章末重構(gòu)拓展第四章數(shù)列鞏固層·知識(shí)重構(gòu)類(lèi)型1等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算1．在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用．2．通過(guò)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．提升層·題型探究

√√

(3)通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．2．通過(guò)等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝n.(1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

類(lèi)型3等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)，如下標(biāo)和相等性質(zhì)，利用此性質(zhì)可以在有關(guān)基本量的計(jì)算時(shí)達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的；(2)前n項(xiàng)和的性質(zhì)、奇偶項(xiàng)和性質(zhì)、函數(shù)特性等，利用這些性質(zhì)能夠快速解決數(shù)列中的選擇、填空題．2．解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的幾點(diǎn)注意(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；(2)對(duì)于計(jì)算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；(3)注重問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式和性質(zhì)解題；(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系．3．通過(guò)靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．【例3】

(1)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a4＋a5＋a6＝12，則S9＝(

)A．20 B．28C．36 D．4(2)已知等比數(shù)列{an}的前2項(xiàng)和為2，前4項(xiàng)和為8，則它的前6項(xiàng)和為(

)A．12 B．22C．26 D．32√√

√

(3)對(duì)于A選項(xiàng)，若a1＜0且q＞1，則對(duì)任意的n∈N*，an＝a1qn-1＜0，所以an＋1－an＝an(q－1)＜0，即an＋1＜an，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)a1＜0時(shí)，在n＝1時(shí)結(jié)論不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若q＝1，則an＋1－an＝0，此時(shí)，數(shù)列{an＋1－an}不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝qn(a1＋a2＋…＋an)＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝q2n(a1＋a2＋…＋an)＝q2nSn，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，故D正確．故選D.]

2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)與求和一直是高考考查的熱點(diǎn)，在命題中，求通項(xiàng)多以遞推公式的形式或與Sn的關(guān)系給出條件，然后通過(guò)構(gòu)造等差、等比數(shù)列求an，求和主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題．題型多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等或偏低．3．通過(guò)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

類(lèi)型5數(shù)列的綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問(wèn)題1．?dāng)?shù)列本身是一類(lèi)特殊的函數(shù)，高考命題中常將數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合在一起，在知識(shí)的交匯處命題．同時(shí)，以實(shí)際問(wèn)題和古代數(shù)學(xué)問(wèn)題為背景的數(shù)列題也時(shí)有出現(xiàn)，難度中等或以上．2．通過(guò)此類(lèi)問(wèn)題，綜合考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．【例5】分形幾何學(xué)又被稱(chēng)為“大自然的幾何學(xué)”，是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)．一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，分形就是研究無(wú)限復(fù)雜具備相似結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)．下面用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，正三角形的邊長(zhǎng)為1，在各邊取兩個(gè)三等分點(diǎn)，往外再作一個(gè)正三角形，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的各邊做相同的操作，得到圖3中的圖形；以此類(lèi)推，就得到了以下一系列圖形，記第n個(gè)圖形(圖1為第一個(gè)圖形)