書，主(1)濃縮內容精華，整理名校筆記。本書每章的復習筆記對本章的重難點進行了整理，并(2)解析課后習題，總結知識考點。本書參考國外教材的英文答案和相關資料對每章的習(3)補充相關要點，強化專業(yè)知識。一般來說，國外英文教材的中譯本不太符合中國學生(4)最新補充內容，可免費升級獲得。本書后期會進行修改完善，對于最新修訂完善的內|經濟類()提供全國各高校經濟類專業(yè)考研考博輔導班【一對一輔導(面授/網授)、網授精講班等】、3D電子書、3D題庫、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、經濟類國1.直播答疑：掃碼下載本書手機版，找學友互動學習，看名師直播答疑有學友，可精確查找學友的具體位置，可與學友互動，交流學習(視頻、語音等形式);本2.720度立體旋轉：好用好玩的全新學習體驗3.質量保證：每本電子書都經過圖書編輯隊伍多次反復修改，年年升級4.手機掃碼即可閱讀，精彩內容，輕松分享掃碼即可在手機閱讀，隨處隨學。可以不用客戶端不用賬號，簡單方便!5.免費升級：更新并完善內容，終身免費升級6.功能強大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識點串聯(lián)列舉相同知識點內容列表呈現(xiàn)，便于讀者記憶和復習，舉一反三，觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具，劃一條線，寫筆記，提交糾錯?！惊毤彝瞥觥?3)答案遮擋——先看題后看答案，學習效果好。【獨家推出】(4)全文檢索——輸入關鍵詞，本書相關內容一覽無余?！惊毤彝瞥觥?.多端并用：電腦手機平板等多平臺同步使用本書一次購買，多端并用，可以在PC端(在線和下載)、手機(安卓和蘋果)、平板(安卓和蘋果)等多平臺同步使用。同一本書，使用不同終端登錄，可實現(xiàn)云同步，即更換不同()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學習提供輔導方案【保過班、網授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學習型視頻學習網站，擁有近100種考試(含418個考試科目)、194種經典教材(含英語、經濟、管理、證券、金融等共16大類),合計近萬小時的面授班、網授為您處理!全國熱線：400-900-8858(8:30-00:30)詳情訪問：(經濟類)1.1復習筆記1.2課后習題詳解第2章微觀經濟學中的數(shù)學工具2.2課后習題詳解第二篇選擇與需求第3章偏好與效用3.2課后習題詳解第4章效用最大化與選擇4.1復習筆記第5章收入效應與替代效應第6章商品間的需求關系第三篇不確定性與策略第7章不確定性第四篇生產與供給第9章生產函數(shù)第10章成本函數(shù)第11章利潤最大化第五篇競爭性市場第12章競爭性價格決定的局部均衡模型第13章一般均衡與福利第六篇市場勢力第15章不完全競爭第七篇要素市場定價第16章勞動力市場第17章資本和時間17.2課后習題詳解第八篇市場失靈第18章不對稱信息第19章外部性與公共品1.經濟模型(1)經濟模型的含義(2)經濟模型的三個共同因素(3)檢驗經濟模型的方法3.經濟均衡(1)局部均衡理論(2)一般均衡理論一般均衡理論是1874年法國經濟學家瓦爾拉斯創(chuàng)立的。瓦爾拉斯認為，整個經濟體系處于1.2課后習題詳解第2章微觀經濟學中的數(shù)學工具2.1復習筆記1.一元函數(shù)最大值問題假設企業(yè)所獲得的利潤(π)僅取決于出售商品的數(shù)量(q),它的數(shù)學表達則(1)最大化的一階條件(必要條件):對于上述一元函數(shù)，如果在某一點取到最大值，它在該點的導數(shù)(如果存在)必為零。即(2)最大化的二階條件(必要條件):在滿足一階導數(shù)等于零的條件下，并不能保證該點為極大值點，還必須滿足二階導數(shù)小于零，即2.多元函數(shù)的最值問題函數(shù)取最大值(或者最小值)的必要條件是，對于任意罪的微小變化的組合都有一=,這樣該點必有：為極值的一階條件，但這個條件并不=,組合都有一=,這樣該點必有：為極值的一階條件，但這個條件并不=,3.包絡定理在經濟分析中，人們常常要考察經濟中的某些參數(shù)的變化對目標函數(shù)(最大值)的影響，如一商品價格的變化對消費者的效用的影響，一投入要素價格的變化(或要素稟賦的變動)對廠商收入(或利潤)的影響，此時，包絡定理為這種分析提供了方便。L(x,α;)=f(x,α)-ig(x,α)即參數(shù)k對最大值函數(shù)(目標函數(shù)的最大值)的影響，就等于拉格朗日函數(shù)直接對參數(shù)k4.有約束條件的最大化問題求解具有約束條件最大化問題的一種方法是拉格朗日乘數(shù)法。假設求解，范，…,x的其中函數(shù)8表示所有X滿足的關系。:局5.有約束條件下的最大化問題中的包絡定理函數(shù)與8對參數(shù)a具有依賴性。求解這個問題的一種方法是建立拉格朗日表達式：求解最優(yōu)值i,….,的一階條件，它可以表示為：即當參數(shù)a的改變(與所有重新計算的三的最優(yōu)值)導致的最優(yōu)值的改變可由對拉格朗日表達式求偏導數(shù)，再將極值點的數(shù)據(jù)帶入得到。因此，拉格朗日表達式在計算有約束條件下的問題和沒有約束條件的問題時，包絡定理起了相同的作用。6.齊次函數(shù)則稱其為「次齊次函數(shù)。(1)齊次函數(shù)的偏導數(shù)一個次齊次可微函數(shù)的各個偏導數(shù)是次齊次的。對齊次函數(shù)表達式關于1求偏導數(shù)，可見「是滿足同次齊次的定義的。(2)歐拉定理齊次函數(shù)的一個重要性質是對因子求偏導得到的。對齊次函數(shù)表達式的兩邊分別對求偏這就是齊次函數(shù)的歐拉定理。它說明了對于齊次函數(shù)，其函數(shù)值與其各個偏導數(shù)之間有確定的關系。(3)位似函數(shù)函數(shù)值對應的序關系。即對于函數(shù)f,如果一組自變量對應的函數(shù)值大于另一組的，那么經7.動態(tài)最優(yōu)化(1)最優(yōu)控制問題假設一個決策者希望在時間區(qū)間[to,t;]內找到變量x(t)的最優(yōu)c(t),t]的收益，同時他的目標是最大化(2)極大值問題單一時間點上決策者的決策問題：不僅僅關注目標函數(shù)的現(xiàn)值，同樣也關注x(t)值的隱性變化。x(t)的現(xiàn)值由λ(t)x(t)給出，它的即時變化率由下式給出：8.數(shù)理統(tǒng)計能夠體現(xiàn)其每一個特定結果出現(xiàn)的概率。任意概率密度函數(shù)都要滿足f(x)0,同時函數(shù)值求和(或者積分)為1。常用的概率密度函數(shù)有：二項分布、均勻分布、指數(shù)分布和標2.2課后習題詳解a.計算翹=-2×02共40×10-100=1000滿足。處，利潤最大化的二階條件為：,因而利潤最大化的二階條件值。解：(1)代入消元法由x+y=1可得：y=1-x,將其代入f可得：f=Ay=.-,因為f"=-2<0,所以此問題是一個受約束的全局優(yōu)化問題，同時也是一個局部最優(yōu)化問題。構造拉格朗日函數(shù)：從而可以解得：4.上一題的對偶問題是給定xv=0.25,求x+y的最小值。并用拉格朗日乘數(shù)法求解。