2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．已知集合，，則集合可以是（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知α和β是兩個不同平面，α∩β=l，，是不同的兩條直線，且α，β，∥，那么下列命題正確的是（

）A．l與，都不相交 B．l與，都相交C．l恰與，中的一條相交 D．l至少與，中的一條相交7．設(shè)為實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知集合，若對于，，使得成立，則稱集合是“互垂點集”．給出下列四個集合：；

；；

．其中是“互垂點集”的集合為A．, B．, C．, D．,9．如圖，正方體的棱長為，為棱的中點，為底面正方形內(nèi)（含邊界）的動點，則（

）A．三棱錐的體積大小不確定B．當時，C．直線平面D．直線與平面所成角的正弦值為10．給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算，規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③.如圖2，在長方體中中，，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．C． D．二、填空題11．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前4項的和為.12．已知非零向量，滿足，則.13．在中，，，點在邊上，，，則（1）；（2）的面積為.14．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)圖象，則.15．已知矩形，，，將沿對角線進行翻折，得到三棱錐，在翻折的過程中，下列結(jié)論：①三棱錐的體積最大值為；②三棱錐的外接球體積不變；③異面直線與所成角的最大值為；④與平面所成角的余弦值最小值為.所有正確的命題的序號是.三、解答題16．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，，求邊及的面積.17．如圖，三棱柱中，，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且平面，求證：點為中點.18．圖像識別是人工智能領(lǐng)域的一個重要研究方向.某中學(xué)人工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了500張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識別結(jié)果真實性別可以識別無法識別男女男180155女202755該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨立的.(1)現(xiàn)從這500張人臉照片中隨機抽取，①若抽取一張，求識別結(jié)果正確的概率；②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）的概率；(2)為處理無法識別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個方案：方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為50%）.現(xiàn)從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數(shù)量之比為中隨機抽取一張，分別用方案一、方案二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為，，，試比較，，的大小.（假設(shè)用頻率估計概率，結(jié)論不要求證明）19．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求曲線y=fx在點1,f1(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)且，請判斷與的大小，并證明.20．如圖，在四面體中，平面，點為中點，且，，.(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在直線上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在；求的值；若不存在，請說明理由.21．設(shè)為一個（即行列）的數(shù)表.對任意，記第行第列元素為且.若存在，，使得，則稱有序數(shù)組為一個同角矩形數(shù)組.(1)直接分別寫出下列兩個數(shù)表中，同角矩形數(shù)組的個數(shù)；①：1111-11111②：1-11-1-11-111-11-1-11-11(2)若數(shù)表中沒有同角矩形數(shù)組，求的最大值；(3)若，求出中同角矩形數(shù)組個數(shù)的最小值，并證明同角矩形數(shù)組的個數(shù)達到最小值時，的每行每列都恰有3個1和3個.答案：1．B【詳解】對于A，，不符合，舍去，對于B，，符合要求，對于C,,不符合，舍去，對于D，，不符合，舍去，故選：B2．A【詳解】，對應(yīng)的點為，點位于第一象限，故選：A.3．D【詳解】因為命題，，則其否定是，.故選：D4．C【詳解】.故選：C5．B【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則在區(qū)間上遞增，而，在區(qū)間上為增函數(shù)，則有，即的取值范圍為故選：B．6．A【詳解】，則，因為，則，同理故選：7．A【詳解】，時一定有，充分性滿足，但時有，但，必要性不滿足，因此是充分不必要條件．故選：A8．D【詳解】設(shè)，為上任意一點：當時，需存在使得：，即，此時無解，可知不是“互垂點集”，可排除和選項；：當時，需存在使得：，即，無意義，可知不是“互垂點集”，可排除選項；本題正確選項：9．D【詳解】解：對于A項：因為為底面正方形內(nèi)（含邊界）的動點，所以點到平面的距離為1，所以，故A錯誤；對于B項：在矩形內(nèi)，當時，顯然與不垂直，故B錯誤；對于C項：在平面內(nèi)，與相交，所以與平交，故C錯誤；對于D項：連接，因為平面，所以是在平面內(nèi)的射影，所以為直線與平面所成角，所以在直角三角形中，，故D正確；故選：D10．B【詳解】對于A，同時與，垂直，，且，，構(gòu)成右手系，即成立，A正確；對于B，，，則，B錯誤；對于C，，與共線，且方向相同，，與共線，且方向相同，，與共線，且方向相同，則，與共線，且方向相同，因此，C正確；對于D，，，因此，D正確.