初中數(shù)學(xué)知識要點及典型例題

雞足山鎮(zhèn)中學(xué)雷鵬軍

第一章實數(shù)

中考要求及命題趨勢

1.正確理解實數(shù)的有關(guān)概念；

2.借助數(shù)軸工具，理解相反數(shù)、絕對值、算術(shù)平方根等概念和性質(zhì)；

3.掌握科學(xué)計數(shù)法表示一個數(shù)，熟悉按精確度處理近似值。

4.掌握實數(shù)的四則運算、乘方、開方運算以及混合運算

5.會用多種方法進(jìn)行實數(shù)的大小比較。

6.用實際生活的題材為背景，結(jié)合當(dāng)今的社會熱點問題考查近似值、

有效數(shù)字、科學(xué)計數(shù)法依然是中考命題的一個熱點。實數(shù)的四則運算、

乘方、開方運算以及混合運算，實數(shù)的大小的比較往往結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行,

并會出現(xiàn)探究類有規(guī)律的計算問題。

應(yīng)試對策

牢固掌握本節(jié)所有基本概念，特別是絕對值的意義，真正掌握數(shù)形

結(jié)合的思想，理解數(shù)軸上的點及實數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系，還要注意

本節(jié)知識點及其他知識點的結(jié)合，以及在日常生活中的運用。

第一講實數(shù)的有關(guān)概念

【回顧及思考】

知識點：有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、非負(fù)數(shù)、相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對

值

1.課標(biāo)要求：

2.使學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固有理數(shù)、實數(shù)的有關(guān)概念.

3.了解有理數(shù)、無理數(shù)以及實數(shù)的有關(guān)概念；理解數(shù)軸、相反數(shù)、

絕對值等概念，了解數(shù)的絕對值的幾何意義。

4.會求一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值，會比較實數(shù)的大小

1.畫數(shù)軸，了解實數(shù)及數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能用數(shù)軸上的點

表示實數(shù)，會利用數(shù)軸比較大小。

2.考查重點：

3.有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、非負(fù)數(shù)概念；

2.相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對值概念；

3.在已知中，以非負(fù)數(shù)a2、|a|.(a20)之和為零作為條件，解決

有關(guān)問題。

實數(shù)的有關(guān)概念

(1)實數(shù)的組成

(2)數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸

(畫數(shù)軸時，要注童上述規(guī)定的三要素缺一個不可)，實數(shù)及數(shù)

軸上的點是一一對應(yīng)的。數(shù)軸上任一點對應(yīng)的數(shù)總大于這個點左

邊的點對應(yīng)的數(shù),

(3)相反數(shù)

實數(shù)的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反

數(shù)，零的相反數(shù)是零).

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱.

(4)絕對值

從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點及原點的距

離

⑸倒數(shù)

實數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是(乘積為1的兩個數(shù)，叫做互為倒數(shù))；零沒

有倒數(shù).

【例題經(jīng)典】

理解實數(shù)的有關(guān)概念

例1①a的相反數(shù)是-，則a的倒數(shù)是.

②實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所

_—---6~

?。?/p>

貝I」化簡Ib-a|+=.

③去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學(xué)記數(shù)法表示為

約.

例2.(-2)3及-23().

(A)相等(B)互為相反數(shù)(C)互為倒數(shù)(D)它們的和為16

分析：考查相反數(shù)的概念，明確相反數(shù)的意義。答案：A

例3.-的絕對值是；-3的倒數(shù)是；的平

方根是

分析：考查絕對值、倒數(shù)、平方根的概念，明確各自的意義，不要混

淆。

答案：，-2口、±2/3

例4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）D

A.-3及B,I-3I及一C.I-3I及D.-3及

分析：本題考查相反數(shù)和絕對值及根式的概念

掌握實數(shù)的分類

例1下列實數(shù)、sin60°、、（）0、3?14159、-、（-）

-2.中無理數(shù)有（）個

A.1B.2C.3D.4

【點評】對實數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡，再根據(jù)結(jié)果

去判斷.