比較這兩題中算出的拉格朗日乘數(shù)的大小。并解釋其關系。解：設最小化問題的拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：由前兩個方程式可得：x=y聯(lián)立第三個方程式，解得：將本題與第3題進行比較可知，兩種情況下求得的的值是一樣的。因此，第3題中受約束的最大化問題是本題中受約束的最小化問題的一個對偶問題。5.垂直向上拋球，秒后高度為(其中仁是重力加速度)。a.達到最高點時為多少?將其寫成的函數(shù)。b.用上一問的結果解釋當「發(fā)生改變時，最高點高度如何變化。c.用包絡定理求解b問題。d.在地球上一=,但在不同的地方略有不同。如果兩地「相差0.1,球能達到的最大高度大約差多少?解：a.對高度函數(shù)關于時間求導數(shù)可得：即可以解得使高度最大的時間為：從而可知，小球處于最高處的時間t與參數(shù)8成反比例關系。b.將代入高度函數(shù)中可得：即隨著8的增大，最大高度將變小。c.由包絡定理可知：取決于8,這是因為取決于8。因而兩地最大高度的差異為：6.為了建造一艘油輪，我們把一塊長，寬「的鐵皮四角各剪去一塊邊長為t的正方形，再折起來，就形成了無蓋油輪的結構。a.證明油箱的體積一d.如果造船廠只有1000000平方英尺的鐵皮，即t,滿足約束條牛現(xiàn)在求解「的最大值。此時的結果和b,c兩個問題有什么區(qū)別?V=t(x-2t)(3x-2t)=3t2-L=3x2-8t2x+4t3+2(100000L=x?+5lnx?+2(k-x?-x?)b.當k=4時，由(1)的解x=k-5可得：d.如果k=20,則由(1)可得最優(yōu)解為：5,額外的增量應該全部由1的增加來實現(xiàn)。8.假定一個企業(yè)的邊際成本函數(shù)是Cigi=c.如果價格上漲到20,企業(yè)將獲得多少利潤?函數(shù)求解；(2)對逆邊際成本函數(shù)MC1(p)=p-1積分，積分下限為P=15,由于企業(yè)的邊際成本是指企業(yè)多生產一單位的產品所增加的企業(yè)成本。用公式描述企業(yè)總成本函數(shù)和邊際成函數(shù)之間的關系就是。而上述所求的總成本函數(shù)代表了在此邊際成本函數(shù)下的總成本函數(shù)族。此時，要使總成本函數(shù)唯一，主要取決于固定成本F。所以說，總成本函數(shù)只取決于一個代表了固定成本的積分常數(shù)。企業(yè)在這個價格時不賺不賠，此時的企業(yè)利潤為零，即：解得此時企業(yè)的固定成本為，F(xiàn)=98c.如果價格上漲到20,則企業(yè)產量滿足：解得，q=19此時，企業(yè)將獲得利潤為：d.如果繼續(xù)假設企業(yè)依據(jù)利潤最大化規(guī)律做決策，由P=MC(q)可將企業(yè)的產量表示為：那么企業(yè)的利潤函數(shù)為：因為f(x1,X?)是一個凹函數(shù)，而二階連續(xù)可微函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，當且僅當其海塞矩陣是負半定的，所以對于海塞矩陣i?<0.f22<0.fi?f22-而海塞矩陣D2f(x?.x2)是負定的，從而可知，海塞矩陣D2f(x?:x2)D2f(x?.x2)在子空中至少是半負定的，因而可知f(xi,X2)也是一個擬凹函數(shù)。對于擬凹函數(shù)，其加邊矩陣是負半定的，即有：(2)直觀的，從圖形上看，函數(shù)f(x)為擬凹表示線段x?、x?之間的點的函數(shù)值要高于點A,或者說曲線ACB之間的點都高于點A。顯然，當函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，曲線呈一個倒置的鍋狀，則上述性質是滿足的。從這一點看，凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)。(3)逆命題擬凹函數(shù)是凹函數(shù)不正確。如圖2-2所示，在曲線AC段，函數(shù)是凹的；而在CB段，函數(shù)是凸的。這說明擬凹函數(shù)的概念要比凹函數(shù)更弱。圖2-2凹函數(shù)與擬凹函數(shù)10.你即將碰到一個經濟學中特別重要的函數(shù)：科布一道格拉斯函數(shù)：b.用y=c的等高線圍成的區(qū)域是凸集的辦法證明它是擬凹函數(shù)。c.證明當α+β>1時該函數(shù)不是凹函數(shù)。(這也說明擬凹函數(shù)不一定是凹的)。注：柯布一道格拉斯函數(shù)在擴展章節(jié)中有介紹。0.顯然ff2-2/if+f?f2中的所有項都是負的，從而可得：fif2-2fi?fif?+f?f2<0b.如果y=c=xix2,則=z:,因而當α、β>0時，x?是x?的凸函數(shù)。關于當α+β>1時，該式是負的，因而此時函數(shù)不是凹函數(shù)，從而可知，并非所有的擬凹函數(shù)都11.冪函數(shù)這類情況下一般使用y=x?/8的形式以保證微分表達式有適當?shù)姆?a.證明冪函數(shù)是凹函數(shù)(自然也是擬凹函數(shù))。注意只有當時函數(shù)才是嚴格凹的。b.證明多元冪函數(shù)也是凹的(也是擬凹的)。這里由于交叉偏導數(shù)==:==0,凹性很明顯。解釋為什么交叉偏導數(shù)為零?函數(shù)g是否具有凹性?是否具有擬凹性?解：a.當E時，因為,所以此時函數(shù)一E三是嚴叉偏導數(shù)為0。g=y,B=8?=y1v?,8=r(r-1)y2v2+882-gi2=γ2(γ-1)y23v2v?=y2o2(δ-1)y2-3x-2x?-2(xi8n82-2g?8&?+8n8=r3(v-D)y3(-當op>1時，818m-8<0,8不是凹因為是擬凹函數(shù)，所以當/>1時，8不是擬凹函數(shù)；當/≤1時，8不是擬凹函數(shù)。a.寫出求解這個問題的拉格朗日表達式，并寫出其一階條件。b.將包含X的兩個一階條件相加。c.將b中的求和式對Q求導數(shù)。這一結果將告訴我們隨著Q的變化，X必須要改變相對應的量，才能使一階條件成立。f.把e中的結果乘上λ(拉格朗日乘數(shù)),并且運用c中的一階條件，將這兩個結果帶人d的微分式中。應該可以得到：這個等式就是在x取到最優(yōu)值時，拉格朗日表達式的偏微分。這也就證明了包絡定理。請在直覺上解釋這一證明為何能夠保證x被調整到最優(yōu)值。g.請解釋本書例2.8中如何在籬笆周長這個例子中運用包絡定理，即籬笆周長P的變化如何影響籬笆包圍的面積?并使用包絡定理說明，在這個例子中拉格朗日乘數(shù)如何施加約束。構造拉格朗日函數(shù)：一階條件為：b.包含X的兩個一階條件相加得：c.將b中的求和式對Q求導得：d.將目標函數(shù)對a求導得：①e.將約束條件對Q求導得：②f.將②乘以2再加入①式，有：所以13.泰勒逼近泰勒定理說的是任意函數(shù)在任意光滑點附近都可以用一系列原函數(shù)及微分的線性組合近似表示。下面是泰勒定理在一元函數(shù)和二元函數(shù)中的運用。fl"(a)(x-a)+0.5f""(a)(x-a)2+有關的f",僅用前三項逼近就稱為二次泰勒逼近。對f'"(x)<0中的凹函數(shù)使用二次泰勒逼近可以說明，任何凹函數(shù)要么正好在a點的切線上，要么在a點的切線下方。f(x,y)=f(a,b)+f?(a,b)(x-a)+f?