Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練21一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓2．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為A． B． C． D．3．（2024?大武口區(qū)校級(jí)一模）相距的，兩個(gè)哨所，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差，已知聲速是，炮彈爆炸點(diǎn)一定在曲線的方程上．A． B． C．或 D．4．（2024?海淀區(qū)校級(jí)三模）卵圓是常見的一類曲線，已知一個(gè)卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為卵圓上任意一點(diǎn)，有下列四種說法：①卵圓關(guān)于軸對(duì)稱；②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；③線段長(zhǎng)度的取值范圍是，；④的面積最大值為1；其中正確說法的序號(hào)是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④5．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2 C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為246．（2024?天河區(qū)校級(jí)模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，且，，直線經(jīng)過橢圓的下頂點(diǎn)，記的離心率為，的離心率為，則A． B． C． D．7．（2024?德州模擬）已知點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．直線上有一動(dòng)點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C． D．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知是圓柱下底面的一條半徑，，，為該圓柱側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，垂直下底面于點(diǎn)，若，則對(duì)于下述結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；以下說法正確的為A．①②都正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①②都錯(cuò)誤9．（2024?石景山區(qū)一模）對(duì)于曲線，給出下列三個(gè)命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；③曲線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)．其中正確的命題個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．310．（2024?濟(jì)寧二模）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A． B． C．1 D．二．多選題（共5小題）11．（2024?李滄區(qū)校級(jí)二模）平面上到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知曲線是到兩定點(diǎn)，的距離之積為常數(shù)2的點(diǎn)的軌跡，設(shè)是曲線上的點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 B． C． D．△周長(zhǎng)的最小值為12．（2024?衡陽縣校級(jí)模擬）已知，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，其中，，為△的三邊長(zhǎng)，且，設(shè)點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時(shí)， B．若點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，則△內(nèi)切圓的圓心在定直線上 C．使得△為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè) D．△的面積為13．（2024?李滄區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物．關(guān)于曲線，則下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形 B．曲線關(guān)于軸，軸成軸對(duì)稱圖形 C．曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2 D．曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于14．（2024?潞州區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為，圖形如圖所示．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，在這條心形線上，且，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C． D．上有4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）15．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點(diǎn)同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點(diǎn)，則三．填空題（共5小題）16．（2024?長(zhǎng)春模擬）已知菱形的各邊長(zhǎng)為2，．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)．若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點(diǎn)，記上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為．過點(diǎn)再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線．曲線在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)，則的面積的最小值為．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對(duì)給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為．19．（2024?岳麓區(qū)校級(jí)一模）如果直線和曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．20．（2024?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖，對(duì)于曲線所在平面內(nèi)的點(diǎn)，若存在以為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，恒有成立，則稱角為曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”．已知曲線（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”為，則．四．解答題（共5小題）21．（2024?梅江區(qū)校級(jí)模擬）已知為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段的中垂線與相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡分別相交于，兩點(diǎn)，且與圓相交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．22．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；求的取值范圍．23．（2024?青原區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)；（3）若曲線交軸正半軸于點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別交軸于，兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚狠S上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn)．（Ⅰ）若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；（Ⅱ）過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為．求雙曲線的方程；證明：．25．（2024?赤峰模擬）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．證明：直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；求的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練21參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】定義法；直線與圓；函數(shù)思想；邏輯推理【分析】設(shè)，，由，得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，用點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo)，并代入圓，得到點(diǎn)的軌跡方程，再利用圓心距與半徑的關(guān)系判點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系．