第15講整式的規(guī)律探究

【人教版】

·模塊一數(shù)列型的規(guī)律探究

·模塊二數(shù)表中的規(guī)律探究

·模塊三圖形中的規(guī)律探究

·模塊四恒等式中的規(guī)律探究

·模塊五課后作業(yè)

模塊一數(shù)列型的規(guī)律探究

【例1.1】（2023·云南昆明·七年級(jí)期末）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：?3?2，5?2?2，?7?4?2，9?6?2，

?11?8?2，…，第8個(gè)單項(xiàng)式是（）

A．?17?8?14B．17?14?2C．?15?7?14D．152?14?2

579

【例1.2】（2023六年級(jí)上·山東泰安·期末）觀察下列關(guān)于?的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律，?2，?3，?4

3??23?4

11

，?5，按照上述規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式是（）

5??2024

4047404940494045

A．?2025B．??2024C．?2024D．??2024

2023202420242024

【例1.3】（2023七年級(jí)·湖北隨州·期末）連續(xù)正整數(shù)包含著無(wú)窮的規(guī)律，引導(dǎo)人們不斷探索．將連續(xù)正整

數(shù)1，2，3，4，5，6，…，按如圖數(shù)陣排列．觀察發(fā)現(xiàn)，每行的最大的數(shù)與行數(shù)有一定的規(guī)律，那么這個(gè)

數(shù)陣從上到下第6行的最大數(shù)是．若用數(shù)(?,?)表示該數(shù)陣中從上到下、從左到右第m行第n個(gè)

數(shù)字，如（4，6）表示15，則數(shù)1000用數(shù)對(duì)表示為．

4816

【變式】（七年級(jí)北京期中）一組按規(guī)律排列的式子：?2，，?，，，按照上述規(guī)律，它

1.12023··357…

的第n個(gè)式子（n為正整數(shù)）是．

第1頁(yè)共10頁(yè).

23

【變式1.2】（2023七年級(jí)·湖北十堰·期末）對(duì)于不為零的實(shí)數(shù)a，b，現(xiàn)有一組式子：?，–?，0，

2?4?2

45

?，–?，0……，則第2019個(gè)式子是（）

8?316?4

202120211347

A．0B．?C．–?D．–?

22020?202022020?202021346?1346

【變式1.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）觀察下面有規(guī)律的三行單項(xiàng)式：

x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①

﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②

2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③

（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第一行第8個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；

（2）第二行第n個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)_______；

（3）第三行第8個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)_______；第n個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)__________．

模塊二數(shù)表中的規(guī)律探究

【例1.1】（2023七年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖1是2023年12月份的月歷，小軍同學(xué)用“”

形框在月歷上框出四個(gè)數(shù)字，將該“”形框上下左右移動(dòng)，且一定要框住月歷中的四個(gè)日期，若

其中兩個(gè)日期如圖2所示，則m，n的值可能為（）

A．?=2，?=2B．?=8，?=0C．?=4，?=4D．?=6，?=1

【例1.2】（2023·湖北十堰·中考真題）將從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行

第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（）

第2頁(yè)共10頁(yè).

A．2025B．2023C．2021D．2019

【例1.3】（2023七年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期末）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，?

的值為（）

A．12B．16C．64D．76

【變式1.1】（2023七年級(jí)·廣東梅州·期末）將連續(xù)正整數(shù)按如圖所示的位置順序排列，根據(jù)排列規(guī)律，則

2023應(yīng)在（）

A．A處B．B處C．C處D．D處

【變式1.2】（2023七年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，一組數(shù)據(jù)按圖中規(guī)律從左向右依次排列，則第12個(gè)圖中

?=．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出

現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖

②，前8行如圖③，求前32行“1”的個(gè)數(shù)為．

第3頁(yè)共10頁(yè).