(a,b)(y-b)+0.5[f2+2f?2(a,b)(x-a)(y-b)+f22(同樣的，使用上述逼近可以說明，任意的凹函數(shù)(由定義)要么正好在點(a,b)的切線上，要么在點(a,b)的切線下方。f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+0.5f上面的方程表明的是f(x)在a點的切線方程，因此，任何凹函數(shù)要么位于a點的切線上，要么在該點切線的下方。b.f(x,y)在(a,b)點的二次泰勒逼近式為f(x,y)=f(a,b)+f?(a,b)(x-a)+f?(a,b)(y-b)+0.5[f2+2fi?(a,b)(x-a)(y-b)+f22(y根據(jù)凹函數(shù)的性質，有上面的方程表明的是f(x,y)在(a,b)點的切線方程，因此，任何凹函數(shù)要么位于(a,b)點的切線上，要么在該點切線的下方。14.由于期望這個概念在經濟學理論中有很重要的作用，下面將會在這里進一步總結這個統(tǒng)計學概念的性質。貫穿這個問題，我們都假設x是一個連續(xù)隨機變量，概率密度函數(shù)為f(x)。a.(Jensen不等式)假設g(x)是一個凹函數(shù)。證明E[g(x)]<g[E(x)]。提示：在點E(x)處作函數(shù)g(x)的切線。這個切線的性質是，對所有的x和c+dE(x)=g[E(x)]b.用a中的方法證明如果g(z)是凸函數(shù)，那么有E[g(x)]≥g[E(x)]。c.假設x只能取非負值，即O≤x≤o,使用分步積分法證明：d.(馬爾科夫不等式)證明，如果x只能取正值，則下面的不等式成立：e.考慮概率密度函數(shù)f(x)=2x?3,其中x≥1。1.證明上述函數(shù)確實是一個概率密度函數(shù)。2.求出其累積分布函數(shù)F(x)。4.證明這個函數(shù)滿足馬爾科夫不等式。f.在一些經濟學問題中會用到條件期望這個概念。即在某些事件發(fā)生的條件下表示為E(x|A)。計算條件期望需要知道在事件A發(fā)生的條件下x的概率密度函數(shù)(用f(x|A)表示)。定義了上述表達式，可以得到,其中-1≤x≤21.證明上述函數(shù)是一個概率密度函數(shù)。2.計算期望E(x)3.計算-1≤x≤0的概率4.考慮事件0≤x≤2,并記為事件A。求解f(x|A)。5.計算E(x|A)。6.在直覺上解釋上述結果。b.在點E(x)處作函數(shù)g(x)的切線，則對所有x和有二f(x)是密度函數(shù)。的累積分布函的期望函數(shù)E(x)=為二f(x)滿足馬爾科夫不等式。f(x)是密度函數(shù)。6.由以上結果可知：要消除x的最低值，應增加剩余值的預期值。15.從隨機變量方差的定義式出發(fā)，可以推導出一些結論。b.使用馬爾科夫不等式(練習題14d)證明下面的不等式成立，其中x為非負數(shù)。這一結果告訴我們一個隨機變量偏離期望的程度是有限制的。令k=ho,上述結果可以轉化舉個例子，一個隨機變量偏離期望超過兩個標準差的概率永遠小于0.25,這個結果也被稱為切比雪夫不等式。c.Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x,y)說明，如果兩個(或兩個以上)的隨機變量是獨立的，那么它們的和的方差等于方差的和。把這一結果推廣到n個隨機變量，每個隨機變量的期望和方差都是u和o2。這n個隨機變量的和的期望為nμ,方差為no2。這n個隨機變量的均值的期望為u,方差為o2/n。這有時被稱為大數(shù)定理：隨著隨機變量個數(shù)的增加，其均值的方差會逐漸收斂到0。d.利用c的結果證明，如果x?和x?是兩個同期望、同方差的獨立隨機變量。這兩個隨機變量的加權平均值X=kxi+(1-k)x?(O≤k≤1)的方差在k=0.5時取到最小值，那么合理設置k的取值能夠使X的方差減少多少?e.如果d中的兩個隨機變量方差不相等，最后的結果會發(fā)生怎樣的變化?解：a.根據(jù)方差的數(shù)學定義得：c.如果兩個(或兩個以上)的隨機變量是獨立的，即：如果x,y相互獨立，則有Var(x+y)=Var(x)+Var(y)對于相互獨立的n個隨機變量，其期望和方差滿足：則這n個隨機變量和的期望和方差分別為：E(x+x?+…+x,)=E(x)+E(x?)+…+這n個隨機變量的均值的期望和方差分別為：隨著隨機變量個數(shù)n的增加，其均值方差的極限為：d.由題意得，方差為：Var[ox+(1-k)x]=[k2+(1-k)2].c2=(2k2-2k+一階條件滿足：e.此時，方差為Var[by+(1-k)x]=k2Var(x)+(1-k)2Va一階條件滿足：2kVar(x?)-2(1-k)Var16.這里介紹一些與隨機變量x?和x?的協(xié)方差有關的關系式。a.證明Cov(xj,x?)=E(x1x?)-E(x?)E(x?),上述關系的一個重要應用就是，當Cov(x?,x?)=0時，E(x?,x?)=E(x?)E(x?),即隨機變量乘積的期望等于這兩個隨機變量期望的乘積。c.在練習題2.15d中，我們計算了X=kx?+(1-k)x?(O≤k≤1)的方差。如果Cov(x,x?)≠<0,上面的結論當k=0.5時，X的方差最小，是否還成立?d.兩個隨機變量的相關系數(shù)定義為：分別從數(shù)學上和直觀上解釋么=1e.假設隨機變量y是x的線性變換y=a+βx。證明：這里，β也被稱為y關于x的回歸系數(shù)。如果使用真實數(shù)據(jù)，上述表達式也被稱為最小二乘(OLS)回歸系數(shù)。解：a.根據(jù)協(xié)方差數(shù)學定義得：時，有：b.由方差的定義得：c.此時，有：一階條件為：解得：,因此結論依然成立。根據(jù)柯西一施瓦茨不等式，有：所以-1≤Corr(x:x?)≤1從直觀上理解，相關系數(shù)度量的是兩個變量之間的相關關系，當兩個變量之間正線性相關時，相關關系最強，此時相關系數(shù)為1;當兩個變量之間負線性相關時，相關關系最弱，此時相關系數(shù)為1。兩個變量之間的相關關系介于正線性相關和負線性相關之間，因此相關系數(shù)介第二篇選擇與需求3.1復習筆記1.理性選擇公理偏好是指消費者按照自己的意愿對可供選擇的商品組合進行的排序。偏好是微觀經濟學價值理論中的一個基礎概念。偏好是主觀的，也是相對的概念。為了便于經濟分析，經濟學中通常假定人們的偏好關系滿足以下三個基本假設：(1)完備性：偏好是完備的，即消費者可以在所有可能的消費組合中進行比較和排序。例如，對于任何兩個消費組合A和B,消費者要么偏好其中的A,要么偏好其中的B,要么覺得兩者無差異。其中，無差異是指消費者從兩個消費選擇中獲得相同的滿足程度。(2)傳遞性：偏好是可以傳遞的，這意味著，如果消費者在消費組合A和B中更偏好A,在B和C中更偏好B,那么消費者A和C中更偏好A。這一假定保證了消費者的種種偏好是一致的，因而也是理性的。(3)連續(xù)性：如果消費者認為消費組合A優(yōu)于B,那么充分接近A的消費組合也一定優(yōu)于(1)效用的含義效用是指消費者消費或擁有一定數(shù)量的某種商品時所獲得的滿足程度。一種商品給消費者所帶來的效用不同于該商品的使用價值，它是消費者對所消費商品給予的主觀評價，不同的消費者在相同的時間、地點消費相同數(shù)量的商品組合可以分別獲得不同的效用，即使同一消費者在不同的時期、不同的地點消費同樣數(shù)量的商品組合也可獲得不同的滿足程度。效用有總效用和邊際效用之分。邊際效用量的大小在消費者的消費決策中具有重要作用。