第三部分函數(shù)

專題10二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題（4大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一銷售、利潤問題

核心考點(diǎn)二圖形面積問題

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)三拋物線型問題（拱橋、隧道等）

核心考點(diǎn)四其他問題

新題速遞

核心考點(diǎn)一銷售、利潤問題

例1（2021·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）某超市購進(jìn)一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那

么每天可銷售20件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將

銷售價定為__________元時，才能使每天所獲銷售利潤最大．

例2（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程

中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)10≤x≤20時，其圖象是線段AB，則

該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．

例3（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷

售量p(千克)與銷售價格x(元/千克)之間的關(guān)系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

銷售價格x(元/千克)3035404550

日銷售量p(千克)6004503001500

(1)請直接寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

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(2)農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？

(3)若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元(a＞0)的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)40≤x≤45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的

最大值為2430元，求a的值．

1、常用公式有：利潤=售價-成本價，總利潤=單個商品的利潤×銷售量，利潤率=利潤/進(jìn)價×100%，通過

公式建立函數(shù)模型，把利潤問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而使問題得到解決。

2、利用二次函數(shù)解決銷售利潤問題的方法：(1)讀懂題意；(2)借助銷售問題中的利潤等公式尋找等量關(guān)系；

(3)確定函數(shù)解析式；(4)確定二次函數(shù)的最值；(5)檢驗(yàn)、解決實(shí)際問題。特別需要注意，解答此類型題要

抓住關(guān)鍵的詞和字，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。既要看到銷售價格對銷售量的影響，也要看到銷

售價格對單件商品利潤產(chǎn)生的影響，兩者結(jié)合起來，銷售價格就會對銷售總利潤產(chǎn)生影響。在求二次函數(shù)

最值時，要注意實(shí)際問題中自變量的取值的限制對最值的影響。

3、一般情況對于此類問題的解題通法是：(1)審題：仔細(xì)審題，理解題意，看是不是二次函數(shù)。(2)建模：

根據(jù)銷售利潤方面的知識列出等量關(guān)系。(3)解模：用含有x的代數(shù)式表示相關(guān)量，建立二次函數(shù)模型。(4)

應(yīng)用：利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題。希望同學(xué)們認(rèn)真理解掌握，關(guān)于最值問題，同學(xué)們一定要

多下功夫研究學(xué)習(xí)，總結(jié)出解決這類問題的思路方法，考試中得心應(yīng)手。

【變式1】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某超市對進(jìn)貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．則最大利潤是（）

A．180B．220C．190D．200

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【變式2】（2020·河北滄州·統(tǒng)考二模）“星星書店”出售某種筆記本，若每個可獲利x元，一天可售出8x

個．當(dāng)一天出售該種文具盒的總利潤y最大時，x的值為（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）陽光超市里銷售的一種水果，每千克的進(jìn)價為10元，銷售過程中發(fā)

現(xiàn)，每天銷量y（kg）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)yx50的關(guān)系.若不計(jì)其他成本（利潤=售

價-進(jìn)價），則該超市銷售這種水果每天能夠獲得的最大利潤是_________元．

【變式4】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）某市政府加大各部門和單位對口扶貧力度．某單位的幫扶對

象種植的農(nóng)產(chǎn)品在某月，（按30天計(jì)）的第x天（x為正整數(shù)）的銷售價格p（元/千克）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

2

x4(0x20)

5

式為p銷售量y（千克）與x之間的關(guān)系如圖所示．

1

x12(20x30)

5

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y___________；

（2）若該農(nóng)產(chǎn)品當(dāng)月的銷售額最大，最大銷售額是___________.（銷售額=銷售量×銷售價格）

【變式5】（2022·貴州遵義·三模）紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件.

一個月可售出5萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少0.1萬件.其中月銷售單價不低于成本.設(shè)

月銷售單價為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）.