【解答】解：設(shè)，，由，可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，把代入圓，則點(diǎn)的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓相切的圓．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的軌跡方程，屬于中檔題．2．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；軌跡方程【專題】空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】可得平面，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由此即可得．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，2，，，1，，，0，，，0，，，2，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因?yàn)?，故平面，為平面上的?dòng)點(diǎn)，直線與直線的夾角為，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)的軌跡，其中，由對(duì)稱性可知，，故半徑，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體中的軌跡問題，屬于中檔題．3．（2024?大武口區(qū)校級(jí)一模）相距的，兩個(gè)哨所，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差，已知聲速是，炮彈爆炸點(diǎn)一定在曲線的方程上．A． B． C．或 D．【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為，由題意可知：，顯然點(diǎn)的軌跡是以，的焦點(diǎn)的雙曲線，因此有，，可得：，，于是有，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)符合．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?海淀區(qū)校級(jí)三模）卵圓是常見的一類曲線，已知一個(gè)卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為卵圓上任意一點(diǎn)，有下列四種說法：①卵圓關(guān)于軸對(duì)稱；②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；③線段長(zhǎng)度的取值范圍是，；④的面積最大值為1；其中正確說法的序號(hào)是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想【分析】由與均滿足方程即可判斷①；點(diǎn)，和都在卵圓上，列方程，解方程即可判斷②；對(duì)于③：，可借助導(dǎo)數(shù)求最值，即可判斷③；對(duì)于④：，可求最大值，即可判斷④．【解答】解：對(duì)于①：設(shè)是卵圓上的任意一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)也在卵圓上，又點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以卵圓關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②：設(shè)點(diǎn)，，則（1），若存在卵圓上點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，則在卵圓上，滿足方程（2），（1）（2）聯(lián)立可得或，所以卵圓上存在、兩點(diǎn)恰好關(guān)于對(duì)稱，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，由，得，所以，又，所以，設(shè)點(diǎn)，，，則，令，則，令，則或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，（2），且，所以，，即，，所以，，故③正確；對(duì)于④，點(diǎn)，，，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)的面積取得最大值1，故④正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐曲線的新定義問題，解決此類問題的關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答．5．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2 C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；直線與圓；平面向量及應(yīng)用；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示可用，表示，，結(jié)合可得，的關(guān)系，進(jìn)而可求點(diǎn)的軌跡方程，再由平行四邊形面積公式檢驗(yàn)選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知條件，可得，又因?yàn)?，所以點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)軌跡方程為，，且時(shí)，方程為；，且時(shí)，方程為；，且時(shí)，方程為；，且時(shí)，方程為．點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡如圖所示：，所以點(diǎn)的軌跡為菱形，，錯(cuò)誤；原點(diǎn)到直線的距離為：，所以不正確．軌跡圖形是平行四邊形，面積為；正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)的軌跡的求解，考查了綜合解決問題的能力，屬于難題6．（2024?天河區(qū)校級(jí)模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，且，，直線經(jīng)過橢圓的下頂點(diǎn)，記的離心率為，的離心率為，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征；圓錐曲線的綜合【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)，，求解相關(guān)的長(zhǎng)度，通過，求解橢圓與雙曲線的離心率，然后推出選項(xiàng)．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，設(shè)，，則由勾股定理得的中點(diǎn)為則為三角形對(duì)應(yīng)邊的中位線，則，且，，得，橢圓的下頂點(diǎn)為，則易得，解得，則的焦距滿足，則，同時(shí)，因此．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形相似的判斷，是中檔題．7．（2024?德州模擬）已知點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．直線上有一動(dòng)點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；直線與圓；方程思想【分析】設(shè)，，由在圓上，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得的軌跡方程，再由圓的切線的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可得所求值．【解答】解：設(shè)，，由點(diǎn)滿足，可得，，即有，，由在圓上，可得，即，圓心，半徑，由直角三角形的勾股定理，可得，即，要求的最小值，只需求的最小值．由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，則的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知是圓柱下底面的一條半徑，，，為該圓柱側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，垂直下底面于點(diǎn)，若，則對(duì)于下述結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；以下說法正確的為A．①②都正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①②都錯(cuò)誤【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】邏輯推理；計(jì)算題；分析法；數(shù)學(xué)抽象；證明題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想【分析】將圓柱的側(cè)面展開得，可知點(diǎn)的軌跡為兩條互相垂直的線段，進(jìn)而可以得到軌跡．【解答】解：以為原點(diǎn)將圓柱側(cè)面和底面展開如下圖，設(shè)，所以，，由題意，，所以當(dāng)時(shí)，同理時(shí)，所以點(diǎn)的軌跡在展開圖中為兩條互相垂直的線段，在圓柱面上不是橢圓，兩條線段的長(zhǎng)度均為，故軌跡長(zhǎng)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，屬于中檔題．9．（2024?石景山區(qū)一模）對(duì)于曲線，給出下列三個(gè)命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；③曲線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)．其中正確的命題個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】將換為，換為，方程不變，可判斷①；方程變?yōu)?