第9章有限字長(zhǎng)效應(yīng)§9-2有限字長(zhǎng)運(yùn)算的誤差效應(yīng)§9-1量化與量化誤差目錄§9-4IIR濾波器的極限環(huán)震蕩§9-3系數(shù)量化對(duì)濾波器的影響本章目錄數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，通常存在如下三種有限字長(zhǎng)因素而產(chǎn)生的誤差源：概述

（1）輸入為模擬信號(hào)時(shí)，對(duì)輸入模擬信號(hào)的量化誤差，即因A/D的精度或位數(shù)的影響而產(chǎn)生的輸入量化誤差；

（2）對(duì)濾波器系統(tǒng)各系數(shù)的量化誤差，即因計(jì)算機(jī)存貯器的有限字長(zhǎng)而產(chǎn)生的系數(shù)量化誤差；（3）計(jì)算過(guò)程中的誤差，如舍入、截尾、溢出和誤差累積等因素產(chǎn)生的運(yùn)算量化誤差。誤差產(chǎn)生的原因數(shù)字濾波器為什么產(chǎn)生誤差？為了加深理解，現(xiàn)在從一道數(shù)字濾波器的實(shí)際系統(tǒng)說(shuō)起。設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下：誤差產(chǎn)生的原因(1)A/D轉(zhuǎn)換量化誤差(3)系數(shù)量化誤差但因?yàn)橛邢拮珠L(zhǎng)，將產(chǎn)生如下幾項(xiàng)誤差設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下：(2)乘積運(yùn)算量化誤差例1有限字長(zhǎng)的存儲(chǔ)單元會(huì)產(chǎn)生哪些誤差？解：若為無(wú)限字長(zhǎng)，理論上不會(huì)產(chǎn)生任何誤差9.1量化與量化誤差9.1.1二進(jìn)制數(shù)的表示1．定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)如果在信號(hào)處理的整個(gè)運(yùn)算中，二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的位置固定不變則稱(chēng)為定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為定點(diǎn)制。定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)特點(diǎn)：定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)的范圍在（-1,1）之間；最高位為符號(hào)位，0為正，1為負(fù)；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱(chēng)為“尾數(shù)”；定點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)結(jié)果可能會(huì)超出±1,稱(chēng)為“溢出”乘法運(yùn)算不會(huì)溢出，但字長(zhǎng)要增加一倍。為保證字長(zhǎng)不變，乘法運(yùn)算后，應(yīng)對(duì)增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，將產(chǎn)生運(yùn)算誤差。定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)的表示包括原碼、反碼、補(bǔ)碼三種形式。設(shè)有一個(gè)b+1位（b位字長(zhǎng)，1位符號(hào)位）的定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)x，即x包含1位符號(hào)位，b位尾數(shù)，故二進(jìn)制數(shù)為β0β1β2┄βb，則（1）原碼表示例：1.111→-0.875,0.110→0.75（2）反碼表示反碼表示,正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)按位求反.例：正數(shù)表示：0.101，其反碼為：1.010（3）補(bǔ)碼表示例：x=-0.75

正數(shù)表示為：0.110，取反為：1.001，則補(bǔ)碼為：1.0102．浮點(diǎn)二進(jìn)制浮點(diǎn)制將數(shù)表示為尾數(shù)和指數(shù)兩部分，其表示方法如下：式中，M為x的尾數(shù)部分，2c為x的指數(shù)部分，c為階數(shù)或階碼。（1）浮點(diǎn)制運(yùn)算規(guī)律

加法運(yùn)算：對(duì)階、相加、歸一化,并對(duì)尾數(shù)進(jìn)行截尾或者舍入處理。

乘法運(yùn)算:尾數(shù)相乘,階碼相加,再作截尾或舍入處理。（2）浮點(diǎn)制的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):動(dòng)態(tài)范圍大,一般不會(huì)產(chǎn)生溢出。缺點(diǎn):加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都要對(duì)尾數(shù)進(jìn)行量化處理。9.1.2定點(diǎn)制的量化誤差定點(diǎn)二進(jìn)制的乘法運(yùn)算，運(yùn)算完成后會(huì)使字長(zhǎng)增加，例如原來(lái)是b位字長(zhǎng)，運(yùn)算后增長(zhǎng)到b1位（b1>b），需對(duì)尾數(shù)進(jìn)行處理，使b1位字長(zhǎng)降低到b位。由于存儲(chǔ)器和寄存器都是b位字長(zhǎng)，可以表示的最小數(shù)為2b，稱(chēng)為量化步長(zhǎng)或量化階，通常用q表示，即q=2b量化處理方式包括截尾和舍入兩種方式。

