微專題1空間向量在立體幾何熱點問題中的應(yīng)用第一章空間向量與立體幾何解決立體幾何問題，常用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法．處理空間圖形之間的距離、夾角等度量問題時，綜合法需要借助圖形之間的位置關(guān)系或輔助線找出所求的距離、夾角，有一定難度．用向量法和坐標(biāo)法不用考慮圖形之間的關(guān)系，直接套用相應(yīng)的公式求解即可，將這些度量“公式化”，就大大降低了難度．立體幾何中利用空間向量求空間角及解決有關(guān)的探索性、折疊問題是各類考試考查的熱點內(nèi)容，也是一個難點，常見于解答題中．題目靈活性較強，需要豐富的空間想象能力及計算能力，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．【例1】

(2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1中點，E為AA1中點，F(xiàn)為CD中點．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求直線BE與平面CC1D夾角的正弦值；(3)求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值．類型1利用空間向量求空間角[解]

(1)證明：取BB1的中點G，連接FG，EG，連接AD交EG于K，再連接FK，∵EK∥A1B1，且E是AA1的中點，則K是AD的中點，∴FK∥AC，又FK?平面ABC，AC?平面ABC，∴FK∥平面ABC，同理可得，EG∥平面ABC，又FK∩EG＝K，∴平面EFG∥平面ABC，∴EF∥平面ABC．

【例2】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求證：AC⊥BC1；(2)在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定點D的位置并說明理由，若不存在，說明理由．類型2利用空間向量解決探索性問題

類型3利用空間向量解決翻折問題

微專題強化練(一)空間向量在立體幾何熱點問題中的應(yīng)用243題號15

√67

243題號1567

243題號1567

√243題號1567

243題號1567

243題號1567

√243題號1567√√ABD

[在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為邊AB的中點，所以AB⊥DE，因為CD∥BE，所以DE⊥CD，因為A′D⊥CD，A′D∩DE＝D，A′D，DE?平面A′DE，所以CD⊥平面A′DE，因為CD∥BE，所以BE⊥平面A′DE，因為BE?平面A′BE，所以平面A′DE⊥平面A′BE，故A正確；因為CD∥BE，CD?平面A′BE，BE?平面A′BE，所以CD∥平面A′BE，又平面A′BE與平面A′CD的交線為l，所以CD∥l，故B正確；243題號1567

243題號1567

243題號1567

√243題號1567

243題號1567

243題號1567

243題號1567二、填空題5．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為________．243題號1576

243題號1576

243題號1576243題號1567

243題號1567

243題號15