模塊三圖形中的規(guī)律探究

【例1.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）將圖①正方形做如下操作：分別連接對(duì)邊中點(diǎn)如圖②，得到5個(gè)

正方形（1個(gè)大正方形加上4個(gè)中等正方形）；第2次，將圖②左上角的正方形按上述方法再分割如圖③，

得到9個(gè)正方形…像這樣操作8次，可以得到（）個(gè)正方形．

A．29B．30C．32D．33

【例1.2】（2023七年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2024個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量

是（）個(gè)

A．2024B．3035C．3036D．2023

【例1.3】（2023七年級(jí)·江蘇常州·期中）“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭．”在如圖的三角形中，一條中

線將一個(gè)三角形分為面積相等的兩部分，在此基礎(chǔ)上再作一條中線，可得到原三角形一半面積的一半，即1，

4

111711111

已知++=，根據(jù)這個(gè)幾何圖形的規(guī)律求得++++…+的值為（）

248824816299

111

A．1B．1?C．1+D．1?

299299298

【變式1.1】（2023·湖南婁底·七年級(jí)期末）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第2024個(gè)圖案中的

“”的個(gè)數(shù)是（）

第4頁(yè)共10頁(yè).

A．6073B．6072C．6071D．6070

【變式1.2】（2023七年級(jí)·四川成都·期末）用火柴棒按下圖中的方式搭圖形，搭第n個(gè)圖形需要火柴棒的

數(shù)量為（）

A．5?B．5?+1C．4?+1D．4?+5

【變式1.3】（2023·江西·七年級(jí)期末）三角形三邊上的點(diǎn)數(shù)分布如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)圖①中有4個(gè)點(diǎn)，圖②

中有10個(gè)點(diǎn)，圖③中有19個(gè)點(diǎn)，……按此規(guī)律可知，圖?中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

模塊四恒等式中的規(guī)律探究

【例1.1】（2023七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）觀察下列各組等式：

（1）4×12?12=4×1?1；

（2）4×22?32=4×2?1；

（3）4×32?52=4×3?1；…

根據(jù)上述規(guī)律，第2021個(gè)式子的值是（）

A．8080B．8081C．8082D．8083

【例1.2】（2023七年級(jí)·貴州黔東南·期中）觀察下列等式：31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82,35

+1=244，探究計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，猜測(cè)32015+1的個(gè)位數(shù)字是（）

A．4B．0C．8D．2

【例1.3】（2023七年級(jí)·廣東珠?！て谀┯^察下列兩個(gè)等式：

11+21+2+31+2+3+4

===；

22+42+4+62+4+6+8

第5頁(yè)共10頁(yè).

44+84+8+124+8+12+16

===；

77+147+14+217+14+21+28

利用上面的規(guī)律，式子5+10+15+20+???+5?可化簡(jiǎn)得．

3+6+9+12+???+3?

23242

【變式1.1】（2023七年級(jí)·浙江嘉興·期末）觀察下面的等式：?=1+=，?=1+=，?=1+=

11122233

526

，?=1+=，…，根據(jù)其中的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

3444

(1)【嘗試】寫(xiě)出關(guān)于?6的等式．

(2)【歸納】寫(xiě)出關(guān)于??的等式．

(3)【運(yùn)用】計(jì)算?1??2??3????????18??19??20的值．

【變式1.2】（2023七年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）觀察以下等式：

1

第個(gè)等式：12=×1×2×3，

16

1

第個(gè)等式：12+22=×2×3×5，

26

1

第個(gè)等式：12+22+32=×3×4×7，

36

1

第個(gè)等式：12+22+32+42=×4×5×9，

46

…

按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：；

(2)寫(xiě)出你猜想的第?個(gè)等式（用含?的式子表示）；

2222

(3)計(jì)算：1+2+3+…+2023=．

1+2+3+…+2023

【變式1.3】（2023七年級(jí)·安徽安慶·期末）如圖是節(jié)選課本110頁(yè)上的閱讀材料，請(qǐng)根據(jù)材料提供的方法

1111

求和：+++???+，它的值是（）

1×22×33×42020×2021

上題是利用一系列等式相加消去項(xiàng)達(dá)到求和，這種方法不僅限于整數(shù)求和，如

11

1?=

21×2①

111

?=

232×3②

111

?=

343×4③

111

?=

454×5④

第6頁(yè)共10頁(yè).