截尾：保留前b位，直接舍棄因乘法運(yùn)算產(chǎn)生的多余位數(shù)的尾數(shù)；

舍入：按最接近的值取b位碼。1．截尾處理：（1）正數(shù)用QT[x]表示對(duì)x進(jìn)行截尾處理，則有截尾誤差為正數(shù)的截尾誤差為（2）負(fù)數(shù)由于負(fù)數(shù)的三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。

原碼（β0=1）：

補(bǔ)碼（β0=1）：反碼（β0=1）補(bǔ)碼的截尾誤差均為負(fù)值，原碼和反碼的截尾誤差取決于數(shù)的正負(fù)，正數(shù)時(shí)為負(fù)，負(fù)數(shù)時(shí)為正。根據(jù)對(duì)原碼、反碼和補(bǔ)碼的誤差分析，其截尾量化誤差特性如圖所示。2.舍入處理通過(guò)對(duì)數(shù)的b+1位進(jìn)行加1運(yùn)算后作截尾處理實(shí)現(xiàn)舍入處理，即數(shù)學(xué)中常用的四舍五入法，按最接近的數(shù)進(jìn)行量化處理，所以不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是原碼、補(bǔ)碼、反碼，誤差總是正負(fù)q/2之間，以QR[x]表示對(duì)x作舍入處理，其舍入處理的誤差特性如下圖所示。由上述分析可知，無(wú)論采用原碼、反碼還是補(bǔ)碼表示，舍入處理的量化特性均相同，其誤差比截尾處理的誤差小，所以對(duì)信號(hào)進(jìn)行量化時(shí)通常采用舍入處理。9.1.3A/D量化效應(yīng)對(duì)一個(gè)采樣數(shù)據(jù)x(n)作截尾和舍入處理，則截尾量化誤差：舍入量化誤差為：A/D量化誤差的統(tǒng)計(jì)模型如下圖所示。

上兩式給出了量化誤差的范圍，欲精確確定量化誤差的具體數(shù)值存在一定的困難，但可以通過(guò)分析量化噪聲的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)描述量化誤差。其中e(n)為量化誤差，根據(jù)e(n)的統(tǒng)計(jì)特性，作如下假定：

①e(n)是平穩(wěn)隨機(jī)序列；

②e(n)與信號(hào)x(n)不相關(guān)；

③e(n)任意兩個(gè)值均不相關(guān)，即白噪聲；

④e(n)具有均勻等概率分布。由上述假設(shè)可知量化誤差e(n)表現(xiàn)為一個(gè)與信號(hào)x(n)完全不相關(guān)的白噪聲序列，稱(chēng)為量化噪聲。量化誤差e(n)具有加性白噪聲特性，其概率分布如圖所示。（1）截尾量化噪聲（2）舍入量化噪聲同理，根據(jù)誤差e(n)的等概率分布模型，可得定義量化信噪比：用對(duì)數(shù)表示：由上式可知，字長(zhǎng)b每增加1位，量化信噪比增加6.02dB；信號(hào)能量越大，量化信噪比越高。【例】已知輸入信號(hào)A/D量化誤差服從-1至1之間的均勻分布，分別求8、12位A/D轉(zhuǎn)換器的SNR。解：由于量化誤差服從均勻分布，因此可得：當(dāng)b=8位時(shí)當(dāng)b=12位時(shí)例29.1.4量化噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)單獨(dú)分析量化噪聲通過(guò)系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)可視為近似理想的線性移不變系統(tǒng)（LSI系統(tǒng)），即暫不考慮系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的誤差以及運(yùn)算誤差，因此，量化誤差通過(guò)線性系統(tǒng)的原理可表示為如圖所示。輸出噪聲為則輸出噪聲的方差為：由Parseval定理，可得由留數(shù)定理可得：若e(n)為補(bǔ)碼截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量9.2有限字長(zhǎng)運(yùn)算的誤差效應(yīng)數(shù)字濾波器包含大量的相乘與求和兩種運(yùn)算。定點(diǎn)制運(yùn)算中，每一次乘法運(yùn)算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此，可以將舍入誤差作為獨(dú)立噪聲e(n)迭加在信號(hào)上，因此，基于定點(diǎn)制乘法運(yùn)算的理想乘法運(yùn)算如圖（a）所示，實(shí)際乘法運(yùn)算可用如圖（b）所示的模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。根據(jù)舍入噪聲e(n)的特性，對(duì)e(n)作如下假設(shè)：1.e(n)

