清單12導數(shù)與函數(shù)的零點（方程的根）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．（2）三個等價關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點的橫坐標函數(shù)有零點．【清單02】函數(shù)零點的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點【考點題型一】判斷函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù).(1)求的極值點；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù)，并說明理由.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點，并說明理由．【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)判斷在上的零點個數(shù)，并說明理由.【考點題型二】證明函數(shù)零點（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，求證：在上有唯一零點.【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點．【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設(shè)，已知函數(shù)，．（1）當時，證明：當時，；（2）當時，證明：函數(shù)有唯一零點．【考點題型三】討論函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)討論方程的實根的個數(shù).【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù).(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點個數(shù).【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習）已知．(1)當時，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個數(shù)．【考點題型四】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數(shù)在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個零點，求實數(shù)的取值范圍.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)如果過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)b的取值范圍．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，當時，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【考點題型五】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根）【例5】（2024高三上·全國·專題練習）已知函數(shù).若有兩個零點.求a的取值范圍.【變式5-1】（2024高三上·全國·專題練習）已知函數(shù).若有兩個零點.求的取值范圍【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數(shù).(1)當時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習）若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【考點題型六】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習）設(shè)，若不等式在時恒成立，則k的最大值為【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）若a>0且關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【考點題型七】導數(shù)中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數(shù)在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點函數(shù)”，其中、也稱為在上的奇點.(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的雙奇點函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，；（i）當時，若為在區(qū)間上的“奇點”，證明：；（ii）求證：對任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點”.【變式7-1】（24-25高三上·上?！るA段練習）已知的子集和定義域同為的函數(shù)，．若對任意，，當時，總有，則稱是的一個“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．(1)求的所有關(guān)聯(lián)函數(shù)；(2)若是其自身的一個關(guān)聯(lián)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)對定義在R上的函數(shù)，證明：“對任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都是的一個關(guān)聯(lián)函數(shù)”．【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習）定義：記函數(shù)的導函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)求證：當時，.提升訓練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．0 C．3 D．22．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）已知函數(shù).若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關(guān)于的方程有3個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山東·開學考試）若函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·山東東營·期末）已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）若點，關(guān)于原點對稱，且均在函數(shù)的圖象上，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是.8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習）已知，若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍為.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù).(1)求的導函數(shù)的極值；(2)不等式對任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對任意，直線與曲線有且僅有一個公共點，求b的取值范圍.10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)在點處的切線方程為(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；(2)若在內(nèi)有兩個不同極值點，求實數(shù)的取值范圍．12．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）設(shè)f′x是函數(shù)的導函數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導函數(shù)，若方程f″x=0有實數(shù)解，則稱點x(1)求實數(shù)的值；(2)求的零點個數(shù).13．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.14．（22-23高二下·江西南昌·階段練習）已知.(1)求的圖象的以為切點的切線方程；(2)過點可對的圖象作出三條切線，求實數(shù)的取值范圍.15．（24-25高三上·江蘇·階段練習）已知定義：函數(shù)的導函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導函數(shù)為函數(shù)的二階導函數(shù)，如果一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導函數(shù)，則稱為I上的