故選：B11．【分析】由條件可得等差數(shù)列的公差，再由其前項和公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，即，解得，所以.故12．0【詳解】解：因為非零向量，滿足，則，所以，則.故0.13．【詳解】解：（1）因為在中，，，，所以，于是在中，由正弦定理可知，，所以；（2）.故；14．【詳解】易知，向右平移個單位長度得到函數(shù)，可得.故15．①②④【詳解】對于①，，當平面平面時，三棱錐的高最大，此時體積最大值為，故①正確；對于②，設(shè)的中點為，則由知，，所以為三棱錐外接球的球心，其半徑為，所以外接球體積為，即三棱錐的外接球體積不變，故②正確；對于③，若，由，，平面，平面，可得平面，因為平面，則，因，根據(jù)直角三角形斜邊最長，知道不成立，故③錯誤；對于④，因為是定值，則只需到面的距離最大時，與平面所成角最大，當平面平面時，到面的距離為，設(shè)與平面所成角為，此時，因為為銳角，所以，即與平面所成角的余弦值最小值為，故④正確．故①②④16．(1)(2)，【詳解】（1），由，得，解之得，是三角形的內(nèi)角，；（2）由，得，，，又,，,的面積為．17．(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：取的中點，連接，在三棱柱中，因為分別為的中點，則，且，為的中點，則，且，則且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.（2）證明：分別取的中點，連接，設(shè)，則，且，則則四點共面，因為，又平面，平面則平面，又平面，平面，則平面，又，則平面平面，又平面，則平面，又平面平面，平面平面，則，又為的中點，則為的中點.18．(1)①；②；(2).【詳解】（1）①若表示抽到男性，表示抽到女性，表示識別為男性，表示識別為女性，由題設(shè)，，所以，，又，，所以，，所以抽取一張，求識別結(jié)果正確的概率；②由，，所以，，所以抽取一張男性照片和一張女性照片，至少有一張照片無法被成功識別的概率為.（2）程序?qū)⒛猩R別正確的頻率為，識別為女生的頻率為，無法識別的頻率為，程序?qū)⑴R別正確的頻率為，識別為男生的頻率為，無法識別的頻率為，由頻率估計概率得，，，所以.19．(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為和；單調(diào)遞增區(qū)間為(3)，證明見解析【詳解】（1）當時，，則，，，∴fx在點1,f1處的切線方程為（2）由題意知：的定義域為；，令，解得：，當時，f′x<0；當時，f′∴fx的單調(diào)遞減區(qū)間為和；單調(diào)遞增區(qū)間為.（3），證明如下：令，則定義域為，，令，則，則當時，?′x<0；當x∈0,+在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，，，在，0,+∞上單調(diào)遞增，且，或，恒成立，即，.20．(1)證明見詳解(2)(3)存在，【詳解】（1）因為，則，即，又因為平面，平面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得.（2）以A為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，可得,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，所以平面和平面夾角的余弦值為.（3）設(shè)，則，設(shè)，則，得，即，可得，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，由題意，，整理可得，解得或（舍去），所以存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時.21．(1)：5；：4(2)4(3)6；證明見解析【詳解】（1）中含5個同角矩形數(shù)組，分別為；中含4個同角矩形數(shù)組，分別為.（2）①首先證明：若數(shù)表中沒有同角矩形數(shù)組，則.下面用反證法證明.證明：假設(shè)，若是一個數(shù)表，由題意，對任意，記第行第列元素為且.則根據(jù)抽屜原理可知，第一行中的5個元素中必然至少有3個元素相同.不妨設(shè)前3列3個數(shù)都為1，若數(shù)表中沒有同角矩形數(shù)組，則第2行到第5行，任何一行前3列至多1個1，否則某一行的兩個“”必與第一行中的兩個“”對應(yīng)到一個同角矩形數(shù)組.即任何一行前3列只能是這3種情況之一.故由抽屜原理，第2行到第5行這4行中必然有兩行的前3列元素相同，從而這兩行中的“”對應(yīng)到一個同角矩形數(shù)組，這與數(shù)表中沒有同角矩形數(shù)組矛盾.故假設(shè)錯誤，.由上分析，在數(shù)表中總能找到同角矩形數(shù)組，當時，自然也都總能找到同角矩形數(shù)組，故.②給出下面一個數(shù)表，不含同角矩形數(shù)組.綜上所述，若數(shù)表中沒有同角矩形數(shù)組，則的最大值為4.（3）①給出下面一個數(shù)表，在數(shù)表中滿足每行每列有3個“”和3個“”，它所含同角矩形數(shù)組的個數(shù)為6這6個同角矩形數(shù)組分別為.規(guī)律分析：觀察上面的數(shù)表，不妨取第二行入手尋找數(shù)表中數(shù)字與同角矩形之間的規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn)第二行的3個“”，分別在第列中，如果存在一個同角矩形數(shù)組，選定該數(shù)組的一邊是位于第二行的“”，則該同角矩形數(shù)組相對的另一邊中的“”必然是在第列中，而第列中共有9個“”，除去第二行的3個“”，剩下的6個“”只能分布在其他行中，由抽屜原理，必然有2個“”分在同一行中，它們與第二行的兩個“”對應(yīng)到一個同角矩形數(shù)組.將分析推廣到一般，下面分析計算任意一行對應(yīng)的同角矩形數(shù)組的個數(shù).②證明任意數(shù)表的同角矩形數(shù)組的個數(shù)不小于6.證明：在數(shù)表中，設(shè)集合為第行中“”所在列號的集合，為第行中“”所在列號的集合，則.記集合中元素的個數(shù)為，集合中元素的個數(shù)為，.設(shè)第列中有個“”，個“”，則，.對6行中任取一行，設(shè)為第行（），由以上規(guī)律分析可知，第行中“”所對應(yīng)的同