12.2全等三角形的判定12.2.3用“ASA”和“AAS”判定三角形全等

人教版數學八年級上冊第十二章

全等三角形1.經歷作圖過程，理解基本事實：兩角和夾邊對應相等的兩個三角形全等，體會數學的邏輯性,培養(yǎng)抽象概括能力.2.經歷角角邊判定兩三角形全等的證明過程，發(fā)展推理能力.學習重點：“ASA”“AAS”判定三角形全等.學習難點：選擇恰當的方法判定兩個三角形全等.判定三角形全等的方法？三邊相等兩邊和它們夾角相等兩邊和其中一邊的對角相等兩角和它們的夾邊相等兩角和一角的對邊相等圖形條件是否全等√√×？？如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?321

如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？三角形全等的判定（“角邊角”定理）知識點1學生活動一

【一起探究】ABCABC圖一圖二“兩角及夾邊”“兩角和其中一角的對邊”它們能判定兩個三角形全等嗎？

先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，

使A′B′=AB，

∠A′=∠A，

∠B′=∠B(即使兩角和它們的夾邊對應相等).把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？ACBACBA′B′C′ED作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于點C'.從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？想一想

“角邊角”判定方法文字語言：

有兩角和它們夾邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

“角邊角”判定方法幾何語言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．BCAD利用“角邊角”定理證明三角形全等素養(yǎng)考點1∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD

判定方法：兩角和它們的夾邊對應相等兩個三角形全等．如圖，已知點E，C在線段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF.∵∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF.（ASA）例2

如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求證：AD=AE.ABCDEABCDE分析：證明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B（已知），∴

△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE.如圖，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？為什么？AEDCBBE=CD證明:在△ABE與△ACD中

∠B=∠C,

（已知）

∠A=∠A,（公共角）

AE=AD,

（已知）∴△ABE≌△ACD.（AAS）∴BE=CD.（全等三角形對應邊相等）AEDCB若三角形的兩個內角分別是60°和45°，且45°所對的邊為3cm，你能畫出這個三角形嗎?用“角角邊”判定三角形全等知識點2學生活動二

【一起探究】60°45°60°45°思考：這里的條件與探究1中的條件有什么相同點與不同點？你能將它轉化為探究1中的條件嗎？75°∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′歸納總結兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.簡寫成“角角邊”或“AAS”.例1

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF．利用“角角邊”定理證明三角形全等素養(yǎng)考點1證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又

∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，例2

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC,∴△BDA≌△AEC(AAS).例3

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.

求證：(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.證明：∵△BDA≌△AEC,方法總結：利用全等三角形可以解決線段之間的關系，比如線段的相等關系、和差關系等，解決問題的關鍵是運用全等三角形的判定與性質進行線段之間的轉化．如圖，已知：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD交AD的延長線于點E.求證：BE＝CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED與△CFD中∠BED=∠CFD,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.1.如圖，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是(

)A．∠A＝∠C

B．AD＝CB

C．BE＝DF

D．AD∥BC

B2.已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高.試說明AD＝A′D′，并用一句話說出你的發(fā)現(xiàn).ABCDA′B′C′D′解：∵△ABC

≌△A′B′C′，∴AB=A'B'（全等三角形對應邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對應角相等）.∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'