，由基本不等式可判斷②；由?duì)稱性可考慮第一象限的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③．【解答】解：將換為，換為，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；由，可得，解得即有，故②正確；由曲線和曲線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，都關(guān)于，軸對(duì)稱，可考慮第一象限的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．由和，可得，設(shè)，由（1），，（2），可得在和各有一個(gè)零點(diǎn)，又和在遞減，則第一象限的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，可得曲線與曲線有8個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．10．（2024?濟(jì)寧二模）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A． B． C．1 D．【答案】【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式；軌跡方程【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】設(shè)，可求點(diǎn)的軌跡方程，利用的幾何意義，結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：設(shè)，由題意，可得，整理可得，即：，且圓心的坐標(biāo)，半徑，表示與的夾角的余弦值的2倍，要使得取得最大值，有與圓相切，切點(diǎn)在第一象限，此時(shí)，，可得的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡的求法，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，是難題．二．多選題（共5小題）11．（2024?李滄區(qū)校級(jí)二模）平面上到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知曲線是到兩定點(diǎn)，的距離之積為常數(shù)2的點(diǎn)的軌跡，設(shè)是曲線上的點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 B． C． D．△周長(zhǎng)的最小值為【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】計(jì)算題；新定義；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】根據(jù)題目所給定義，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到曲線方程，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：對(duì)于：根據(jù)題意有，兩邊平方整理可得，將換成方程不變，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，將換成方程也不變，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；對(duì)于：整理可得，令，則，整理得，故當(dāng)時(shí)，，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于：由可知，當(dāng)時(shí)，，故正確；對(duì)于，若△周長(zhǎng)的最小值為，則時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，不能構(gòu)成三角形，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線方程的處理與軌跡方程的求解，屬于中檔題．12．（2024?衡陽縣校級(jí)模擬）已知，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，其中，，為△的三邊長(zhǎng)，且，設(shè)點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時(shí)， B．若點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，則△內(nèi)切圓的圓心在定直線上 C．使得△為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè) D．△的面積為【答案】【考點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；雙曲線與平面向量；雙曲線的定義【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；直觀想象；邏輯推理；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；對(duì)應(yīng)思想【分析】根據(jù)題意可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理判斷；結(jié)合雙曲線的定義及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)判斷；由題意可得則必為腰，分象限討論點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷；結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理及三角形面積公式即可判斷．【解答】解：由已知得，兩邊平方化簡(jiǎn)得，又，所以△為直角三角形，則，即，代入式得，則，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，對(duì)于，根據(jù)雙曲線的定義可得，兩邊平方得，又，所以，則，即，故正確；對(duì)于，設(shè)△的內(nèi)切圓與其三邊、、的切點(diǎn)分別為、、，則，，，由雙曲線定義知，根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，，，則，又，聯(lián)立兩式得，又，所以，所以△內(nèi)切圓的圓心在定直線上，故正確；對(duì)于，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性分析：要使△為等腰三角形，則必為腰，在第一象限雙曲線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)使，，此時(shí)△為等腰三角形，也僅有一個(gè)點(diǎn)使，，此時(shí)△為等腰三角形，同理可得第二三四象限每個(gè)象限也有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，一共8個(gè)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，則，①由余弦定理可得，②，②①得，，所以，所以，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義及性質(zhì)，考查了余弦定理及勾股定理，屬于中檔題．13．（2024?李滄區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物．關(guān)于曲線，則下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形 B．曲線關(guān)于軸，軸成軸對(duì)稱圖形 C．曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2 D．曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】分類討論去絕對(duì)值，可得曲線方程，從而可得曲線圖像，最后可對(duì)命題進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)題意，將曲線轉(zhuǎn)化為方程組：如圖，圖象由四個(gè)圓的部分圖像和原點(diǎn)組成，且四個(gè)圓都可過原點(diǎn)，對(duì)于，將代入，整理得，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；對(duì)于，將代入，整理得，所以關(guān)于軸對(duì)稱，將代入，整理得，所以關(guān)于軸對(duì)稱，故正確；對(duì)于，如圖，曲線上任意兩點(diǎn)距離范圍為，即兩點(diǎn)距離范圍為，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形組成，設(shè)它的面積為，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程相關(guān)知識(shí)，通過曲線方程得出曲線圖像，再經(jīng)過計(jì)算判斷命題是否正確，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力，是難題．14．（2024?潞州區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為，圖形如圖所示．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，在這條心形線上，且，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C． D．上有4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；分類討論；換元法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得直線過原點(diǎn)，聯(lián)立直線與曲線的方程，求解、，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解，利用換元法，結(jié)合判別式，即可求解方程的整數(shù)根．