第3章導數(shù)的應用第3章導數(shù)的應用

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-2函數(shù)的單調性及其極值3-3函數(shù)的最大值和最小值3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形的描繪

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用3-6曲率3-7數(shù)學建模與數(shù)學實驗Lingo軟件的簡介

2024.2.2823-1拉格朗日中值定理

洛必達法則

一、拉格朗日中值定理二、洛必達法則三、小結3-1微分中值定理

定理3.1.1

則在區(qū)間內至少有一點，

使得

如果函數(shù)滿足條件：

(1)在上連續(xù)；

(2)在內可導；一、拉格朗日中值定理3-1拉格朗日中值定理洛必達法則.或3-1拉格朗日中值定理洛必達法則拉格朗日中值定理的幾何意義:

如果連續(xù)曲線除端點外處處都有不垂直于軸的切線，那么該曲線上至少有這樣一點存在，在該點處曲線的切線平行于連接兩端點的弦（如圖3-1）.或3-1拉格朗日中值定理洛必達法則則曲線上至少存在一點的切線與軸平行，這是羅爾中值定理.（2）拉格朗日中值定理給出了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在區(qū)間內某點處的導數(shù)之間的關系.3-1拉格朗日中值定理洛必達法則推論1

如果函數(shù)在區(qū)間內任一點的導數(shù)都等于零，則在內是一個常數(shù).推論2

如果函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間

內的導數(shù)處處相等，即，則與在區(qū)間內只相差一個常數(shù).即．

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則若與滿足：定理3.1.2洛必達法則Ⅰ

(2)與在點的某個鄰域內(點可除外)可導，且；

(1)，；

(3)（或）．則（或）．3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-1拉格朗日中值定理洛必達法則若與滿足：定理3.4洛必達法則Ⅱ

(1)，；

(2)與在點的某個鄰域內(點可除外)可導，且；

(3)或.則或．3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3.其它未定式3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則三、小結3-1拉格朗日中值定理洛必達法則1.掌握拉格朗日中值定理及其應用2.掌握洛必達法則的各種未定式，特別是

未定式和

型未定式3.了解其他未定式的解法第3章導數(shù)的應用

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形的描繪

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243-2函數(shù)的單調性及其極值

一、函數(shù)的單調性二、函數(shù)的極值及其求法三、小結

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

定理3.2.1(單調性的判定定理）設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導.3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

(1)，則稱為函數(shù)的極大值，并且稱點是的極大值點.

(2)

,則稱為函數(shù)的極小值，并且稱點是的極小值點.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.

定義3.2.1函數(shù)極值的定義3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

函數(shù)的極值僅僅是在某一點的近旁而言的,它是局部性概念.在一個區(qū)間上,函數(shù)可能有幾個極大值與幾個極小值，甚至有的極小值可能大于某個極大值.

極值與水平切線的關系:

在函數(shù)取得值處（該點可導）,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

(1)若，則函數(shù)在點處取得極大值；

(2)若，則函數(shù)在點處取得極小值；

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-2函數(shù)的單調性及其極值

1.掌握函數(shù)的單調性的判定定理2.掌握函數(shù)的極值的第一判別法和第二判別法三、小結第3章導數(shù)的應用

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形的描繪

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503-3函數(shù)的最大值和最小值

一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值二、實際問題中最值的求法三、小結

3-3函數(shù)的最大值和最小值

一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值求法

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

二、實際問題中的最大值和最小值

在解決實際問題時，應注意以下結論：3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

因此有如下結論：

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

因此，實際問題求最值步驟:（1）建立目標函數(shù)，并寫出定義域;（2）求最值點（駐點和不可導點）;

（3）若目標函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為所求的最大值（或最小值）。3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

練習1：設有一塊邊長為a的正方形鐵皮，從四個角各截去大小一樣的小正方形，做一個無蓋的方匣，問截去邊長為多少的小正方形時能使做成的方匣的容積最大？3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

點擊圖片任意處播放\暫停練習2:

敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘，

兩岸相距0.5公里，敵我兩軍最初水平距離4公里。問我軍摩托車何時射擊最好？3-3函數(shù)的最大值和最小值

我軍敵軍1千米/分鐘2千米/分鐘問題：我軍何時射擊最好？4公里0.5公里3-3函數(shù)的最大值和最小值

解(1)建立敵我相距函數(shù)關系敵我相距函數(shù)得唯一駐點3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

三、小結1.注意最值概念與極值概念的區(qū)別.2.最值是整體概念而極值是局部概念.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的求解方法.4.實際問題求最值的步驟.第3章導數(shù)的應用

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形的描繪

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763-4曲線的凹凸性與拐點

函數(shù)圖形的描繪

一、曲線的凹凸性與拐點二、函數(shù)圖形的描繪三、小結

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

什么是曲線的凹與凸？

曲線除上升與下降的變化外，還有向上彎曲與向下彎曲的變化。

就是曲線的彎曲方向嘍。

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

一、曲線的凹凸性與拐點

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

三、小結1.掌握曲線凹凸性概念.2.曲線的凹凸區(qū)間的判定定理.3.曲線拐點的定義，會求曲線的拐點.4.曲線的漸近線定義.3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖象的描繪

5.函數(shù)圖形的描繪的步驟.第3章導數(shù)的應用

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形的描繪

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-6曲率3-7數(shù)學建模與數(shù)學實驗Lingo軟件的簡介

1003-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

一、邊際分析二、彈性分析三、小結

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用三、小結1.掌握邊際分析的概念.2.邊際成本、邊際收入、邊際利潤.3.了解彈性分析的概念.4.邊際和彈性在經(jīng)濟問題中的應用.3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用第3章導數(shù)的應用

3-1拉格朗日中值定理洛必達法則3-2函數(shù)的單調性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-4曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形的描繪

3-5導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

3-6曲率

3-7數(shù)學建模與數(shù)學實驗Lingo軟件的簡介

1193-6曲率

一、弧微分二、曲率三、曲率圓與曲率半徑四、小結

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

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3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6