(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)月銷售單價是多少元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？

(3)為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款a元，已知該公司捐款

當(dāng)月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值

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核心考點(diǎn)二圖形面積問題

例1（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，用一段長為16m的籬芭圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），

則這個圍欄的最大面積為_______m2．

例2（2021·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=x22x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(4,y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點(diǎn)．當(dāng)BEDE的值最小時，△ACE的

面積為__________．

例3（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線yax22xc，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，

F為拋物線頂點(diǎn)，直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)y0時，1x3．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是線段BE上的動點(diǎn)（除B、E外），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．

①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時，求四邊形ACFD的面積；

②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問，EMEN是否為定值？如果是，

請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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面積最值問題應(yīng)設(shè)圖形的一邊長為自變量，所求面積為因變量，建立二次函數(shù)的模型，利用二次函

數(shù)有關(guān)知識求得最值，要注意函數(shù)自變量的取值范圍。

13

【變式1】（2022·浙江寧波·校考模擬預(yù)測）已知拋物線：yx2x2頂點(diǎn)為D，將拋物線向上平移，

22

15

使得新的拋物線的頂點(diǎn)D￠落在直線l：y上，設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為O，原拋物線上的點(diǎn)P平移后的

8

對應(yīng)點(diǎn)為Q，若OPOQ，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（）

2335

A．B．C．4D．17

88

【變式2】（2022·甘肅嘉峪關(guān)·?？家荒＃┤鐖D①，在矩形ABCD中，當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點(diǎn)P在BC

上移動時，直角邊MP始終經(jīng)過點(diǎn)A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點(diǎn)Q．在運(yùn)動過程中線

段BP的長度為x，線段CQ的長為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．則AB的長為()

A．2.25B．3C．4D．6

【變式3】（2021·吉林長春·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．已

知拋物線y＝x2﹣2x+c與線段AB有公共點(diǎn)，則c的取值范圍是__．

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【變式4】（2021·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC2，D是AB上的

一個動點(diǎn)，連接CD，將△BCD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，連接DE，則△ADE面積的最大值等于

____________．

【變式5】（2022·寧夏銀川·校考二模）已知：如圖，在RtABC中，ACB90，AB8cm，AC4cm，

CD為AB邊上的高，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA

方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s．設(shè)運(yùn)動時間為ts0t4．解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時，PQ∥BC；

(2)當(dāng)PQ中點(diǎn)在CD上時，求t的值；

(3)設(shè)四邊形QPBC的面積為Scm2，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S最小值．

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核心考點(diǎn)三拋物線型問題（拱橋、隧道等）

例1（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下

降________米，水面寬8米．

例2（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線．按照

圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是

125

yx2x，則鉛球推出的水平距離OA的長是_____m．

1233

例3（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶

澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直

角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE3m，豎直高度

為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為

2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．

(1)若h1.5，EF0.5m；

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①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍；

(2)若EF1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值．

1、根據(jù)題意，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)拋物線解析式；

2、準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化線段的長與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式，求出二次函數(shù)的解析

式；

3、應(yīng)用所求解析式及性質(zhì)解決問題；

【變式1】（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測）圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在L時，拱頂(拱橋

洞的最高點(diǎn))離水面2m，水面寬為4m．如果水面寬度為6m，則水面下降()

A．3.5mB．3mC．2.5mD．2m

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【變式2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路

線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單

位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不正確的是（）

t01234567…

h08141820201814…

9

A．足球距離地面的最大高度超過20mB．足球飛行路線的對稱軸是直線t

2

C．點(diǎn)（10，0）在該拋物線上D．足球被踢出5s:7s時，距離地面的高度逐漸下降．

【變式3】（2022·河北·校聯(lián)考一模）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從點(diǎn)A向四周噴水，噴出

的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x

1

軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣5）2＋6

6

（1）雕塑高OA的值是____m；

（2）落水點(diǎn)C，D之間的距離是____m．

【變式4】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考一模）斜拋小球，小球觸地后呈拋物線反彈，每次反彈后保持相同的拋物