第二講實數(shù)的運算

【回顧及思考】

知識點：有理數(shù)的運算種類、各種運算法則、運算律、運算順序、科

學(xué)計數(shù)法、近似數(shù)及有效數(shù)字。

1.課標(biāo)要求:

2.了解有理數(shù)的加、減、乘、除的意義，理解乘方、某的有關(guān)概

念、掌握有理數(shù)運算法則、運算委和運算順序，能熟練地進(jìn)行有理

數(shù)加、減、乘、除、乘方和簡單的混合運算。

4了解有理數(shù)的運算率和運算法則在實數(shù)運算中同樣適用，復(fù)習(xí)鞏

固有理數(shù)的運算法則，靈活運用運算律簡化運算能止確進(jìn)行實數(shù)

的加、減、乘、除、乘方運算。

5了解近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)的概念，會根據(jù)指定的正確度或有效數(shù)字的

個數(shù)，用四舍五入法求有理數(shù)的近似值(在解決某些實際問題時

也能用進(jìn)一法和去尾法取近似值)，會按所要求的精確度運用近

似的有限小數(shù)代替無理數(shù)進(jìn)行實數(shù)的近似運算。

6了解電子計算器使用基本過程。會用電子計算器進(jìn)行四則運算。

1.考查重點：

2.考查近似數(shù)、有效數(shù)字、科學(xué)計算法；

3.考查實數(shù)的運算；

實數(shù)的運算

⑴加法

同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加；

異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減

去較小的絕對值；

任何數(shù)及零相加等于原數(shù)。

(2)減法a-b=a+(-b)

(3)乘法

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都

得零.即

⑷除法-=a-(b^O)

bb

(5)乘方a"=a、a…__J_aJ

〃個

⑹開方如果*2=d且*20,那么=x；如果x3=a,那么

在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減.有括號

時，先算括號里面.

3.實數(shù)的運算律

(1)加法交換律a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律ab=ba.

(4)乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

(5)分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意實數(shù),運用運算律有時可使運算簡便.

【例題經(jīng)典】

例1.若家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃,冷凍室的溫度比冷藏室的

溫度低22℃,則冷凍室的溫度(℃)可列式計算為

A.4-22=-18B.22-4=18

C.22-(-4)=26D.一4-22=-26

點評：本題涉及對正負(fù)數(shù)的理解、簡單的有理數(shù)運算，試題以應(yīng)用的

方式呈現(xiàn)，同時也強調(diào)“列式”，即過程。選(A)

例2.我國宇航員楊利偉乘“神州五號”繞地球飛行了14周，飛行

軌道近似看作圓，其半徑約為6.71X103千米，總航程約為(兀取

3.14,保留3個有效數(shù)字)()

A.5.90X105千米B.5.90X106千米

C.5.89X105千米D.5.89X106千米

分析：本題考查科學(xué)記數(shù)法答案：A

例3.化簡的結(jié)果是().

(A)V7-2(B)V7+2(C)3(V7-2)(D)3(S+2)

分析：考查實數(shù)的運算。答案：B

例4.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列

式子中正確的有().

①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac

(A)l個(B)2個(C)3個(D)4個

分析：考查實數(shù)的運算，在數(shù)軸上比較實數(shù)的大小。答案：C

例5計算：-+(—2)2X(-1)0-|-|.

【點評】按照運算順序進(jìn)行乘方及開方運算。

例5.校學(xué)生會生活委員發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在食堂吃午餐時浪費現(xiàn)象十分嚴(yán)

重，于是決定寫一張標(biāo)語貼在食堂門口，告誡大家不要浪費糧食.

請你幫他把標(biāo)語中的有關(guān)數(shù)據(jù)填上.（已知1克大米約52粒）

如果每人每天浪費1粒大米，全國13億人口，每天就要大約浪費

噸大米

如果每人每天浪費1粒大米，全國13億人口，每天就要大約浪費

噸大米

分析：本題考查實數(shù)的運算。答案：25

例7.陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級或二級臺階，

玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺階數(shù)為一級、二級、三級……逐

步增加時,樓梯的上法數(shù)依次為；1,2,3,5,8,13,21,...-

（這就是著名的斐波那契數(shù)列）.請你仔細(xì)觀察這列數(shù)中的規(guī)律后

回答：上10級臺階共有種上法.