(2)度量效用方式的不唯一性只要準確符合原本的偏好排序，可以任意給定一組數(shù)值來表示同樣的選擇次序。例如U(A)=5,U(B)=4和U(A)=1000000,U(B)=0.5沒有區(qū)別。由于賦予效用的數(shù)值并不唯一，因此不能在不同人之間比較效用。(3)其他條件不變的假定影響效用度量的因素的有很多：①所消費的實物商品的影響；②內心的態(tài)度；③來自同階層的心理壓力；④個人經歷；⑤所處的一般文化環(huán)境等等。所以，對效用最大化選擇的經濟分析中，為了使選擇分析形式簡單、易于處理，一般都假定其他條件不變。(4)效用函數(shù)①消費商品的效用在單一時點上，在n種消費品x?,X2,….,xn中，考慮個人的選擇問題。將假定個人對這些消效用=U(x1,X?,…Xn;其他事物)這里x表示可能選擇商品的數(shù)量，其他事物表示消費者的福利還來自其他許多方面。a.當討論個人從真實財富(W)中獲得的效用時有：效用=U(W)。財富帶來的效用，是給定時間內的非工作時間(即閑暇)。效用函數(shù)表示為U(x1,X2,…,xn),這里x1,X?,….,xn分別代n種商品的數(shù)量，如果個人的偏好序維持不變，那么這個效用函數(shù)就是唯一的。3.交易與替代(1)無差異曲線圖3-1。圖3-1無差異曲線圖3-2相交的無差異曲線意味著偏好不一致c.在正常情況下，無差異曲線總是凸向原點的。這一特點是由商品的邊際替代率遞減規(guī)律所決定的。(2)邊際替代率邊際替代率(MRS)指在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一單位某種商品的消費數(shù)量時所需放棄的另一種商品的消費數(shù)量。以MRS代表商品的邊際替代率，底和-E分別是商品1和商品2的消費變化量，則商品1對商品2的邊際替代率的公式為：當商品數(shù)量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為：顯然，無差異曲線上某一點的邊際替代率就是無差異曲線在該點的斜率的絕對值。4.特定偏好的效用函數(shù)(1)柯布一道格拉斯效用函數(shù)柯布一道格拉斯效用函數(shù)為,具有良好的性狀，是經濟分析中常用的一種效用函數(shù)，參數(shù)一=反映了商品X和Y對于個體的相對重要性。其邊際替代率為：圖3-3柯布一道格拉斯效用函數(shù)就說商品X是Y的完全替代品，如圖3-4所示。特別地，當這個固定的替代比例是1:1圖3-4線性效用函數(shù)5所示。此時消費者關于這兩種商品的無差異曲線呈L形，所有無差異曲線的拐點的連線是一條直線，而直線的斜率就表示兩種商品的搭配比率，比如鞋和襪子這兩種商品。圖3-5里昂惕夫效用函數(shù)(4)CES效用函數(shù)CES效用函數(shù)又稱不變替代彈性效用函數(shù)，其表達式為：當δ=1時，它是表示完全替代的線性效用函數(shù)；當δ=0時，它是科布一道格拉斯效用函數(shù)；當δ→0時，它是表示完全互補的里昂惕夫效用函數(shù)。CES效用函數(shù)的無差異曲線如圖3-6CES效用函數(shù)3.2課后習題詳解1.畫出下列效用函數(shù)的無差異曲線并判斷它們是否是凸的(即它們的邊際替代率是否隨著x遞增而遞減)。解：a.效用函數(shù)的無差異曲線為一組直線，如圖3-7所示。邊際為一常數(shù)，因而無差異曲線不是凸狀的。圖3-7完全替代型的無差異曲線b.效用函數(shù)的無差異曲線如圖3-8所示，為性狀良好的無差異曲線。其邊際替代率為：即隨著x的遞增，將遞減，因而是凸的無差異曲線。圖3-8凸性的無差異曲線即隨著x的遞增，MRS?將遞減，無差異曲線是凸狀的，此為擬線性偏好的效用函數(shù)。圖3-9擬線性型的無差異曲線d.效用函數(shù)的無差異曲線如圖3-10所示。邊際替代率為：即隨著x的遞增，遞增，無差異曲線不是凸狀的。圖3-10凹狀的無差異曲線e.效用函的無差異曲線如圖3-11所示。邊際替代率為：MRS,即隨著xMRS,將遞減，無差異曲線是凸狀的。2.在本章腳注7里中我們曾說明，為了使兩種商品的效用函數(shù)有嚴格遞減的邊際替代率(即曲線呈嚴格擬凹),必須滿足下列條件：利用這一條件檢驗練習題1中的各效用函數(shù)無差異曲線的凸性。寫出你在解題過程中發(fā)現(xiàn)的邊際效用遞減和擬凹性之間的關系的種種情況。解：a.對于效用函數(shù)一1,有：則UU2-2U,U?U,+U,U2=0該效用函數(shù)不是嚴格擬凹的。即當兩種商品的邊際效用不變時有UU2-2U?U?U,+UU2=0。b.對于效用函數(shù)(U(x,y)=√x·y,有：2<該效用函數(shù)是嚴格擬凹的。即當兩種商品的邊際效用遞減時有…c.對于效用函數(shù),有：則UU2-2UU?U,+U,v2<0,該效用函數(shù)是嚴格擬凹的。即當有一種商品的邊際效用遞減，另一種商品的邊際效用不變時有：d.對于效用函數(shù),有：此時的符號也無法判定，因此該效用函數(shù)并不是嚴格擬凹的。e.對于效用函數(shù),有：3.對于下列效用函數(shù)：從以上分析可知，單調變換會影響遞減的邊4.如我們在下圖中所見，為證明無差異曲線的凸性，一種方法是證明在一條滿足U=k上的無差異曲線上的任意兩點(x,yi)、(x?,y?)和點上的效用不小于k。試用這種方法討論下面三個函數(shù)的無差異曲線的凸性，并b.U(x,y)=Max(x,y)解：a.如果兩個商品組合的數(shù)量相等，則有：如果兩個商品組合的數(shù)量不同，不失一般性，則有：因而有：從而可知，無差異曲線如圖3-11所示，是凸狀的。b.同a可知，兩個商品組合的數(shù)量相等，則有：如果兩個商品組合的數(shù)量不同，不失一般性，則有：y?<x?=k=y?>x?.(x?+x?)/2<k.(v?+v?從而可知無差異曲線如圖3-10所示，不是凸狀的，而是凹狀的。c.在完全替代型的效用函數(shù)下，有：(x?+y)=k=(x?+y?)=[(x因而無差異曲線既不是凹狀的，也不是凸狀的，而是線性的。圖3-12利用圖形來判斷無差異曲線的性狀5.PhilliePhanatic總是以他獨特的方式來吃自己帶到球場的食物——一英尺長的熱狗腸配半塊圓面包，1盎司芥末和2盎司酸黃瓜。他的效用是這四種物品的函數(shù)，并且其中單一元素的增加是沒有價值的。a.他的的效用函數(shù)是哪種類型?b.如何通過將他的效用函數(shù)視為單一商品的函數(shù)來簡化問題?這個商品是什么?c.假設一英尺長的熱狗腸的成本是1美元，每個圓面包的成本是0.50美元，一盎司芥末的成本是0.05美元，一盎司酸黃瓜的成本是0.15美元，b問中的商品的成本是多少?d.如果熱狗腸的價格上升50%,b問中的商品的價格上升的百分比為多少?e.如果圓面包的價格上升50%,這將會對商品的價格造成什么樣的影響?你的答案為什么和d問的不同?f.如果政府想通過征收PhilliePhanatic買的那四種商品的稅來獲得1美元稅收，試問政府應該如何分配稅額以使他損失的效用最小?U(h,b,m,r)=Min(h,2b,m,0.b.可以將PhilliePhanatic的效用視為一種商品的函數(shù)來簡化問題，即將上述四種物品的組c.該種商品的價格是：1+0.5×0.5+0.05+2×0.15=1.6(美元)。d.如果熱狗腸的價格增至1.5美元，則該商品的價格為：因此，該種商品的價格上漲幅度為：(2.1-1.6)÷1.6=31%。