河東區(qū)2024-2025學年度第一學期期中質量檢測

局一數(shù)學

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，請將正確結論的代號填在下表內.

1,已知集合/=3tK2},8={小〉0},則WB（）

A.{x|x<2}B,

C.{x\x>1}D.{x|x〉0}

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的運算進行求解即可.

【詳解】由集合N={x|—l<x<2},5={x|x>0},

則N={x|-l<xV2}u{x|x〉0}={x|x2-1）,

故選：B.

2.若夕：Hx〉I,/-3x+2〉0,則夕的否定為（）

A.3x>l,x2-3x+2<0B.3x<l,x2-3x+2<0

C.Vx<l,x2-3x+2<0D.Vx>l,x2-3x+2<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定求解即可.

【詳解】命題P：it〉：1,/—3x+2〉0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題,

所以命題?的否定為Vx〉l,x2-3x+2<0.

故選：D.

3.下列關系中，正確的有（）.

①%R；②國Q；③卜3|eN；?|-V5|eQ.

A1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關系結合常用數(shù)集逐項分析判斷.

【詳解】對于①：因為R為實數(shù)集，所以且eR，正確；

3

對于②④：因為Q為有理數(shù)集，所以后gQ,卜后卜布色。，②正確，④錯誤;

對于③：因為N為自然數(shù)集，卜3|=3eN,正確；

所以正確的有3個.

故選：C.

4.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利

奧特首次使用和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若

a>6>0,則下列結論正確的是（）

11,,,

A.—>—B.a+m<b+mC.出>b，D-3C<be

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質逐一判斷即可.

【詳解】由。>6>0=>。6>0=>幺所以選項A不正確；

ababba

由Q>b=a+加>b+加，所以選項B不正確；

由a〉b〉0nG〉VFna5〉A所以選項C正確；

當。=0時，顯然3C<不成立，所以選項D不正確，

故選：C

5.函數(shù)/（x）=3——別的部分圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】分析函數(shù)/(x)的奇偶性，單調性，/(0)的正負，結合排除法可得出合適的選項.

【詳解】因為/(x)的定義域為R,又/(—x)=3(—eE=3/_/=/(x),所以/(x)是偶函

數(shù)，

因為/(。)=一1<0,排除BC選項，

當x?0時，f(x)=3x2-=3x2-ex,所以/'(x)=6x—e”,

令g(x)=/'(x),所以g'(x)=6-e)

所以當0<x<ln6時，g'(x)〉O,當x>ln6時，g'(x)<0,

所以g(x)在(O』n6)上單調遞增，在(In6,+⑹上單調遞減，

即/'⑴在(O,ln6)上單調遞增，在(ln6,+s)上單調遞減，

又以0)=—1,/,(ln6)=61n6-6>0,/(4)=24-e4<0,

，

所以存在占e(O,ln6),x2e(ta6,4)1使得/'(玉)=0,/(x2)=0,

所以當xe(O,xJ時，/,(x)<0,當》€(wěn)(石,X2)時，

當》€(wěn)(》2，+°°)時，/'(x)<0,

所以/(x)在(O,xJ上單調遞減，在(國,/)上單調遞增，在(9，+⑹上單調遞減，故A符合.

故選：A.

6.已知函數(shù)歹=/(x)的定義域為R.則“/(0)=0"是"/(x)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】因函數(shù)的定義域是R,若/(x)為奇函數(shù)，則f(—x)=—f(x),

令x=0,可得/(0)=0,故"/(0)=0"<="/(x)為奇函數(shù)”，

但/(0)=0,函數(shù)/(x)不一定是奇函數(shù)，比如

故"/(0)=O"R"/(x)為奇函數(shù)”，

因此“/(0)=0"是“/(X)為奇函數(shù)”的必要不充分條件，

故選：B.

7.已知不等式分2+加+2>0的解集為{x|T<x<2},則不等式21+fox+a<0的解集為()

或

A.{x|-l<x<1}B.{x|x<-1x>g}C.{x|-2<x<l)D.{x|x<-2或久>1}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式分2+加+2>0的解集求出。，6,代入不等式2必+樂+。<0中，化簡求出不等式

的解集.