【解答】解：依題意，心形線的直角坐標(biāo)方程為，過原點(diǎn)，由，可知，，三點(diǎn)共線，設(shè)直線，由消去，得．不妨設(shè)，，則．所以，選項(xiàng)正確；，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)在心形線上，，角以軸非負(fù)半軸為起始邊，則心形線的方程轉(zhuǎn)化為，即，所以，又，所以，選項(xiàng)正確；由，可知．令，則心形線的方程可化為，△，所以，當(dāng)，，解得或，進(jìn)而可得或0，當(dāng)時(shí)，方程無整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；所以上有4個(gè)整點(diǎn)，，，，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理判斷能力，是中檔題．15．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點(diǎn)同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點(diǎn)，則【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；邏輯推理【分析】選項(xiàng)中，將換成，換成，即可判斷曲線是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；選項(xiàng)中，討論，時(shí)，方程表示的曲線是圓在第一象限的部分，由對(duì)稱性可得曲線所圍成圖形的面積；選項(xiàng)中，根據(jù)圓的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法求出曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值；選項(xiàng)中，利用數(shù)形結(jié)合法可判斷直線與曲線交于不同的四點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【解答】解：對(duì)于，將換成，換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，方程可化為，即，此時(shí)曲線所圍成的圖形是圓在第一象限的部分，面積不是，由對(duì)稱性可得曲線所圍成圖形的面積不是，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由知曲線在第一象限的圖形是圓的一部分，圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，所以曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為，選項(xiàng)正確；對(duì)于，直線是過定點(diǎn)的直線，由圖形知：時(shí)，直線不過點(diǎn)，時(shí)，直線也不過點(diǎn)，由此判斷直線與曲線交于不同的四點(diǎn)時(shí)的取值范圍不是，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?長(zhǎng)春模擬）已知菱形的各邊長(zhǎng)為2，．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)．若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為．【答案】．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法【分析】取中點(diǎn)，由題可得平面，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得．【解答】解：取中點(diǎn)，連接，，則，，，，，平面，所以平面，又因?yàn)?，則，，作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點(diǎn)，且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，，的中心分別為，，可知平面，平面，且，，，四點(diǎn)共面，由題可得，在△中，可得，又因?yàn)?，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體與外接球的綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)的軌跡的面積的求法，屬中檔題．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點(diǎn)，記上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為．過點(diǎn)再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線．曲線在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)，則的面積的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】軌跡方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】連接，可得，可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，求出拋物線方程，然后利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)處的切線，將的面積表示為關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的式子，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出面積的最小值．【解答】解：連接，由與關(guān)于對(duì)稱，可得，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線上，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，過與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線，可得拋物線的方程為，即，求導(dǎo)數(shù)得，設(shè)，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，與直線交于點(diǎn)，，所以，可得，設(shè)（a），其中，可得（a），當(dāng)時(shí)，（a），因?yàn)闀r(shí)（a），，（a），所以（a）在上單調(diào)減，在，上單調(diào)增．因此，當(dāng)時(shí)，（a）有最小值，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的切線、函數(shù)的單調(diào)性與最值求法等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對(duì)給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為2．【答案】2．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)，討論時(shí)和時(shí)，分別求出點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由此計(jì)算的最小值即可．【解答】解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，，，即；當(dāng)時(shí)，，所以，整理得：，，，即；對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與曲線的交點(diǎn)時(shí)取“”，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的軌跡應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19．（2024?岳麓區(qū)校級(jí)一模）如果直線和曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)曲線的方程，得到雙曲線在軸上方（含頂點(diǎn)）的部分，以及橢圓在軸下方（不含頂點(diǎn)）的部分，而直線表示經(jīng)過定點(diǎn)且斜率為的直線，因此將曲線方程與直線方程聯(lián)解，利用一元二次方程根的判別式與雙曲線的漸近線加以計(jì)算，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，直線即，可知直線經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為．曲線，即或，因此在坐標(biāo)平面內(nèi)作出曲線，如圖所示，該曲線由如下三部分構(gòu)成：①當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線在軸左側(cè)的一支，且在軸上方（含頂點(diǎn)）的部分；②當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓在軸下方（不含左、右頂點(diǎn)）的部分；③當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線在軸右側(cè)的一支，且在軸上方（含頂點(diǎn)）的部分．分以下三種情形討論：（1）當(dāng)時(shí)，直線，與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)、，不符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，先研究曲線的第②部分與直線的交點(diǎn)情況，將直線與消去，整理得，可得△，當(dāng)時(shí)，△，曲線的第②部分與直線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，△，曲線的第②部分與直線有唯一公共交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，△，曲線的第②部分與直線有0個(gè)公共點(diǎn)．