e.如果圓面包的價格增至0.5×(1+0.5)=0.75(美元),則該種商品的價格為：1+0.5×0.75f.提高價格以使完全調配好的熱狗腸的價格增至2.6美元，從而在征稅1美元的情況下，這將等價于購買力的總額減少。為使PhilliePhanatic的效用成本最小化，增收的1美元稅收美元，每單位圓面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司酸黃瓜征收0.11美元，此時PhilliePhanatic的效用成本最小。6.很多廣告詞都像是在斷言某種人們的偏好。請用不同的效用函數(shù)描述下列廣告詞?a.人造黃油和天然的一樣棒。b.一切都因可口可樂變得更好。c.品客薯片一口停不住。解：a.如果用p代表人造黃油消費量，b代表真黃油消費量，則效用函這表示人造黃油和真黃油是完全替代品，它們之間的替代比率是1:1。U(x,y).且滿足：e.如果用U代表其他人的效用水平，x代表其他商品是消費，b代表啤酒的消費，則效用換取1單位y,當他擁有12單位x和3單位y時，他愿意用6單位x換取2單位y。并且消費束(6,5)和(12,3)對他而言沒有差異，試問他的效用函數(shù)是怎樣的?提示：考b.考慮某人消費兩種商品x和y,在消費束(8,1)處，他愿意用4單位x換取1單位y,在消費束(4,4)處，他愿意用1單位x換取2在消費束(8,1)處，他愿意用4單位x換取1單位y,則MRS=在消費束(4,4)處，他愿意用1單位x換取2單位y,則MRS=,b.進行等式變形得：c.c.對于分析問題9.初始稟賦假設給某人提供效用的商品，其初始數(shù)量為和。a.在此人的無差異曲線圖上標出這兩個初始數(shù)量。b.如果此人可以用X和別人交換V,他將會做怎樣的交易?不會做怎樣的交易?這些交易和此人在點==時的有何關聯(lián)?c.假設此人在擁有初始數(shù)量的商品時已比較快樂，要是交易給他增加的效用小于k,他根本懶得去做，你怎樣在無差異曲線圖上標出這一點?解：a.此人無差異曲線如圖3-13所示，它的初始商品擁有量為圖中的作點。圖3-13無差異曲線及交換活動對效用的影響b.任何不同于在(T,)處的MRS的交易機會都有可能提高效用水平。如圖3-13所示，c.對初始商品組合的偏好要求交換活動能夠大幅度提高效用才能促使交換發(fā)生。因而交換活動只有在交換后的MRS顯著不同于在(x,D)處的MRS時才更有可能發(fā)生，如圖3-13所示。10.柯布——道格拉斯效用函數(shù)a.這個結果是否取決于a+β=1?它與選擇理論有沒有關系?b.對于一組商品y=x,其邊際替代率是如何取決于a和β的?為什么a>β時，MRS>1?請這是一個位似函數(shù)嗎?(更進一步的討論請參見第4章的擴展部分。)解：a.對于柯布一道格拉斯效用函數(shù),邊際替代率這個結果不取決于a+β=1,它也受x與y之間關系的影響，與選擇理論有關系。b.對于一組商品y=x,其邊際替代率為：a>β時，此時由上述等式可知MRS>1。如圖3-14所示，圖中A,B,C三點均在直線y=x上，這三點處的邊際替代率均為,即過此三點的預算線的斜率都大于1。X圖3-14對于一組商品y=x組合處的邊際替代率點c.位似函數(shù)是指齊次函數(shù)經過任意的單調映射所得到的函數(shù)。U(tx.t)=(x-x)"(y-yo)為非齊次函數(shù)，所以該函數(shù)不是位似函數(shù)。該函數(shù)關于(x-x?)和(y-yo)是位似的，而關于x和V不是位似的。11.獨立邊際效用如果效用函數(shù)滿足：則稱這兩種商品具有獨立的邊際效用，試證明當我們假定每一商品的邊際效用為遞減時，具有獨立邊際效用的效用函數(shù)都會有遞減的邊際替代率。舉例證明其逆命題是錯的。證明：由本章課后習題第2題可知，U=0原命題的反命題是：如果具有獨立邊際效用的任一效用函數(shù)有遞減的邊際替代率，則其每一種商品的邊際效用是遞減的。下面來證明此命題不一定成立。在兩種消費商品的效用函數(shù)下，遞減的邊際替代率意味著下式成立：當=0時，上式變?yōu)?。顯然，這無法推出U,U,<0的結論。12.CES效用函數(shù)b.證明：從a中得出的結果與δ=1(完全替代)和δ=0(科布一道格拉斯)相符。b.如果δ=1,為一常數(shù)；如果δ=0,,這與本章課后習題第8yy無差異曲線預算線0b.由U?=1v=1-va=QUa=0,可得y=eC-stp?x+P?V=m若x1>x2和x2>x3可推出x1>x3,則偏好a.加總式偏好：這個偏好關系假設人們能真實地將蘋果和橘子加總起來。具體地說，當且b.字典式偏好：字典式偏好的偏好關系就像字典一樣。若x?1>x?2,則x1>x2(不管其他n-1種商品);若x?1=x?2并且x?1>x?2,那么x1>x2(不管其他n-2種商品);以此類推。L,由于時，存在數(shù)使得,因此存在消費束使得,因此加總式偏好是連續(xù)的；對于,假設b.對于兩個消費束…,假設其前一種商品是無差異此下述關系也必有一個成立：,所以字典式偏好是完備的；對于—|==,由于存在,因此，存在使得差異的，i=2,3.….n,對于第1種商品，假設—c.對于兩個消費束x?=(x,.x).x?=(x2.x2x),由于必有其一成立，因此必有其一成立，因此饜足式偏好是完備的；因此存在消費束使得,假設,因此，若二1,則,所以饜足式偏15.收益函數(shù)DavidGluenberger在其1992年的論文中介紹了收益函數(shù)，他將其定義為一種將某種程度的要重復多少次才能將他的效用水平提高到目標值。假定只有給定。再假設基礎的消費束為(xo,yo)。則收益函數(shù)的價值一，就a.假定效用函數(shù)由給出。計算xo=yo=1時的收益函數(shù)。b.利用a中給出的效用函數(shù)，計算xo=1,yo=0的收益函數(shù)。解釋該結果為何與a中的結果c.收益函數(shù)也可以在個人擁有兩種商品的初始稟賦時定義。如果這些初始稟賦為d.考慮兩種可能的初始稟賦，和淚。用畫圖和文字(直觀上)兩種方法解釋為b.xo=1,yo=0時，有故當xo=1,yo=,0時，收益函數(shù)c.當一|==或一==時，收益為正：當一或一國時，收益為負解釋：如果基礎消費束(xo,yo)沒有達到初始稟賦，收益函數(shù)就為負；如果基礎消費束超過初始稟賦，收益函數(shù)就為正。d.作圖略。記第4章效用最大化與選擇4.1復習筆記1.兩種商品的情形：圖形分析(1)預算約束假定某人有I美元可用來購買商品x與商品y,設x的價格為Px,y的價格為Py,則消費者圖4-1兩種商品條件下消費者的預算約束預算約束如圖4-1所示，消費者只能購買三角形區(qū)域內(包括邊界)的商品組合，如果I美元全部用來購買x,那么能夠購買到一三單位的x;同理，如果I美元都用來購買y,那么能夠購買一=單位的y。(2)最大化的一階條件為了獲得最大效用，應當花費掉所有的收入，并且MRS要等于商品的價格之比。如圖4-2所示，在A點，消費者并沒有花費掉剩余的貨幣，所以不能達到最高點效用水平；在B點，通過重新分配在兩種商品上的貨幣支出，消費者可以達到比B點更高的效用水平；在D點，消費者在現(xiàn)有收入水平下并不能達到；只有在C點可以取得最大的效用，此時即滿足預算約束，又滿足預算約束線的斜率等于無差異曲線的斜率。圖4-2效用最大化的幾何解釋(3)最大化的二階條件無差異曲線與預算約束線相切的原則只是獲得最大效用的必要條件，并不是充分條件。如果無差異曲線不滿足邊際替代率遞減的假設，那么并非所有的切點都是能達到效用最大化的點。