【詳解】解：因為不等式分2+加+2>0的解集為{x|T<x<2},

72

ax?+bx+2=0的兩根為一1,2,且。<0,即—1+2=—，(—1)x2=—,解得〃=—1,6=1,

aa

則不等式可化為2/+x-i<o,解得則不等式2必+法+。<0的解集為

2

[T<x</

故選：A.

8.已知J=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對％,丫氏(占5),都有(七一％)(/(西)一/12))<0.若

/(1)=-1,則滿足—1W/(X-2)W1的x的取值范圍是()

A[1,3]B.[-1,1]C.[0,4]D.[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】先利用奇函數(shù)得到/(-1)=1,再從題意可得到歹=/(x)是R上的減函數(shù)，即可求出答案

【詳解】因為/(1)=-1,y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(一1)=1,

因為VX1,%eR,(MNX2),都有(X1-工2)(/(否)一/卜2))<0，

所以y=/(x)是R上的減函數(shù)，

因為/⑴=T4/(x-2)Wl=/(-l),

所以——241,解得1WXW3,故x的取值范圍是[1,3],

故選：A

二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分.請將答案填在題中橫線上.

9.函數(shù)/(x)=+4的定義域為.

X

【答案】(一8,0)U(0,2]

【解析】

【分析】根據(jù)題意列關于x的不等式組即可求解.

【詳解】由題要使得/(X)有意義，貝“XW0，

故x42且xw0,

從而/(X)的定義域為(一叫0)U(0,2],

故答案為：(-?,0)U(0,2].

11,

10.已知正實數(shù)X,V滿足一+—=1,則x+4v最小值為

xy

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式的性質直接求解即可.

11,

【詳解】?.?正數(shù)x,V滿足：一+—=1,

XJ

...X+4J=(X+4-[-+—=5+—+—>5+2!—-—=9,

7y)xyNxy

4yx3

當且僅當上=—,即x=2y,x=3,>=—時"=”成立，

xy2

故答案為：9.

11.已知哥函數(shù)/(x)=(機-2)/',則加=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義求出參數(shù)功的值.

【詳解】由/(x)=(機—2)x及為幕函數(shù)，

則m-2=1,解得m=3,則/(x)=1,

故答案為：3.

2x2+3,x>0

12.已知函數(shù)/(x)=<0,x=0,則/(/(—1))=.

3,x<0

【答案】21

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求/(-1)=3,再求/(/(-1)),即可求解.

【詳解】由/(—1)=3,則/(/(-1))=/(3)=2X32+3=21,

故答案為：21.

13.調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約0.34元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個

家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放1kg積分1分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于100kg,

則額外獎勵無分(尤為正整數(shù)).月底積分會按照0.1元/分進行自動兌換.

①當x=10時，若某家庭某月產生120kg生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換元；

②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的40%,則尤的最大

值為.

【答案】0.13②.36

【解析】

【分析】①計算出該家庭月底的積分，再拿積分乘以0.1可得出該家庭該月積分卡能兌換的金額；

②設每個家庭每月產生的垃圾為fkg,每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為/(7)元，分04/<100、

72100兩種情況討論，計算/(/)的表達式，結合/?)<0.34/x0.4可求得尤的最大值.

【詳解】①若某家庭某月產生120kg生活垃圾，則該家庭月底的積分為120+10=130分,

故該家庭該月積分卡能兌換130義0.1=13元；

②設每個家庭每月產生的垃圾為/kg,每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為/?)元.

若0</<100時，f(f)=0.1t<0.34/x0.4=0.136,恒成立；

若,2100時，f(^)=O.k+O.lx<0.34^x0.4,<(0.36Z)mjn=36.

故龍的最大值為36.

故答案為：①13；②36.