線形狀（開口方向與開口大小前后一致），第一次反彈后的最大高度為h1，第二次反彈后的最大高度為h2，

2

第二次反彈后，小球越過最高點(diǎn)落在垂直于地面的擋板C處，且離地高度BCh，若

31

h

OB90dm,OA2AB，則2為________．

h1

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【變式5】（2022·河北邯鄲·?？既＃┠称古仪蝠^使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面BC左上方，

桌面BC的長為2.74m．過點(diǎn)A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線BC為x軸，

OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運(yùn)動路線為拋物線的一部

分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運(yùn)行時間為t（s），在桌面上的

落點(diǎn)為D，經(jīng)測試，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：

t（s）00.20.40.60.8．．．

x（m）00.511.52．．．

y（m）0.250.40.450.40.25．．．

(1)當(dāng)t＝s時，乒乓球達(dá)到最大高度；猜想y與x之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求出函數(shù)

關(guān)系式；如果不存在，請說明理由；

(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過多長時間位于球網(wǎng)正上

方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

(3)乒乓球落在點(diǎn)D后隨即彈起，沿拋物線L：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運(yùn)動，小明拿球拍EF

與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L與EF在同一平面

內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的距離CE的取

值范圍．

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核心考點(diǎn)四其他問題

例1（2020·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）某快遞公司在甲地和乙地之間共設(shè)有29個服務(wù)驛站（包括甲站、

乙站），一輛快遞貨車由甲站出發(fā)，依次途經(jīng)各站駛往乙站，每?？恳徽?，均要卸下前面各站發(fā)往該站的貨

包各1個，又要裝上該站發(fā)往后面各站的貨包各1個．在整個行程中，快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多是_____

個．

例2（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面

的高度h（米）與物體運(yùn)動的時間t（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系h5t2mtn，其圖像如圖所示，物體運(yùn)動

的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動時間為3秒．設(shè)w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0

秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當(dāng)0t1時，w的取值范圍是_________；當(dāng)2t3時，w的取

值范圍是_________．

例3（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至

2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上跳

臺滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動．運(yùn)動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，

如圖，某運(yùn)動員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角37的跳臺A點(diǎn)以速度v0沿水平方向跳出，若忽略

空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運(yùn)動員沿豎直方向會加速下落，因此，

運(yùn)動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動員在B點(diǎn)著陸，AB150m，且sin370.6．忽

略空氣阻力，請回答下列問題：

(1)求該運(yùn)動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；

(3)若該運(yùn)動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？

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二次函數(shù)的其他問題，主要在于應(yīng)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合其他的知識點(diǎn)，求出二次函數(shù)的最值情

況即可；

【變式1】（2021·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校考二模）使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)?/p>

量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）(0°＜x≤90°)近似滿足函數(shù)關(guān)系yax2bxc(a≠0)．如

圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可

推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為（）

A．18°B．36°C．41°D．58°

【變式2】（2021·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，一段拋物線：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）記為C1，它與x軸交

于兩點(diǎn)O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3…如

此變換進(jìn)行下去，若點(diǎn)P（21，m）在這種連續(xù)變換的圖象上，則m的值為（）

A．2B．﹣2C．﹣3D．3

【變式3】（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考三模）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建

筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為

80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為______．

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【變式4】（2020·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小林家的洗手臺面上有一瓶洗手液（如圖1），當(dāng)手按住頂部

A下壓時（如圖2），洗手液瞬間從噴口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圓心分別為D，C，下部分

的視圖是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，點(diǎn)E到臺面GH的距離為14cm，點(diǎn)B距臺面GH的距離為

16cm，且B，D，H三點(diǎn)共線．如果從噴口B流出的洗手液路線呈拋物線形，且該路線所在的拋物線經(jīng)過C．E

兩點(diǎn)，接洗手液時，當(dāng)手心O距DH的水平距離為2cm時，手心O距水平臺面GH的高度為_____cm．

【變式5】（2022·河北唐山·統(tǒng)考三模）北京冬奧會的召開激起了人們對冰雪運(yùn)動的極大熱情，如圖是某小

型跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建

144

立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C:yx2x近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好