如圖4-3所示，切點C的商品組合的效用低于其他許多能用現(xiàn)有貨幣購買的商品組合的效用。為了保證效用最大化的必要條件(也即相切條件)同時也是充分條件，通常要假定邊際替代率是遞減的，即效用函數(shù)是嚴格擬凹的。圖4-3相切條件并不能保證最大效用的無差異曲線舉例2.n種商品的情形(1)n種商品最優(yōu)選擇的數(shù)學表述(2)拉格朗日方法求解及一階條件設拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：從而可以化簡為：效用，消費者必須使自己心理上的交易比例與市場上的交易比例相等，即市場上與=的交換比例需等于消費者愿意用=交換的比例。(3)角點解在某些情況下，消費者的偏好使其在不消費其中的某一種商品時才能達-4所示，效用最大化的點是E點，此時y的消費量為0,并且預算線與無差異曲線F并不是正好相切。在E點預算線比無差異曲線U更平緩，這表明：市場上商品x與y的交換比率要比消費者心理上的替代率(MRS)低。在現(xiàn)行的市場價格條件下，消費者更愿意不斷地用y來換取更多的x。圖4-4效用最大化問題的角點解如果當商品價格(F)超過它為消費者帶來的邊際價值(一=)時，消費者對它的購買量將3.需求函數(shù)與間接效用函數(shù)(1)需求函數(shù)(2)間接效用函數(shù)控制收入，實質便是收入政策的內容。可見，間接效(3)一次總付原則4.支出最小化與支出函數(shù)(1)支出最小化問題的數(shù)學表達式一般地說，消費者對偶的支出最小化問題就是選擇x?,x?,...,x.與所要求的效用水平日，如果改變其中任意一種商品的價格，或者消費者的效用“目標”發(fā)生變化，最優(yōu)的商品組合就會改變。(2)支出函數(shù)消費者的支出函數(shù)表明了在一組特定的商品價格條件下，要達到某一既定的效用水平所必需的最小支出，即：定義說明，支出函數(shù)與間接效用函數(shù)是互為反函數(shù)關系的。它們都取決于市場價格，但所受到的約束卻不同(前者為收入，后者為效用)。(3)支出函數(shù)的性質①齊次性：如果所有商品的價格都加倍，則所需的支出也加倍。②支出函數(shù)關于價格單調不降，用數(shù)學表達式簡明地表示如下：③支出函數(shù)是價格的凹函數(shù)。4.2課后習題詳解1.三年級學生保羅每天在校用餐，它只喜歡奶油小蛋糕(t)和橘子汁(s),他從中得到a.如果每份奶油小蛋糕為0.1美元，每杯橘子汁0.25美元，為了使效用最大化，保羅應該如何將媽媽給他的1美元伙食費分配在這兩種食物上?b.學校為了減少奶油小蛋糕的消費，將其價格提高到每份0.4美元，那么為了讓保羅得到與a中相同的效用，媽媽要多給他多少美元伙食費?解：a.對效用函數(shù)進行單調變換，令,這并不改變偏好保羅效用最大化問題為：設拉格朗日函數(shù)為：b.消費品奶油小蛋糕價格提高了，但效用水平卻保持不變，則保羅面臨如下的支出最小化由上述三式解得F=,,則最小支出為：I,所以媽媽現(xiàn)在要多給他1美元伙食費(即給他2美元伙食費)使他的效用水平保持不變。2.a.一位年輕的品酒師欲支出600美元建一座小酒窖，他特別喜歡兩種酒：一種是1997年生產的法國波爾多白葡萄酒(F),每瓶價格為40美元；另一種是稍微便宜的2005年產的加利福利亞葡萄酒，每瓶8美元。如果他的效用函數(shù)如下式所示，則他應該在每種酒上花b.當他來到酒店時，我們年輕的品酒師發(fā)現(xiàn)由于法郎貶值，法國波多爾白葡萄酒(三)已經降到每瓶20美元，如果加利福尼亞葡萄酒依舊是每瓶8美元，此時，在價格已變的條c.解釋為什么這個品酒師在b的情況下要比a更好。你如何用貨幣值來衡量這個效用的增加?此時，消費者效用最大化時兩種酒上的花費分別為：即在法國波爾多白葡萄酒和加利福尼亞葡萄酒上的花費分別為400美元和200美元，此時該調酒師的效用達到最大化。b.法國波多爾白葡萄酒(WF)已經降到每瓶20美元，此時的預算約束方程可寫為：利用a中的方法可得：聯(lián)立預算約束方程解得：即調酒師效用最大化的每種酒的購買量分別為20,25。,即這個品酒師在b的情況下要比a更好。法國波多爾白葡萄酒(WF)降價，使得該調酒師對波多爾白葡萄酒的實際購買力增加，此時，貨幣的邊際效用變得更大。3.a.在某一個晚上，J.P.以下列函數(shù)的形式享用雪茄(c)和白蘭地(b):那么他這天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白蘭地酒才能得到最大效用(假定他不受預算約b.后來，J.P.的醫(yī)生告誡他：每天喝的白蘭地與抽的雪茄加起來不能超出5單位。在這一條件約束下，他會喝多少白蘭地，抽多少雪茄呢?一階條件為：4.a.Ball先生享用商品x和y所得的效用函數(shù)為：如果—|==美元，=美元，而他的總收入為50美元，求他所能獲得的最大效用?提示：求U2的最大值要比求U的最大值方便得多，但這種方法為什么不影響計算結果呢?為的?你找到真正的最大值了嗎?解：a.因為-蘭可由U經過單調變換得到，所以，最大化-三同時也就使U最大化的。因b.Ball的無差異曲線如圖4-5所示，顯然該無差異曲線沒有遞減的MRS。無差異曲線與預算線的切點如圖4-5中的A點所示。在A點處，僅滿足效用最大化的必要條件，但是不滿足充分條件，因而A點不是一個局部最優(yōu)點，效用最大化的點應該是B點，奧德鮑爾將圖4-5Ball的無差異曲線圖5.A先生從馬丁尼酒(m)中所得的效用與馬丁尼酒的消耗量成正比：U(m)=m。特別喜歡他的馬丁尼，但他只喜歡喝將杜松子酒(g)與苦艾酒(v)按2:1的固定比例混b.求出對g與v的需求函數(shù)。c.利用b的結論，求出A先生的間接效用函數(shù)。d.試計算A先生的支出函數(shù)；對于每一種效用水平，將支出表示成pg和pv的函數(shù)。解：a.A先生的無差異曲線如圖4-6所示。無論商品g與v的相對價格(即預算線的斜率)6.假設一位快餐愛好者的效用取決于三種商品：軟飲料(x),漢堡包(y)和冰淇淋圣代(z),根據(jù)柯布—道格拉斯效用函數(shù)，有同時假設這些商品的價格分別為：px=1,py=4,pz=8,該消費者的收入為I=8。a.證明：當z=0,效用最大化得到的的最優(yōu)選擇與例4.1相同。同時證明z>0(哪怕z非常小)時的任何選擇都會使效用減少。b.你如何解釋z=0時達到最優(yōu)這一事實?c.為了購買z,這個人的收入要有多高?解：a.當z=0時，效用函數(shù)為,根據(jù)柯布一道格拉斯效用函數(shù)的性質此時效用U=(4)0.5(1)?.5=2,與例4.1結果相同。如果略大于0(不),則利用柯布一道格拉斯效用函數(shù)的性質可得：因而效用為：因而在匡處，從看獲得的邊際效用“不值”商品的價格。效用函數(shù)中的“1”導致了在任何正的數(shù)量時已經具有遞減的邊際效用。商品滿足“互補松弛”原理。c.如果收入一，則最優(yōu)選擇為：,,z=1(可以利用拉格朗日方法求解，此處略去)。為了找到在任何處的購買量，可以利用柯布一道格拉斯函數(shù)的性質，即：7.圖4-7中所示的一次總付原則不僅可以應用于稅收，也可以應用于轉移支付。這個問題研究該原則在此政策下的應用。圖4-7稅收中的一次總付原則a.用與圖4-7類似的圖解釋在政府花費相同的情況下，對一個人進行收入補貼比對物品xb.利用柯布一道格拉斯支出函數(shù),計算需要多少額外購買力才能將這個人的效用從U=2提高至U=3。