……

（1）繼續(xù)寫(xiě)出上述第n個(gè)算式，并把這些算式兩邊分別相加，會(huì)得到什么結(jié)果？你能寫(xiě)出下面的求和公式

嗎？

1111

+++???+．

1×22×33×4?×(?+1)

．．2020．2019．1

A1B2021C2020D2021

模塊五課后作業(yè)

1．（2023·江西九江·七年級(jí)期末）以下是按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2?,3?2,4?3,5?4,6?5,???，依此規(guī)律，第

?個(gè)單項(xiàng)式是（）

A．???B．????1C．(?+1)??D．(?+1)???1

2．（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）根據(jù)下面圖形的規(guī)律，第11個(gè)圖中有（）個(gè)．

A．33B．36C．39

3．（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形

數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．

從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：

任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如4=1+3．把“正方形數(shù)”36寫(xiě)

成兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（）．

A．36=10+26B．36=12+24C．36=15+21D．36=16+20

4．（2023·重慶·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物

的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②

有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子

的個(gè)數(shù)是（）

第7頁(yè)共10頁(yè).

A．20B．22C．24D．26

5．（2023·湖北武漢·七年級(jí)期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中，用如圖所示的三

角形數(shù)陣解釋二項(xiàng)式(?+?)?展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)比歐洲早近600年，此三角形被后人稱為“楊

輝三角”．在“楊輝三角”中，兩邊上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)是它上方的（左右）兩數(shù)之和．如2=1+1，

10=4+6，．．．，若從第三行的“2”開(kāi)始，按箭頭所指依次構(gòu)成一列數(shù)：2，3，3，4，6，4，5，10，

10，5，…，則這列數(shù)中第24個(gè)數(shù)是（）

A．56B．42C．28D．8

233

6．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)期末）已知：?5=5×4=20，?5=5×4×3=60，?6

44

=6×5×4=120，?6=6×5×4×3=360，……觀察并找出規(guī)律，計(jì)算?7的結(jié)果

1573

7．（2023七年級(jí)·黑龍江綏化·期中）觀察下列單項(xiàng)式：、?2、?3、?4、?5??????，按此規(guī)律寫(xiě)出第?

2??4?52

個(gè)單項(xiàng)式是．

8．（2023七年級(jí)·河南周口·期中）如圖，每個(gè)三角形中的三個(gè)數(shù)之間有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一

個(gè)三角形中?與?之間的關(guān)系式為．

9．（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖所示的點(diǎn)陣圖中，圖①中有3個(gè)點(diǎn)，圖②中有7個(gè)點(diǎn)，圖③中有13

個(gè)點(diǎn)，圖④中有21個(gè)點(diǎn)，按此規(guī)律，圖⑩中有個(gè)點(diǎn)．

第8頁(yè)共10頁(yè).

10．（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）為慶祝亞運(yùn)會(huì)的成功召開(kāi)，學(xué)校舉行了“展少年英姿為亞運(yùn)喝彩”的隊(duì)列

隊(duì)形展示活動(dòng)，淘氣發(fā)現(xiàn)隊(duì)列中也藏著數(shù)學(xué)秘密．

隊(duì)形1234…

圖示……

（1）觀察點(diǎn)子圖，補(bǔ)充下面等式．

2=1×2

2+4=2×3

2+4+6=3×4

2+4+6+8=×

（2）照這樣，第8個(gè)隊(duì)形需要人；第n個(gè)隊(duì)形需要人；第個(gè)隊(duì)形有56人．

11．（2023七年級(jí)·河南周口·期中）（1）觀察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝

729，…通過(guò)觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32021的個(gè)位數(shù)字是______；

（2）觀察一列數(shù)：2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常

數(shù)是_______，根據(jù)此規(guī)律，如果用an