為平穩(wěn)隨機(jī)噪聲序列；2.e(n)

與輸入序列x(n)不相關(guān)，各噪聲之間也互不相關(guān)。3.e(n)

為白色噪聲；4.在量化間隔上均勻分布,即每個(gè)噪聲都是均勻等概率分布.

根據(jù)這些條件，分析運(yùn)算舍入誤差就可按線性系統(tǒng)進(jìn)行處理，每一個(gè)噪聲可用線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有噪聲經(jīng)線性迭加得到總的噪聲輸出。9.2.1IIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)以一階IIR濾波器為例，可用差分方程表示：該差分方程的乘積運(yùn)算將引入一個(gè)舍入噪聲，如下圖所示：系統(tǒng)函數(shù)為由e(n)造成的輸出誤差為

輸出噪聲的方差為這說(shuō)明，字長(zhǎng)越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階IIR數(shù)字濾波器的輸出噪聲。

IIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)與濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)：（1）直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的所有舍入誤差都經(jīng)過(guò)全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過(guò)程中形成誤差積累，故輸出誤差很大。（2）級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每個(gè)舍入誤差只通過(guò)該誤差源后面的反饋環(huán)節(jié)，而不通過(guò)它前面的反饋環(huán)節(jié)，因而累積誤差小，故誤差小于直接型。（3）并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過(guò)自身子網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)無(wú)關(guān)，誤差的積累作用最小，因而誤差最小。該結(jié)論對(duì)IIR數(shù)字濾波器具有普遍意義。因此，從有限字長(zhǎng)效應(yīng)看，直接型（包括直接Ⅰ和Ⅱ型）結(jié)構(gòu)引起的誤差最大，階數(shù)越高，運(yùn)算誤差越大，一般盡量少采用，高階系統(tǒng)不宜采用；級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的誤差比直接型小，但比并聯(lián)型誤差大；并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運(yùn)算誤差最小。9.2.2FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。IIR的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無(wú)反饋環(huán)節(jié)，不會(huì)造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比同階IIR濾波器小，不會(huì)產(chǎn)生非線性振蕩。1.舍入噪聲N-1階FIR的直接型為：有限精度運(yùn)算時(shí)輸出噪聲為：因此，F(xiàn)IR卷積型結(jié)構(gòu)的舍入誤差可表示為如圖所示形式因此，可得輸出噪聲方差與字長(zhǎng)有關(guān)，也與點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，N越大，運(yùn)算誤差越大，或者在運(yùn)算精度相同的情況下，N越大的濾波器需要的字長(zhǎng)越長(zhǎng)。2.動(dòng)態(tài)范圍：對(duì)于定點(diǎn)運(yùn)算，由于動(dòng)態(tài)范圍的限制，可能導(dǎo)致FIR濾波器的輸出發(fā)生溢出，利用比例因子（標(biāo)度因子），壓縮信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍，可避免產(chǎn)生溢出。定點(diǎn)數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件：FIR輸出：而對(duì)于正弦型類(lèi)的窄帶信號(hào)，輸入信號(hào)的標(biāo)度因子以濾波器的頻率響應(yīng)的峰值來(lái)表示，由此確定標(biāo)度因子A的值，即為了避免FIR濾波器產(chǎn)生溢出，對(duì)x(n)引入標(biāo)度因子A，使9.3系數(shù)量化對(duì)濾波器的影響在有限精度條件下，系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)也是通過(guò)有限位二進(jìn)制數(shù)表示，系數(shù)的量化表示也將引起一定的誤差。