14.關于x的不等式辦2+辦—2<0在R上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(—8,0]

【解析】

【分析】分a=0和討論，a20時根據(jù)二次函數(shù)開口向下，且與x軸無交點列出不等式即可

【詳解】1°若a=0,得-2<0,符合題意

a<0

2°若<7/0,由題知〈人2O八,解得一8<。<0

△=tr+8a<0

綜上實數(shù)a的取值范圍是(-8,0]

故答案為：(-8,0]

三、解答題：本大題共5小題，滿分44分.解答應寫出文字說明，演算步驟或推理過程.

￡_________j_

6⑴計算2,(6—2『—+3)°；

(2)已知0<x<l,求y=x(3—3x)的最大值.

53

【答案】(1)--；(2)—.

24

【解析】

【分析】(1)利用指數(shù)幕的運算進行化簡求解;

(2)利用基本不等式進行求解.

【詳解】(1)

U-252%卜82+1

1

=——4+273-122+1

2

=--4+2V3-2V3+l=--.

22

(2)由0<x<l,則l—x>0,

則y=x(3—3x)=3x(1一x)(3="

當且僅當x=l-x,即、=工時，等號成立，

2

1a

所以當％=5時，V=%(3—3x)的最大值為“

16.設全集U=R,集合力={#2+5%>0卜集合5={%卜一時<4卜其中功eR.

(1)當加=2時，求4c8,應“2臺；

(2)若8=4,求加的取值范圍.

【答案】(1)4cB={司0<%<6),={x卜5Vx<6}

(2){加帆V-9或加24}

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求出集合A,解絕對值不等式求出集合5,再根據(jù)集合的運算法則計算可

得；

(2)由8=4,可得加+4W—5或加—420,解得即可.

【小問1詳解】

由12+5%>0，即(x+5)x>0,解得x〉0或x<—5,

所以/={%,<一5或x>0},則eZ={H-5<x<。},

由上一加|<4,即一4<%—加<4,解得加一4<、<加+4,

所以5={x|加一4<%<加+4

當加=2時，B=^x\-2<x<6j],

所以Z={x[0<x<6},(Q/N)=3-5<x<6}.

【小問2詳解】

因為5={x]掰一4<x<m+4}且

所以加+4<—5或加一420,

解得加W-9或加24,

即功的取值范圍為{機|切<一9或m24}.

17.已知a,6都是正實數(shù)，

(1)試比較/+人3與仍2+/6的大小，并證明；

(2)當a+Z)=l時，求證：111+()29.

【答案】(1)a3+b3>ab-+a2b，證明見詳解

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)利用做差法可得答案；

(2)利用基本不等式可得答案.

【小問1詳解】

結論：ai+bi>ab2+a2b，當且僅當。=6時，等號成立.

證明：(a3+b3^-^ab2+a2b^=(a3-ab2^+(b3-a2b^

=a(a1-b2^+b^b2-a2^=^a+b^[a-b^,

因為a,6都是正數(shù)，所以(a+b)(a—bp20,當且僅當。=b時，等號成立,

即當且僅當。=/,時，等號成立;

【小問2詳解】

因為a,b,c都是正數(shù)，且a+Z?=l,

當且僅當a=b=，時，等號成立.

2

18.已知函數(shù)/(切=^^是定義在(-M)上的函數(shù).

(1)判斷并證明函數(shù)/(X)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調性，并用定義法證明；

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析

(2)/(%)在(一1,1)上為單調遞增函數(shù)，證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義判斷和證明即可；

(2)根據(jù)單調性的定義判斷和證明即可.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

證明如下：函數(shù)/(x)的定義域為

/(-x)=^-=-/(x).

JT+1

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

【小問2詳解】

/(%)在(-1,1)上為單調遞增函數(shù)

證明如下：

設一1V'l<%2<1，

則/&)—/(/)=9

X]+1%+1(再+1)(工2+1)

因為一1Vxi，

所以-+1)(^2+1)>0，

則/㈤夕馬).

故/(%)在(-1」)上為單調遞增函數(shù).

19.已知函數(shù)/(%)=4"+