分析：歸納探索規(guī)律：后一位數(shù)是它前兩，立數(shù)之和

答案：89

例&觀察下列等式（式子中的是一種數(shù)學(xué)運算符號）

1!=1,2!=2X1,3!二3X2X1,4!=4X3X2X1,???，

第二章計算：二

第三章分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)100!=100*99*98!答

案：9900

第四章代數(shù)式

中考要求及命題趨勢

掌握整式的有關(guān)知識，包括代數(shù)式，同類項、單項式、多項式等;

2、熟練地進(jìn)行整式的四則運算，基的運算性質(zhì)以及乘法公式要熟練

掌握，靈活運用；

3.熟練運用提公因式法及公式法進(jìn)行分解因式；

4.了解分式的有關(guān)概念式的基本性質(zhì)；

5.熟練進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方的運算和應(yīng)用。

應(yīng)試對策

掌握整式的有關(guān)概念及運算法則，在運算過程中注意運算順序，

掌握運算規(guī)律，掌握乘法公式并能靈活運用，在實際問題中，抽象

的代數(shù)式以及代數(shù)式的應(yīng)用題值得重視。要掌握并靈活運用分式的基

本性質(zhì)，在通分和約分時都要注意分解因式知識的應(yīng)用?；馇?/p>

殖題，一要注意整體思想，二要注意解題技巧，對于分式的應(yīng)用題,

要能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。

第一講整式

【回顧及思考】

知識點

代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項、合并同類項、去括號及去括號

法則、幕的運算法則、整式的加減乘除乘方運算法則、乘法公式、正

整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲。

課標(biāo)要求

1、了解代數(shù)式的概念，會列簡單的代數(shù)式。理解代數(shù)式的值的概

念，能正確地求出代數(shù)式的值；

2、理解整式、單項式、多項式的概念，會把多項式按字母的降鼎

(或升累)排列，理解同類項的概念，會合并同類項；

3、掌握同底數(shù)基的乘法和除法、塞的乘方和積的乘方運算法則，

并能熟練地進(jìn)行數(shù)字指數(shù)累的運算；

4、能熟練地運用乘法公式(平方差公式，完全平方公式及(x+a)

(x+b)=x2+(a+b)x+ab)進(jìn)行運算；

掌握整式的加減乘除乘方運算，會進(jìn)行整式的加減乘除乘方的簡單

混合運算。

考查重點

L代數(shù)式的有關(guān)概念.

(1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)

把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子.單獨的一個數(shù)或者一個字母

也是代數(shù)式.

(2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的

結(jié)果p叫做代數(shù)式的值.

求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以

化簡，要先化簡再求值.

(3)代數(shù)式的分類

2.整式的有關(guān)概念

(1)單項式：只含有數(shù)及字母的積的代數(shù)式叫做單項式.

對于給出的單項式，要注意分析它的系數(shù)是什么，含有哪些字母,

各個字母的指數(shù)分別是什么。

(2)多項式：幾個單項式的和，叫做多項式

對于給出的多項式，要注意分析它是幾次幾項式，各項是什么，對

各項再像分析單項式那樣來分析

(3)多項式的降幕排列及升嘉排列

把一個多項式技某一個字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來，叫

做把這個多項式按這個字母降塞排列

把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來，叫

做把這個多項式技這個字母升幕排列，

給出一個多項式，要會根據(jù)要求對它進(jìn)行降嘉排列或升嘉排列.

(4)同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類頃.

要會判斷給出的項是否同類項，知道同類項可以合并.即其中

的X可以代表單項式中的字母部分，代表其他式子。

3.整式的運算

(1)整式的加減：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括

起來，再用加減號連接.整式加減的一般步驟是:

⑴如果遇到括號.按去括號法則先去括號：括號前是“十”號,

把括號和它前面的號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是

“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉.括號里各項都改變符號.

（ii）合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù).

字母和字母的指數(shù)不變.

（2）整式的乘除：單項式相乘（除），把它們的系數(shù)、相同字母

分別相乘（除），對于只在一個單項式（被除式）里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為積（商）的一個因式相同字母相乘（除）要用到同底數(shù)

帚的運算性質(zhì)：

多項式乘（除）以單項式，先把這個多項式的每一項乘（除）以這個

單項式，再把所得的積（商）相加.

多項式及多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項

式的每一項，再把所得的積相加.