由于濾波器的所有系數(shù)必須以有限長(zhǎng)度的二進(jìn)制形式存放在存儲(chǔ)器中，因此，必然對(duì)系數(shù)的理論值進(jìn)行量化處理，使得實(shí)際系數(shù)值與理論系數(shù)值存在一定的誤差，從而使系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位置產(chǎn)生一定的偏離，可能影響到濾波器的性能。1.極點(diǎn)位置靈敏度指每個(gè)極點(diǎn)位置對(duì)各系數(shù)偏差的敏感程度。極點(diǎn)位置的變化可以直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而極點(diǎn)位置靈敏度可以反映系數(shù)量化對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響。設(shè)系數(shù)量化后的系統(tǒng)函數(shù)為：系數(shù)量化后，極點(diǎn)變?yōu)閦i+Δzi，極點(diǎn)位置偏差Δzi是由于系數(shù)ai的誤差Δai所引起的。（1）Δai對(duì)Δzi的影響（2）極點(diǎn)靈敏度與A(z)的關(guān)系對(duì)系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式進(jìn)行偏微分運(yùn)算可得：經(jīng)推到可得：（1）若這些矢量(zi-zk)的模越大，即極點(diǎn)彼此間的距離越遠(yuǎn)，則極點(diǎn)位置靈敏度越低；（2）若這些矢量的模(zi-zk)越小，極點(diǎn)位置靈敏度就越高；上式中分母(zi-zk)的每個(gè)因子是一個(gè)由極點(diǎn)zk指向當(dāng)前極點(diǎn)zi的矢量，乘積是所有極點(diǎn)指向極點(diǎn)zk的矢量積，根據(jù)該式可得如下結(jié)論：（3）即極點(diǎn)位置靈敏度與極點(diǎn)間距離成反比。（4）該式僅適應(yīng)于單極點(diǎn)系統(tǒng)，對(duì)于重極點(diǎn)系統(tǒng)，依據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可進(jìn)行類(lèi)似的推導(dǎo)。2.影響極點(diǎn)位置靈敏度的幾個(gè)因素：（1）與零極點(diǎn)的分布狀態(tài)有關(guān)，極點(diǎn)位置靈敏度大小與極點(diǎn)間距離成反比；（2）與濾波器結(jié)構(gòu)有關(guān)，直接型極點(diǎn)位置靈敏度高，系統(tǒng)階數(shù)越大，靈敏度越高；并聯(lián)或級(jí)聯(lián)型，系數(shù)量化誤差對(duì)極點(diǎn)位置的影響?。唬?）高階濾波器避免用直接型，盡量分解為低階網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)或并聯(lián)，以降低極點(diǎn)對(duì)系數(shù)量化誤差的位置靈敏度。9.4IIR濾波器的極限環(huán)震蕩特殊情況下，在IIR濾波器的定點(diǎn)運(yùn)算中，可能產(chǎn)生如下兩種情況的極限環(huán)（limitcycle）振蕩現(xiàn)象。（1）零輸入極限環(huán)振蕩零輸入極限環(huán)振蕩是指對(duì)于穩(wěn)定的IIR數(shù)字濾波器，當(dāng)輸入停止以后，若系統(tǒng)的輸出并沒(méi)有逐漸衰減到0，而是一直維持等幅振蕩或者等幅輸出?！纠繕O限環(huán)現(xiàn)象示例。一階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)如下設(shè)輸入信號(hào)x(n)及邊界條件如下：試求若采用定點(diǎn)制算法，且b=4（不計(jì)符號(hào)位）時(shí)該系統(tǒng)的輸出y(n)。解：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)可知，該濾波器系統(tǒng)的極點(diǎn)為z=0.5，系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。若用無(wú)限精度表示，則系統(tǒng)的輸出為例3隨著n的增加，輸出逐漸衰減至0。若b=4，需要對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行舍入處理，由于a=0.5，若用4位二進(jìn)制表示，則為a=0.1000根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)可得系統(tǒng)的差分方程為：由于系統(tǒng)的輸入為：由此可得即雖然n>0時(shí)刻以后未給系統(tǒng)施加激勵(lì)，但由于誤差效應(yīng)，系統(tǒng)的輸出并沒(méi)有衰減到0，當(dāng)時(shí)n≥4，系統(tǒng)輸出一直穩(wěn)定為1/16，產(chǎn)生了極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。