第第頁(yè)第04課三角函數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)01：任意角和弧度制【例1】（多選）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若是銳角，則是第一象限角B．C．若，則為第一或第二象限角D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，是銳角，即，所以是第一象限角，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，根據(jù)弧度制的定義可知，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但不是象限角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，為第二象限角，即，所以為第一或第三象限角，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【變式1】若與的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榕c的終邊互為反向延長(zhǎng)線，所以，，即，.故選：D.考點(diǎn)02：扇形的弧長(zhǎng)及面積公式【例2】已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的弧長(zhǎng)為______，面積為______【答案】【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則由已知可得，解得，，所以扇形面積為，故答案為：；．【變式2】已知扇形的周長(zhǎng)為20，則該扇形的面積S的最大值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】設(shè)扇形圓心角為，扇形半徑為r，由題可得間關(guān)系，后用r表示S，即可得答案.【詳解】設(shè)扇形圓心角為，，扇形半徑為，，由題有，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D【變式3】中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為【答案】D【詳解】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項(xiàng)A：.故A正確；選項(xiàng)B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項(xiàng)C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項(xiàng)D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為.故D錯(cuò)誤.故選：D考點(diǎn)03：三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用【例3】已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)位于軸上方且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義，，，兩邊平方，得則，，，所以，.（2）由（1）知，，.【變式4】如果角的終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊在直線上，所以.所以.故選：B.【變式5】已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切弦互化和齊次化以及同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】由題意知，則原式.故選：B.考點(diǎn)04：同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【例4】已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸的合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.(1)求的值：(2)求的值.【答案】(1).(2)或.【詳解】（1）由題意知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，故，解得，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，即.（2）,故時(shí)，，時(shí)，.【變式6】（多選）以下各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：ABC【變式7】已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由平方得，，故選：A考點(diǎn)05：齊次式化簡(jiǎn)求值【例5】已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)2;(2)【詳解】（1）由，得，解得．（2）由已知得，，由（1）得代入，，所以．【變式8】已知，則__________.【答案】3【分析】將已知式中分子，再分子分母同時(shí)除以，解方程即可得出答案.【詳解】由題意，即，則.故答案為：3.【變式9】已知，則等于（

）A．4 B．6 C．2 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則，原式.故選：A.考點(diǎn)06：和、差、倍角的簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)與求值【例6】（多選）下列四個(gè)選項(xiàng)中，計(jì)算結(jié)果是的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】對(duì)A，，A正確；對(duì)B，，B正確；對(duì)C，，C正確；對(duì)D，，D錯(cuò)誤；故選:ABC.【變式10】在中，已知是的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，則______．【答案】【分析】利用韋達(dá)定理，兩角和的正切公式，求得的值，可得的值，從而求得的值．【詳解】因?yàn)槭堑囊辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根，由題有，而，∴，又，∴.故答案為：.【變式11】已知且都是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再利用余弦函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)榍叶际堑诙笙藿?，所以，，所?故選：C.考點(diǎn)07：輔助角公式的應(yīng)用【例7】已知，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦兩角和公式和輔助角公式求解即可.【詳解】.故選：A【變式12】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接使用輔助角公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】∵，∴.故選：D.考點(diǎn)08：給值求值型【例8】若，，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)和兩角差的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，，所以，，所?故答案為：【變式13】已知，則_____.【答案】【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故答案為：【變?4】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】令，則，，得，所以.故選:D.考點(diǎn)9：給值求角型【例10】已知是方程的兩根，且，則的值為______.【答案】【分析】首先利用韋達(dá)定理，得到兩角正切的關(guān)系式，再根據(jù)兩角和的正切公式，求角.【詳解】由條件可知，，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：【變式15】設(shè)，均為鈍角，且，，則的值為______.【答案】【分析】先求出和，再運(yùn)用兩角和公式求解.【詳解】∵，，且，，，∴.∵，∴；故答案為：.【變式16】已知，為銳角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）（2）因?yàn)闉殇J角，且，所以.所以，.，所以.三角函數(shù)的運(yùn)算隨堂檢測(cè)1.兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1：2，則這兩個(gè)扇形周長(zhǎng)的比為（

）A．1：2 B．1：4 C． D．1：8【答案】C【詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為，兩圓的半徑分別為和，則，.兩個(gè)扇形周長(zhǎng)的比為:.故選：C2.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，，，又，顯然，，，故選：A3.已知，且為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，則，故選：D.4.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角的變換及誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】，，.故選：D5.設(shè)，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，那么的值等于____.【答案】/0.4【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上，則|OP|=1，即，解得.因?yàn)?，所以，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，.所以.故答案為：.6.若銳角滿足，則______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，所以，則.故答案為：7.已知，則______，______.【答案】2【分析】利用兩角和的正切公式可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式以及二倍角的公式展開，根據(jù)齊【詳解】由，得，．故答案為：2，．8.已知，則________．【答案】【分析】由可得，后