遇到特殊形式的多項式乘法，還可以直諼算：

（3）整式的乘方

單項式乘方，把系數(shù)乘方，作為結(jié)果的系數(shù)，再把乘方的次數(shù)及

字母的指數(shù)分別相乘所得的幕作為結(jié)果的因式。

單項式的乘方要用到幕的乘方性質(zhì)及積的乘方性質(zhì)：

多項式的乘方只涉及

【例題經(jīng)典】

代數(shù)式的有關(guān)概念

例1.已知一IVbVO,0<a<l,那么在代數(shù)式a-b、a+b、

a+b2.a2+b中，對任意的a、b,對應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是()

(A)a+b(B)a—b(C)a+6(D)

a^b

評析：本題一改將數(shù)值代入求值的面貌，要求學(xué)生有良好的數(shù)感。選

(B)

同類項的概念

例1若單項式2am+2nbn-2m+2及a5b7是同類項，求nm的值.

【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得解出即可

例2(05寶應(yīng))一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、

廚房的面積和是()

A.4xyB.3xyC.2xyD.xy

評析：本題是一道數(shù)形結(jié)合題，考查了平面圖形的面積的計算、合并

同類項等知識，同時又隱含著對代數(shù)式的理解。選(B)

累的運算性質(zhì)

例1(1)am?an=(m,n都是正整數(shù))；

(2)am-ran=_______(aWO,m,n都是正整數(shù)，且m>n),特別地：

aO=l(aWO),a-p=(aWO,p是正整數(shù))；

(3)(am)n=(m,n都是正整數(shù))；(4)(ab)n=(n

是正整數(shù))

(5)平方差公式：(a+b)(a-b)=.(6)完全平方公式:

(a±b)2=.

【點評】能夠熟練掌握公式進(jìn)行運算.

例2.下列各式計算止確的是().

(A)(a3)2=a7(B)2x2=—(c)4a3?2a2=8a6(D)as4-a2=a6

2x

分析：考查學(xué)生對基的運算性質(zhì)及同類項法則的掌握情況。答案：D

例3.下列各式中，運算正確的是()

A.a2a3=a6B.(一a+2b)2=(a-2b)2

c.(a+bWO)D.

分析：考查學(xué)生對幕的運算性質(zhì)答案：B

例4.(泰州市)下歹IJ運算正確的是

A.;B.(l2x)3=—2x3;

C.(a—b)(―a+b)二一a2—2ab—b2;D.

評析：本題意在考查學(xué)生幕的運算法則、整式的乘法、二次根式

的運算等的掌握情況。選(D)

整式的化簡與運算

例5計,算：9xy?(-x2y)二；

(2019年江蘇省)先化簡，再求值：

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]4~2x其中x=3,y=~l.5.

【點評】本例題主要考查整式的綜合運算，學(xué)生認(rèn)真分析題目中的代

數(shù)式結(jié)構(gòu)，靈活運用公式，才能使運算簡便準(zhǔn)確.

第二講因式分解及分式

【回顧及思考】

因式分解

知識點

因式分解定義，提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法、二次三項式

的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步驟。

課標(biāo)要求

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因

式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，

能把簡單多項式分解因式。

考查重點及常見題型

考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重

點考查的分式提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法及它們的綜合運

用。習(xí)題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。

因式分解知識點

多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積.分解

囚式要進(jìn)行到每一個囚式都不能再分解為止.分解囚式的常用方法

有：

(1)提公因式法

如多項式am+bm+cm=+〃+c),

其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是?個單項式,

也可以是一個多項式.

⑵運用公式法，即用

寫出結(jié)果.

(3)十字相乘法

對于二次項系數(shù)為1的二次三項式尋找滿足ab=q,a+b=p的

a,b,如有，則對于一般的二次三項式尋找滿足

ala2=a,clc2=c,alc2+a2cl=b的al,a2,cl,c2,如有，則(4)

分組分解法：把各項適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分

解因式在各組之間進(jìn)行.

分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項

都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改

變符號.

(5)求根公式法：如果有兩個根XI,X2,那么

【例題經(jīng)典】

掌握因式分解的概念及方法

例1.分解因式：

①x'T=;

(2)X2-81=;

③x?+2x+l=;

@a2-a+-=_________________;

4

(§)a3-2a2+az:.

【點評】運用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可。

例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的結(jié)果是..

