專題35中考命題核心元素相似三角形的基本模型的應(yīng)用（原卷版）

模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練

模型一A字型

基本圖形：

DE∥BCDE與BC不平行

典例1（2023春?阜城縣月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，

另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1．

（1）△ADE的周長為；（2）直尺寬BD的長為．

針對訓(xùn)練

1．（2021?博山區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝5，∠C＝90°，點(diǎn)G是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

G作GF垂直于AC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是BC上的點(diǎn)，若△GFP是以GF為斜邊的等腰直角三角形，則此時(shí)

PC長為（）

A．B．2C．D．

1593

2．（202121秋?汝城縣期末）如圖，AB＝16cm，AC＝1120cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別以4每秒2cm和1cm的速度同時(shí)開

始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC邊一直移到點(diǎn)C為止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊一直移到點(diǎn)A為

止（點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后，點(diǎn)Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng)），當(dāng)t＝時(shí)，△APQ與△ABC相似．

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模型二8字型

基本圖形：

AB∥CDAB，CD不平行，∠A＝∠C或∠B＝∠D

典例2（2022?北京）如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，則AE的長為．

??1

=

??4

針對訓(xùn)練

1．（2021秋?鄲城縣期中）如圖，在ABCD中，E是BA延長線上一點(diǎn)，CE分別與AD，BD交于點(diǎn)G，F(xiàn)．則

下列結(jié)論：?

①；②；③；④CF2＝GF?EF．

????????????

===

其中??正確的??是（??）??????

A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②

2．（2020秋?吉水縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求證：△BDE∽△EFC；

（2）設(shè)．

??1

=

①若BC?＝?20，2求線段BE的長；

②若△EFC的面積是36，求△ABC的面積．

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模型三母子型

基本圖形：

典例3（2023?紅花崗區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，

則△ADC與△ABC的面積比是（）

A．1：B．1：2C．1：3D．1：4

針對訓(xùn)練2

1．（2022?蘇州模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、邊AB上，且∠ADE＝∠B，求

證：△ADC∽△DEB．

2．（2022?德城區(qū)模擬）【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB．

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF

＝5，BE＝3，求AD的長．

【拓展提高】

（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，∠BAD＝2

∠EDF，AE＝1，DF＝4，求菱形ABCD的邊長（直接寫出答案）．

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模型四一線三等角型

基本圖形：

典例4（2022秋?武侯區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好

落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為．

針對訓(xùn)練

1．（2021?信陽模擬）如圖，AB是O的直徑，直線DE與O相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作AD⊥DE，

BE⊥DE，垂足為點(diǎn)D，E，連接⊙AC，BC．若AD＝1，C⊙E，則OA的長為（）

=3

A．1B．C．2D．

2．（2020秋?江都區(qū)期末）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是BC邊2上3的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、

C重合），連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q．

（1）求證：AB?CQ＝PB?PC；

（2）當(dāng)CQ最大時(shí)，求BP的長．

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模型五旋轉(zhuǎn)型

基本圖形：

典例5（2022?玉林）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點(diǎn)E是DC邊上的任一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)D，

C），過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DE＝a．

（1）求BF的長（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）連接EF交AB于點(diǎn)G，連接GC，當(dāng)GC∥AE時(shí)，求證：四邊形AGCE是菱形．

針對訓(xùn)練

1．（2020秋?丹陽市期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點(diǎn)H、I，CH＝IH．則線段HI的長

度為（）

A．3B．2C．5D．

5

22

2．（2020?長豐縣一模）如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊A2C、AB上，AG⊥BC

于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF＝∠GAC．

（1）求證：△ADE∽△ABC；

（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．

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模塊二2023中考押題預(yù)測

一．選擇題

1．（2019秋?瑤海區(qū)期末）如圖，在ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于點(diǎn)E，則△DEF

的面積與△BAF的面積之比為（?）

A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9

2．（2016?東勝區(qū)校級三模）如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠

BAD＝45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則點(diǎn)D到線段AB3的距離等于（結(jié)果保留根號(hào)）（）

A．B．C．1D．

23

3

3．（20221?仙桃校級模擬）如圖2，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC邊中線，點(diǎn)D，E分別

在邊AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于點(diǎn)F，以下結(jié)論：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；

③AC＝2DF；④EF?AB＝CF?BC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

二．填空題

4．如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，要使△ADC∽△ABC，應(yīng)添加的條件可以

是．

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5．（2018秋?惠山區(qū)校級月考）在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5cm的速度向B運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為t秒．若∠AFD＝∠AED，則t的值．

6．（2022?西寧二模）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣10，8），點(diǎn)D在AC

上，將△BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則D點(diǎn)坐標(biāo)是．

三．解答題

7．（2020秋?安徽月考）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，

連接FA并延長交邊CB的延長線于點(diǎn)H．

（1）求證：△HCA∽△HFC；

（2）求的值；

??

（3）若?H?C＝6，HB＝2，求正方形AEFG的邊長．

8．（2022秋?徐州期末）如圖，在△PAB中，C、D為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC＝PD．

（1）若PC＝CD，∠APB＝120°，則△APC與△PBD