4.1.1數(shù)列的概念第4章

數(shù)列

在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們經(jīng)常需要根據(jù)問(wèn)題的意義,通過(guò)對(duì)一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來(lái)刻畫(huà)研究對(duì)象.例如：實(shí)例1

王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數(shù)：75，

87，

96，

103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．

①第一年第二年第三年.......追問(wèn)1.1

這列數(shù)中的第3、第8個(gè)數(shù)的實(shí)際意義是什么？追問(wèn)1.2

這列數(shù)中的數(shù)據(jù)能否交換位置？具有確定順序嗎？追問(wèn)1.3

能否用與順序相關(guān)的符號(hào)來(lái)表示這列數(shù)？不能交換位置！具有確定順序！

所以,

①是具有確定順序的一列數(shù).

hi中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時(shí)的確定位置.導(dǎo)入實(shí)例2

在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號(hào)K90，約產(chǎn)生于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個(gè)月中從第1天到第15天每天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)：

5，

10，

20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.②追問(wèn)2.1

哪一天的月亮可見(jiàn)部分?jǐn)?shù)為128？注：把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見(jiàn)部分可用一個(gè)代表份數(shù)的數(shù)來(lái)表示.追問(wèn)2.2

這列數(shù)中的數(shù)據(jù)能否交換位置？具有確定順序嗎？追問(wèn)2.3

能否用與順序相關(guān)的符號(hào)來(lái)表示這列數(shù)？不能交換位置！具有確定順序！記第i天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)為si，則s1＝5，s2＝10，s3＝20，…，s15＝240.所以,

②是具有確定順序的一列數(shù).

si中的i反映了月亮可見(jiàn)部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時(shí)的確定位置.導(dǎo)入實(shí)例3

將

的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù).追問(wèn)3.2

你能仿照前兩個(gè)實(shí)例的敘述，說(shuō)明③也是具有確定的順序的一列數(shù)嗎？追問(wèn)3.1

這列數(shù)是什么呢？請(qǐng)你列出來(lái).

③所以,③是具有確定順序的一列數(shù).

ai中的i反映了

的次冪從小到大的順序排列時(shí)的確定位置.導(dǎo)入①

75，

87，

96，

103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．

②

5，

10，

20，

40，

80，

96，

112，128，144，160，176，192，208，224，240.

③問(wèn)題1

上面三個(gè)例子的共同特征是什么？一列數(shù)順序探究新知1、數(shù)列的定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

首項(xiàng)第2項(xiàng)第n項(xiàng)簡(jiǎn)記為{an}思考1：

1，3，5，7和7，5，3，1這兩個(gè)數(shù)列是不是同一個(gè)數(shù)列？思考2：1，1，1，1是一個(gè)數(shù)列嗎？是不是注:右下角標(biāo)表示這一項(xiàng)在數(shù)列中的位置序號(hào)探究新知1、數(shù)列的定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

首項(xiàng)第2項(xiàng)第n項(xiàng)簡(jiǎn)記為{an}思考3：

與

表示的意義是否相同？探究新知序號(hào)123…n…↓↓↓↓項(xiàng)a1a2a3…an…2、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù),其自變量是序號(hào)n,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an,記為an=f(n).以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)探究新知問(wèn)題2：數(shù)列有哪些表示方法？本質(zhì)：函數(shù)列表法圖像法解析法75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.探究新知問(wèn)題3：函數(shù)的表示方法有哪些？數(shù)列的表示方法是否也一樣？75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.列表法解析法圖像法數(shù)列的表示法數(shù)列的通項(xiàng)公式探究新知

探究新知思考4：對(duì)于不同的數(shù)列，他們的項(xiàng)數(shù)有何特點(diǎn)？75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.

，

，

，......①

②

③有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列探究新知（1）、按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類（2）、按項(xiàng)的變化趨勢(shì)(數(shù)列的單調(diào)性)分類有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)常

數(shù)

列：各項(xiàng)都相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列如：2，4，6，8，10，…如：2，3，2，5，2，7，…

如：1，1，1，1，…對(duì)任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0)對(duì)任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0)4、數(shù)列的分類探究新知例題鞏固例題鞏固1.寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并作出它們的圖象:(1)所有正整數(shù)的倒數(shù)按從大到小的順序排列成的數(shù)列;

(2)當(dāng)自變量x依次取1,2,3,???時(shí)，函數(shù)f(x)=2x+1的值構(gòu)成的數(shù)列;練習(xí)（1）、20，21，22，23，24，25，……，263（2）、1，3，6，10，···（3）、1，4，9，16，···無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列有窮數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列無(wú)窮數(shù)列遞增數(shù)列例題鞏固例2、將下列數(shù)列分類例3、根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)或前5項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.常用(-1)n或(-1)n+1來(lái)表示各項(xiàng)正負(fù)相間的變化規(guī)律一些數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的.不是每一個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.如：1，24，8，3，19例題鞏固5、常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式：數(shù)列通項(xiàng)公式1，2，3，4，…1，3，5，7，…2，4，6，8，…1，4，9，16，…1，2，4，8，…-1,1,-1,1,…9,99,999,9999,…1，，，，…總結(jié)

練習(xí)例4、如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+2n

,那么120是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解令解這個(gè)關(guān)于n的方程，得所以，120是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第10項(xiàng)．（舍去），或例題鞏固3、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；(2)－49是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？練習(xí)例5、圖中的謝爾賓斯基三角形中，著色的三角形個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.著色三角形個(gè)數(shù)13927×3×3×3(n≥2)數(shù)列的遞推公式：例題鞏固

4、寫出各組圖的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，在括號(hào)中填第5項(xiàng)的點(diǎn)數(shù).

P8-1.211335練習(xí)例6、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋tn，若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則t的取值范圍是____________．(－3，＋∞)解析：方法一由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．而n∈N＋，所以t>－3，故t的取值范圍是(－3，＋∞)．例題鞏固

例題鞏固解

法一函數(shù)單調(diào)性法當(dāng)n<8時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an，即{an}在n<8時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)n＝8時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，得a8＝a9；當(dāng)n>8時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1<an，得{an}在n>8時(shí)單調(diào)遞減.例題鞏固例7、法二不等式組法解得8≤n≤9.又因?yàn)閚∈N*，所以n＝8或9.例題鞏固6、求數(shù)列{an}的最大(小)項(xiàng)的方法(1)利用判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，先判斷數(shù)列的單