分析：考查運用提公因式法進(jìn)行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)

例3.分解因式：a2—4a+4=

分析：考查運用公式法分解因式。答案：(a-2)2

分式

知識點：

分式，分式的基本性質(zhì)，最簡分式，分式的運算，零指數(shù)，負(fù)

整數(shù)，整數(shù)，整數(shù)指數(shù)累的運算

課標(biāo)要求：

了解分式的概念，會確定使分式有意義的分式中字母的取值范圍。掌

握分式的基本性質(zhì)，會約分，通分。會進(jìn)行簡單的分式的加減乘除乘

方的運算。掌握指數(shù)指數(shù)某的運算。

考查重點及常見題型：

1.考查整數(shù)指數(shù)基的運算，零運算，有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中,

如：下列運算正確的是()

(A)-4°=1(B)(-2)-二J(C)(-3l,r,,)2-9"rn(D)(a+b)-1=a^b-1

2.考查分式的化簡求值。在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計算就或化簡

求值，有關(guān)習(xí)題多為中檔的解答題。注意解答有關(guān)習(xí)題時，要按

照試題的要求，先化簡后求值，化簡要認(rèn)真仔細(xì)，如：

化簡并求值:

□.□+（口-2）,其中x=cos30°,y=sin90°

知識要點

1.分式的有關(guān)概念

設(shè)A.B表示兩個整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意

分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義

分子及分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式,

要進(jìn)行約分化簡

2.分式的基本性質(zhì)

2=生"4=4衛(wèi)（M為不等于零的整式）

BBxMBB+M

3.分式的運算

（分式的運算法則及分?jǐn)?shù)的運算法則類似）.

（異分母相加，先通分）；

4.零指數(shù)

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)

注意正整數(shù)累的運算性質(zhì)二產(chǎn)：（"0）.

（am）n=amn,

（ab）n=anhn

可以推廣到整數(shù)指數(shù)累，也就是上述等式中的m、n可以是0或負(fù)整

數(shù).

熟練掌握分式的概念：性質(zhì)及運算

例4（1）若分式的值是零，則X=.

【點評】分式值為0的條件是：有意義且分子為0.

（2）同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是

（）

A.xW—4且xW—2B.x=-4或x=2

C.x=-4D.x=2

（3）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（）

A.擴(kuò)大10倍B.縮小10倍C.不變D.擴(kuò)大2倍

例5:化簡（）?的結(jié)果是,

分析：考查分式的混合運算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運算法則。答案:

例6.已知a二,求的值.

分析：考查分式的四則運算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運算法則，分解因

式進(jìn)行化簡。

答案：a=2-<1,原式=a-l+=3.

例7.已知|a-4|+=0,計算的值

答案：由條件，得a-4=0且b-9=0???a=4b=9

原式馬42

當(dāng)a=4,6=9時,原式=16/81

例8.計算（x—y+&X）（x+y-f更）的正確結(jié)果是（）

x-yj

Ay2-x2B.x2-y2c.x2-4y2D.4x2-y2

分析：考查分式的通分及四則運算。答案：B

因式分解與分式化簡綜合應(yīng)用

例1先化簡代數(shù)式：，然后選取一個使原式有意義的x的值代入求

值.

【點評】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無意義.

例2、（05河南）有一道題“先化簡，再求值：，其中?！毙×嶙?/p>

題時把“”錯抄成了“”，但她的計算結(jié)果也是正確的，請你解

釋這是怎么回事？

點評：化簡可發(fā)現(xiàn)結(jié)果是，因此無論還是其計算結(jié)果都是7。

可見現(xiàn)在的考試特別重視應(yīng)用和理解。

第三講數(shù)的開方及二次根式

【回顧及思考】

K知識點U

平方根、立方根、算術(shù)平方根、二次根式、二次根式性質(zhì)、最簡二次

根式、

同類二次根式、二次根式運算、分母有理化

K課標(biāo)要求X

1.理解平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平

方根、立方根和算術(shù)平方根。會求實數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方

根（包括利用計算器及查表）；

2.了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，會辨別

最簡二次根式和同類二次根式。掌握二次根式的性質(zhì)，會化

簡簡單的二次根式，能根據(jù)指定字母的取值范圍將二次根

式化簡;

3.掌握二次根式的運算法則，能進(jìn)行二次根式的加減乘除四則

運算，會進(jìn)行簡單的分母有理化。

內(nèi)容分析

1.二次根式的有關(guān)概念

(1)二次根式

式子叫做二次根式.注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.

⑵最簡二次根式

被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因

數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.

(3)同類二次根式

化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二

次根式.

2.二次根式的性質(zhì)

3.二次根式的運算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把

同類三次根式分別合并.

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各個因式的被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即

二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進(jìn)行.