11233

1

者小張從點(diǎn)O正上方A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線C:yx2bxc運(yùn)動．

28

17

(1)當(dāng)小張滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行高度最大為米，則b______，c______．

2

4

(2)在（1）的條件下，當(dāng)小張滑出后離A的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為米？

3

(3)小張若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3米，求跳臺滑出點(diǎn)的最小高度．

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【新題速遞】

1．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食

用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系pat2btc（a，b，c

是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時間為（）

A．4.25分鐘B．4.00分鐘C．3.75分鐘D．3.50分鐘

2．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考三模）如圖1，校運(yùn)動會上，初一的同學(xué)們進(jìn)行了投實(shí)心球比賽．我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)心

球在空中飛行的軌跡可以近似看作是拋物線．如圖2建立平面直角坐標(biāo)系，已知實(shí)心球運(yùn)動的高度y（m）

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與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系是y=x2x，則該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績是（）

1233

A．2mB．6mC．8mD．10m

3．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線yax24ax5a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P為拋物線頂點(diǎn)，且當(dāng)

x1時，y隨x的增大而減小，若△ABP為等邊三角形，則a的值為（）

33

A．B．C．3D．3

33

4．（2022·安徽亳州·統(tǒng)考二模）已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四個．頂點(diǎn)分

別在菱形的四邊上，則矩形PMNQ的最大面積為（）

A．63B．73C．83D．93

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5．（2021·四川綿陽·統(tǒng)考三模）2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物

資需求量激增．某廠商計(jì)劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息

如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷

利潤y元，當(dāng)銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（）

消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費(fèi)用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）

30181200＋0.02x2250

A．250B．300C．200D．550

6．（2022·廣西欽州·統(tǒng)考二模）如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m．要

使菜園的面積最大，則平行于墻面的邊長為______．

11

7．（2022·廣西河池·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2x3與x軸交于A、B兩

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點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，D為線段OB上一點(diǎn)．過點(diǎn)D作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E，

與直線BC相交于點(diǎn)F，則點(diǎn)E到直線BC距離d的最大值為_________．

8．（2022·湖北黃岡·校聯(lián)考模擬預(yù)測）矩形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以每秒1個單位的速度向

B點(diǎn)運(yùn)動，至B點(diǎn)停止；同時點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度沿A-D-C-B的路徑運(yùn)動，至B點(diǎn)停止，在

此過程中△APQ的面積y與運(yùn)動時間t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，則m的值為________

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9．（2021·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yxx2與x軸相交于A、B兩

22

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方一動點(diǎn)，當(dāng)PCB2ABC時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

__________．

10．（2021·陜西·三模）如圖，在矩形ABCD中，AD2AB6，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)M是BE

上一動點(diǎn)，取CM的中點(diǎn)為N，連接AN，則AN的最小值是________．

11．（2022·遼寧大連·?？寄M預(yù)測）新冠肺炎疫情后期，我縣某藥店進(jìn)了一批口罩，成本價為2元/個，投

入市場銷售，其銷售單價不低于成本，按物價局規(guī)定銷售利潤率不高于80%．經(jīng)一段時間調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每天

銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，且有兩天數(shù)據(jù)為：銷售價定為2.3元，每天

銷售1080個；銷售價定為2.5元，每天銷售1000個．

(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

(2)如果該藥店銷售口罩每天獲得800元的利潤，那么這種口罩的銷售單價應(yīng)定為多少元？

(3)設(shè)每天的總利潤為w元，當(dāng)銷售單價定為多少元時，該藥店每天的利潤最大？最大利潤是多少元？

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3

12．（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D，已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B（4，

2

0），交y軸于點(diǎn)C0，4，點(diǎn)Mm，0是線段OB上一點(diǎn)（與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作MPx軸，交BC于

點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)Q，連接OP，CQ．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若COPQCP，求QP的長；

(3)若在OB的延長線上有一點(diǎn)D，使CD與PQ