而曲線的第①、③部分對(duì)應(yīng)雙曲線，其漸近線為，觀察圖象可得：當(dāng)時(shí)，曲線的第①、③部分與直線都沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線的第①部分與直線沒有交點(diǎn)，且曲線的第③部分與直線有唯一交點(diǎn)；因此，當(dāng)時(shí)，若曲線與直線有唯一交點(diǎn)，則或；（3）當(dāng)時(shí)，曲線的第③部分與直線恰有1個(gè)交點(diǎn)，且曲線的第②部分與直線的沒有交點(diǎn)．若，則曲線的第①部分與直線沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線的第①部分與直線有唯一交點(diǎn)．因此，當(dāng)時(shí)，若曲線與直線有唯一交點(diǎn)，則．綜上所述，若曲線與直線有唯一交點(diǎn)，則或或，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．20．（2024?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖，對(duì)于曲線所在平面內(nèi)的點(diǎn)，若存在以為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，恒有成立，則稱角為曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”．已知曲線（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”為，則1．【答案】1．【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)每一段函數(shù)分別求其過原點(diǎn)的切線方程，得出兩切線垂直，利用“確界角”的定義，得出角，即可得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，因?yàn)?，，所以該函?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，可得切線的斜率為，由直線過，可得，即，即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)滿足方程，故方程有唯一解，則；過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，得切線的斜率，由切線過原點(diǎn)，可得，解得，則，則有，所以兩切線垂直，曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”為，則．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬難題．四．解答題（共5小題）21．（2024?梅江區(qū)校級(jí)模擬）已知為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段的中垂線與相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡分別相交于，兩點(diǎn)，且與圓相交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】，．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）利用幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橢圓的定義，即可求得橢圓方程；（2）分兩種情況：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得、、、的坐標(biāo)，即可求出的值；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得，再結(jié)合相交弦公式求得，進(jìn)而可求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可得是線段的垂直平分線，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，2為焦距，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，即有，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可得，橢圓右焦點(diǎn)為，①若直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，，，，所以，，則；②若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，得，則，，所以，因?yàn)閳A心到直線距離，所以，所以，因?yàn)?，，所以，，綜上：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的綜合，韋達(dá)定理的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用等，屬于中檔題．22．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；，，．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，利用，可求；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，進(jìn)而計(jì)算可得為定值．設(shè)直線，代入雙曲線方程可得，進(jìn)而可得，，，，，進(jìn)而由可得，，，進(jìn)而求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，則，△，且，，；設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，此方程有一根為，，解得，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．23．（2024?青原區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)；（3）若曲線交軸正半軸于點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別交軸于，兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚狠S上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】綜合題；分類討論；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】（1）由題意，設(shè)，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓中，化簡(jiǎn)求得曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，將直線，的方程與曲線的方程聯(lián)立，求得，的坐標(biāo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此可得直線過定點(diǎn)并求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得，先求得，設(shè)出，的坐標(biāo)，利用直線和直線的方程求得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合在曲線上求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）不妨設(shè)，，，此時(shí)，，，因?yàn)?，所以，此時(shí)，，，即因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，則，故曲線的方程為；（2）證明：易知直線，與坐標(biāo)軸不平行，不妨設(shè)直線的方程為，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），所以，此時(shí)，同理得，當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，此時(shí)，所以直線的方程為，易知直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線的方程為，則直線過定點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn)；（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，此時(shí)，即，所以，因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，易知、關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，，，，易知，所以直線方程為，令，解得，而直線方程為，令，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，故存在點(diǎn)，使得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力．24．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn)．（Ⅰ）若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；（Ⅱ）過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為．求雙曲線的方程；證明：．【答案】詳見解答過程；（Ⅱ）；詳見解答過程．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合【專題】邏輯推理；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；整體思想；綜合法【分析】（Ⅰ）先由已知求出，，求出直線，的方程，聯(lián)立方程可求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可證；（Ⅱ）由已知結(jié)合漸近線方程及已知弦長(zhǎng)可求，，進(jìn)而可求雙曲線方程；聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及三角形的面積公式可求，然后表示，代入到進(jìn)行化簡(jiǎn)即可證．