c.再次使用(,估算為了將這個人的效用從U=2提升至U=3,需要對商品x進行補貼的程度，并和b中得到的結果進行比較。d.習題4.10要求你計算的支出函數(shù)是與比例4.4的情形更一般化的柯布一道格拉斯效用函數(shù)相對應的。當a=0.3(這個數(shù)字接近于低收入的人花費在食物上的收入份額)時，再次使用這個支出函數(shù)，回答b和c的問題。解：a.如圖4-8所示，收入補貼可以使消費者預算線向右平行移動，在新的最優(yōu)點C處消費者的效用要大于對商品x進行補貼后消費者達到最優(yōu)點B處的效用，因此，相同數(shù)額圖4-8一次性收入補貼與對商品x補貼下消費者境況的比較b.商品價格。對于方程4.52中的柯布一道格拉斯函數(shù)而言，其支出函數(shù)為：當效用為一F=時，支出要使這個人的效用從U=2提高至U=3所需要增加的支出為：c.當效用為一E=時，支出,設在此條件下，對x的補貼為r時才能達到F=的效用水平。即有：解得，對每單位x的補貼在此補貼價格下，消費者將選擇購買：d.當一：三時，效用函數(shù),最優(yōu)的x和y的取值為：貼貼在此價格下，消費者選擇購買3個單位的x,政府補貼金額為2,價格補貼金額與在一次總8.考慮以下兩個最簡單的效用函數(shù)：1.固定比例效用函數(shù)：2.完全替代效用函數(shù)：a.分別對以上兩個效用函數(shù)，計算：對于x和y的需求函數(shù)、間接效用函數(shù)和支出函數(shù)。解：a.設兩種商品的價格分別為==,收入為莊。1.對于固定比例效用函數(shù),均衡的消費滿足：2.對于完全替代效用函數(shù)分三種情況討論均衡的消費：(1)當一時，由于x和y相互替代，此時消費者只消費y,不消費x。支出函數(shù)：時，由于x和y相互替代，此時消費者只消費x,不消費y。此時的需求函數(shù)：間接效用函數(shù)：支出函數(shù)：間接效用函數(shù)：支出函數(shù)：b.對于完全互補的兩種商品來說，兩種商品間按固定的比例進行消費，超出比例多消費任何一種商品都不會帶來效用的增加，如果按1:1比例進行消費的兩種商品，那么其效用函數(shù)為,如圖4-9所示；而對于對于完全替代的兩種商品來說，兩種商品間相互替代的比率是不變的，其效用函數(shù)為I==,如圖4-10所示；圖4-9完全互補圖4-10完全替代9.考慮包含兩種商品的線性效用函數(shù)：。計算與之對應的支出函數(shù)。提解：由于兩種商品的效用函數(shù),即此兩種商品為完全替代品。設兩種商=。下面分三種情況進(3)當時，此時商品x與y無差異。此時的支出函數(shù)為：分析問題10.柯布—道格拉斯效用函數(shù)在例4.1中，我們用到了柯布—道格拉斯效用函數(shù),其中O≤a≤1這個問題說明了該函數(shù)的一些其他屬性。a.計算柯布一道格拉斯情況下的間接效用函數(shù)。b.計算這種情況下的支出函數(shù)。c.明確解釋當x價格上升時，為了抵消其影響所需的補償是如何與指數(shù)α的大小相關的。解：a.對于柯布一道格拉斯效用函數(shù)，其相應的需求函數(shù)為：將需求函數(shù)代入效用函數(shù)中，得間接效用函數(shù)為：b.利用對偶原理，可以從間接效用函數(shù)中解出支出函數(shù)為：c.支出關于價格的彈性值為：即：x在效用函數(shù)中越重要，則支出份額中用于補償其價格上漲的比例也越大。11.CES效用函數(shù)一般的CES效用函數(shù)可以表示為：a.證明上述函數(shù)在約束條件下，效用最大化的一階條件是消費者按一定比例選擇商品，這b.前面在討論一些問題時已經說過：對于柯布—道格拉斯函數(shù)(δ=0),消費者將在x與y之間平等分配費用，證明a中的結論也包含了這種情況。C.的值與δ的值有什么關系?直觀地解釋你的結論。(如果要對此函數(shù)進行更深入的探討，參見本章擴展E4.3)d.推導這種情況下的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，并運用齊次函數(shù)的性質加以檢驗。從而可以解得：者將在x與V之間平等分配費用。c.由a可知,所以，當時，收入中用于購買x的相對份額與其相對價格正相關；當時，收入中用于購買X的相對份額與其相對價格負相關。d.支出最小化問題為：設拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：從而可以解得：所以，支出函數(shù)為：由齊次函數(shù)的性質，對于任意的同，可得：12.Stone—Geary效用函數(shù)消費者需要一定量的食品(X)來維持生存，假設這個量為F。一旦購買年的食品，消費者將從作與其他商品()得到效用：其中，a.證明：如果—F=,在商品V上花費則為了取得最大效用，消費者將會在食品x上花a.證明：如果—F=,在商品V上花費b.在這個問題上，如果收入增加，三的比值將會怎樣變化?(有關此函數(shù)的進一步討論請參見本章擴展EA.2。)解：a.如果同，則效用值為負，因而消費者將會首先支出-F。對于剩余的收入，這是一個標準的柯布一道格拉斯效用函數(shù)最大化問題，從而有：b.由a以及預算約束條件可得：對取極限可得：13.CES間接效用函數(shù)和支出函數(shù)現(xiàn)在，我們討論形式更標準的CES效用函數(shù)的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，函數(shù)形式如下：該函數(shù)的替代彈性a.證明此函數(shù)的間接效用函數(shù)為：b.證明a中計算出的函數(shù)是關于價格和收入的零次齊次函數(shù)。c.證明此函數(shù)是收入的嚴格遞增函數(shù)。d.證明對于任何價格，該函數(shù)都是嚴格遞減的。e.證明此種情況下的CES效用函數(shù)的支出函數(shù)為：f.證明e中計算出的函數(shù)是關于商品價格的一次齊次函數(shù)。g.證明支出函數(shù)是關于任何價格的遞增函數(shù)。h.證明函數(shù)是任何價格的凹函數(shù)。解：a.設兩種商品的價格分別為PxPs,收入為，則消費者效用最大化問題：構造拉格朗日函數(shù)：一階條件：將上式帶入,得間接效用函數(shù)：b.對于任意正數(shù)t>0,有：C.,所以說此函數(shù)是收入的嚴格遞增函數(shù)。d.,所以說，對于任何價格，此函數(shù)是嚴格遞減的。e.反解間接效用函數(shù)得此函數(shù)的支出函數(shù)：f.對于任意正數(shù)t>0,有：g.,所以說支出函數(shù)是關于任何價格的遞增函數(shù)。h.對支出函數(shù)關于=求二階偏導數(shù)得：14.利他主義米歇爾有一個相對高的收入I,并且他十分同情生活貧困、收入很低的索菲亞。假設米歇爾此處分別表示米歇爾和索菲亞的消費水平，函數(shù)形式和兩商品的柯布一道格拉斯效用(通過慈善捐贈),并且1美元收入可為米歇爾或索菲亞帶來1單位相等的效用(也就是說，消費的價格一=)。少時，米歇爾會是一個完美的利他主義者(把別人看作和自己同等重要)?b.求解米歇爾的最優(yōu)化選擇，并說明其如何隨著@的變化而變化。c.假設所得稅為t,求解此時米歇爾的最優(yōu)化選擇。在慈善捐款可稅前扣除(用于慈善捐款的那部分收入不用繳納所得稅)的情況下，米歇爾的選擇會發(fā)生怎樣的變化?