【解答】證明：依題意可知，，聯(lián)立不妨取，，則直線的方程為，①直線的方程為，②聯(lián)立①②可得，，又成立，所以直線，的交點(diǎn)在雙曲線上．因?yàn)檫^橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，所以．③因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以．④聯(lián)立③④，解得，，所以雙曲線的方程為．證明：由得點(diǎn)，．設(shè)直線的斜率為，，，，，則直線的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去得，則△，所以，，則，故．又，所以，解得或（舍，因?yàn)椋?，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象核心素養(yǎng)，屬于難題．25．（2024?赤峰模擬）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．證明：直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（ⅱ），．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】（1）由題意，得到，結(jié)合雙曲線的定義以及，，的關(guān)系列出等式求出和的值，進(jìn)而可得曲線的方程；（2）設(shè)，，，，，，結(jié)合（1）中信息得到雙曲線的漸近線方程，整理得，結(jié)合以及點(diǎn)在曲線上，求出直線的方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)△即可得證；（ⅱ）結(jié)合中信息，將雙曲線的漸近線方程與直線的方程聯(lián)立，求出的表達(dá)式，同理得的表達(dá)式，推出，將轉(zhuǎn)化成有關(guān)的不等式，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的垂直平分線上一點(diǎn)，所以，此時(shí)，則點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，所以，則，則曲線的方程為；（2）證明：不妨設(shè)，，，，，，易知曲線的漸近線方程為，，兩式相加得，兩式相減得，所以，即，易知，所以，，則，即，所以直線的方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，此時(shí)，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)△，故與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；（ⅱ）聯(lián)立，解得，同理得，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們?cè)诮獯疬@類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：4．兩點(diǎn)間的距離公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣距離公式：兩點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2）之間的距離由公式：這是平面直角坐標(biāo)系中常用的距離計(jì)算公式．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算距離：1．代入公式：將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入距離公式．2．簡(jiǎn)化計(jì)算：計(jì)算平方差的和，開方得到距離．【命題方向】﹣距離計(jì)算：?？疾橛?jì)算兩點(diǎn)間的直線距離，尤其在幾何題目中經(jīng)常出現(xiàn)．5．雙曲線的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)（focus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．標(biāo)準(zhǔn)方程①（a，b＞0），表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；②（a，b＞0），表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．性質(zhì)這里的性質(zhì)以（a，b＞0）為例講解：①焦點(diǎn)為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準(zhǔn)線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．【解題方法點(diǎn)撥】例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．故答案為：y＝±2x．這個(gè)小題主要考察了對(duì)漸近線的理解，如果實(shí)在記不住，可以把那個(gè)等號(hào)后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個(gè)式子就是它的漸近線．例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點(diǎn)P（4，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，設(shè)雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），∵雙曲線過點(diǎn)P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達(dá)式來，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點(diǎn)在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達(dá)式了．【命題方向】這里面的兩個(gè)例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個(gè)解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對(duì)于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來說，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對(duì)于還剩下的部分，盡量多寫．6．雙曲線的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e＝（e＞1）準(zhǔn)線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝07．雙曲線與平面向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線與平面向量的關(guān)系涉及到向量在雙曲線方程中的應(yīng)用，如切線和法線的計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．向量計(jì)算：利用向量計(jì)算雙曲線上的切線和法線．2．應(yīng)用方程：將向量應(yīng)用到雙曲線的方程中．【命題方向】﹣給定向量，計(jì)算雙曲線上的相關(guān)向量性質(zhì)．﹣利用向量分析雙曲線的性質(zhì)．8．曲線與方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】例：：定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對(duì)定點(diǎn)B分類討論：①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件，因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓．④若點(diǎn)B在圓A上，則滿足條件的點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)B．綜上可知：可以看到滿足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個(gè)點(diǎn)，而不可能是一條直線．故選A．這是一個(gè)非常好的題，一個(gè)題把幾個(gè)很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個(gè)題值得每一個(gè)學(xué)生去好好研究一下．這個(gè)題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個(gè)等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點(diǎn)的距離相等這個(gè)特點(diǎn)，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個(gè)非常有價(jià)值的題．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)非常重要，但也比較難，我們?cè)趯W(xué)習(xí)這個(gè)考點(diǎn)的時(shí)候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會(huì)去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．9．直線與圓錐曲線的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點(diǎn)，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知圓錐曲線C上任意一點(diǎn)到兩定