對于利他主義程度高和程度低的兩種人，慈善捐款扣除對該式和擴展E3.4相似，根據(jù)定義，米歇爾直接關心索菲亞的效用水平，間接關心索菲亞的1.若索菲亞的效用函數(shù)和米歇爾是對稱的，即·l,計算米歇爾的最優(yōu)選擇，并和b中的結果加以對比，米歇爾的利他主義程度是更大還是更小?解釋這一結果。2.若索菲亞的效用函數(shù)為,重新分析上述問題。當時米歇爾會是一個完美的利他主義者(把別人看作和自己同等重要),其效用函數(shù)b.設米歇爾的收入為m,利用柯布—道格拉斯效用函數(shù)的性質可得米歇爾的最優(yōu)選擇為：c.如果所得稅為t,此時米歇爾的最優(yōu)化選擇為：設慈善捐款額為一=,在慈善捐款可稅前扣除(用于慈善捐款的那部分收入不用繳納所得稅)的情況下米歇爾的最優(yōu)化選擇為：為一常數(shù)，與α無關。所以，對于利他主義程度一=高和程度低的兩種人來說，慈善捐款扣除對兩種人的激勵作用一樣大。d.1.若米歇爾的效用函數(shù)S=,且索菲亞的效用函數(shù)=,由此可以推出米歇爾的效用函數(shù)：米歇爾的最優(yōu)選擇：所以，隨著Q的提高，在米歇爾的最優(yōu)選擇處，米歇爾的消費水平會降低而索菲亞的消費水平會增加。2.若索菲亞的效用函數(shù)為U?(c?)=c?,此時米歇爾的效用函數(shù)為U:(q?c?)-c。和中的情況相同。第5章收入效應與替代效應5.1復習筆記1.需求函數(shù)及其性質(1)需求函數(shù)一般地，普通需求函數(shù)又稱馬歇爾需求函數(shù)，它反映了在給定的(各種商品的)價格與收入下，能使消費者實現(xiàn)效用最大化的各種商品的需求量，因而是價格與收入的(向量)函數(shù)。(2)需求函數(shù)的性質一般而言，需求函數(shù)關于價格P和收入I是零次齊次的，即有：其原因在于，當價格和收入同時發(fā)生相同比例的變化時，消費者的預算約束沒有發(fā)生實質性的變化，因而理性的消費者也不會改變其最優(yōu)消費選擇，(在理論上)消費者的需求不受“純”通貨膨脹的影響。2.收入變化對消費者最優(yōu)選擇的影響(1)收入變化與正常品、劣等品收入變化會引起消費者預算線的移動，從而引起消費者最優(yōu)消費選擇發(fā)生相應的變化。根據(jù)收入變化時消費變化的方向，可以將商品分為正常品和劣等品。正常品是指隨著收入的增加其需求也增加的商品，即;劣等品是指隨著收入的增加其需求減少的商品，即正常品還可分為必需品和奢侈品。必需品是需求收入彈性大于0小于1的物品，奢侈品是需求收入彈性大于1的物品，即對于必需品，有;對于奢侈品，有(2)恩格爾定律3.價格變化對消費者最優(yōu)選擇的影響(1)吉芬商品(2)價格變化所引起的替代效應與收入效應②正常品替代效應和收入效應(注：此為斯勒茨基替代效應與收入效應)如圖5-1(a)中的橫軸OX?和縱軸OX?分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1是正常物品。商品1的價格P?下降前的消費者的效用最大化的均衡點為a,P?下降后消費者的均衡點為b。價格下降所引起的商品1的需求量的增加量為一=,這便是價格下降所替代效應：作一條平行于預算線一莊且與無差異曲線U?相切的補償預算線FG。FG與U?相切，表示假設的貨幣收入的減少(預算線的位置由向左平移到FG表示)剛好能使消費者回到原有的效用水平。FG與底平行，則以這兩條預算線的相同的斜率，表示商品1價格和商品2價格的一個相同的比值P?/P?,而且，這個商品的相對價格P?/P?是商品1的價格P?變化以后的相對價格。補償預算線FG與U?相切與均衡點c,與原來的均衡點a相比，需求量的增加量為一3=,這個增加量就是在剔除了實際收入水平變化影響以后的替代效應。進一步地，就預算線AB和補償預算線FG而言，它們分別與無差異曲線U?相切于a、c兩點，但斜率卻是不相等的。預算線AB的斜率絕對值大于補償預算線FG,AB所表示的商品的相對價格P?/P?大于FG,當AB移至FG時，隨著商品的相對價格P?/P?增加對商品1的購買而減少對商品2的購買，即用商品1去替代商品2。于是，由a點到c點的商品1的需求量的增加量X{XI,,便是P?下降的替代效應。收入效應：把補償預算線FG再移到AB'的位置上去，于是，消費者的效用最大化的如圖5-1(b)中的橫軸OX?和OX?分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1是低檔商品。商品1的價格P?下降前后的消費者的效用最大化的均衡點分別為a、b點，因此，價格下降所引起的商品1的需求量的增加量為,,這是總效應。作與預算線AB'平行且與無差異曲線U?相切的補償預算線FG,將總效應分解成替代效應和收入效應。P?下降引起的商品相對價格的變化，使消費者由均衡點a運動到均衡點c,相應的需求增加量為使消費者由均衡點c運動到均衡點b,需求量由一減少到=,這就是收入效應，它是一如圖5-1(c)中的橫軸OX?和縱軸OX?分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1相應的商品1的需求量的減少量為XiXi,這就是總效為替代效應；XiX1是收入效應,它是一個負值。而且,負的收入效應XiX1的絕對值大于正的替代效應X"X1的絕對值，所以，最后形成的總效應XIX1為負值。在圖5-1(c)(3)馬歇爾需求曲線與?？怂寡a償需求曲線曲線。馬歇爾需求曲線的圖形推導如圖5-2所示。圖5-2馬歇爾需求曲線的推導之間的關系的軌跡。?？怂寡a償需求曲線的圖形推導如圖5-3所示。圖5-3希克斯需求曲線的推導③兩者之間的關系馬歇爾需求和?？怂剐枨鬂M足關系。馬歇爾需求和?？怂剐枨笄€如圖5-4所示。一般地，對于正常物品而言，馬歇爾需求函數(shù)比?？怂剐枨蠛瘮?shù)平坦，這是因為馬歇爾需求既包括替代效應，又包括收入效應；而?？怂剐枨髢H僅包括替代效應。圖5-4正常商品的馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)(4)價格變化經濟效應的數(shù)學方法——斯勒茨基方程由馬歇爾需求與希克斯補償需求之間的關系式：對商品x的價格求導可得：從而可得斯勒茨基方程為：恒為商品x價格變化的總效應；為替代效應；為收入效應。斯勒茨基方程可寫為：替代效應+收入效應(5)價格與收入彈性⑦需求價格彈性與需求收入彈性之間的關系(齊次性):4.顯示偏好原理的偏好。這是一種不基于“偏好關系(效用函數(shù))消費者選擇”的邏輯思路，而是一個相(1)顯示偏好原理設消費者在價格為一==時購買的商品束為,如果另一個商品組合(2)直接顯示偏好=是在收入既定條件下如果這一不等式成立，且一確實是不同于(x.x?)的商品束，就稱(x?,x?)直接顯示偏好于。如圖5-5所示。圖5-5直接顯示偏好(3)間接顯示性偏好如果(x?:x?)直接顯示偏好于直接顯示偏好于一，則稱(xY:x?間接顯示偏好于一陽，記作：圖5-6間接顯示偏好(4)顯示偏好弱公理(WARP)與顯示偏好強公理(SARP)①WARP的含義如果(x?:x?)是(v?:v?)的直接顯示偏好，且(x?.x?)和(v?.v?)不同，那么(v?.就不可能是(x?:x?)的直接顯示偏好。換言之，假定一個商品束(x?,x?)是按價格(Pi,P?)購買的，另一個商品束(v?.v?)是按價格一==購買的，那么,只要：就不可能再有：②顯示偏好強公理(SARP)如果(x?:x?)被直接或間接顯示偏好于(v?v?),