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

那么這兩個三次根式互為有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母

的有理化因式，把分母的根號化去(或分子、分母約分).把分母的根

號化去，叫做分母有理化.

K考查重點及常見題型X

1.考查平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念。有關(guān)試題在試題中出

現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型多為選擇題或填空題。

2.考查最簡二次根式、同類二次根式概念。有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選

擇題中。

3.考查二次根式的計算或化簡求值，有關(guān)問題在中考題中出現(xiàn)的頻

率非常高，在選擇題和中檔解答題中出現(xiàn)的較多。

【例題經(jīng)典】

理解二次根式的概念和性質(zhì)

例1(1)式子有意義的x取值范圍是.

【點評】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開方數(shù)為非

負(fù).

(2)已知a為實數(shù)，化簡.

【點評】要注意挖掘其隱含條件：a<0.

掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法

例2下列根式中能及G合并的二次根式為（）

【點評】抓住最簡二次根式的條件，結(jié)合同類二次根式的概念去解決

問題.

掌握二次根式化簡求值的方法要領(lǐng)

例3先化簡，再求值：

若a=4+,b=4-,求.

【點評】注意對求值式子進(jìn)行變形化簡約分，再對已知條件變形整體

代入.

第三章方程（組）

中考要求及命題趨勢

一元一次方程及一元一次方程組是初中有關(guān)方程的基礎(chǔ)，在各地

中考題中，多數(shù)以填空、選擇和解答題的形式出現(xiàn)，大多考查一

元一次方程及一次方程組的概念和解法，一般占5%左右。方程和方

程組的應(yīng)用題是中考的必考題，考查學(xué)生建模能力和分析問題和解

決問題的能力，以貼進(jìn)生活的題目為主°片10%左右C

應(yīng)試對策

1、要弄清一元一次方程及二元一次方程組的定義，方程（組）的

解（整數(shù)解）等概念。

2、要熟練掌握一元一次方程，二元一次方程組的解法。

3、要弄清一元一次方程及一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系。

4、要弄清一元二次方程的定義，ax+bx+c=O(a0),a,b,c均為常

數(shù)，尤其a不為零要切記。

5、要弄清一元二次方程的解的概念。

6、要熟練掌握一元二次方程的幾種解法，如因式分解法、公式法

等，弄清化一元二次方程為一元一次方程的轉(zhuǎn)化思想。

7、要加強一元二次方程及二次函數(shù)之間的綜合的訓(xùn)練。

8、讓學(xué)生理解化分式方程為整式方程的思想。

9、熟練掌握解分式方程的方法。

10、讓學(xué)生學(xué)會行程、工程、儲蓄、打折銷售等基本類型應(yīng)用題的

分析。

讓學(xué)生掌握生活中問題的數(shù)學(xué)建模的方法，多做一些綜合性的訓(xùn)

練。

K知識點X

等式及基本性質(zhì)、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二

次方程、簡單的高次方程

K課標(biāo)要求U

1.理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

2.理解等式的基本性質(zhì)，能利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行方程的變形,

掌握解一元一次方程的一般步驟，能熟練地解一元一次方程；

3.會推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，理解公式法及用直接開平方法、

配方法解一元二次方程的關(guān)系，會選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ炀毜亟庖辉?/p>

二次方程；

了解高次方程的概念，會用因式分解法或換元法解可化為一元

一次方程和一元二次方程的簡單的高次方程；

體驗“未知”及“已知”的對立統(tǒng)一關(guān)系。

內(nèi)容分析

1.方程的有關(guān)概念

含有未知數(shù)的等式叫做方程.使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的

值叫做方程的解（只含有一個未知數(shù)的方程的解，也叫做根）.

2.一次方程（組）的解法和應(yīng)用

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為零的方程，叫

做一元一次方程.

解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和

系數(shù)化成1.

3.一元二次方程的解法

（!）直接開平方法

形如（mx+n）2=r（r2。）的方程，兩邊開平方，即可轉(zhuǎn)化為兩個一

元一次方程來解，這種方法叫做直接開平方法.

(2)把一元二次方程通過配方化成

(mx+n)2=r(r^o)

的形式，再用直接開平方法解，這種方法叫做配方法.

(3)公式法

通過配方法可以求得一元二次方程

ax2+bx+c=0(a^0)

的求根公式：

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)因式分解法

如果一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)的左邊可以分解為兩個一次

因式的積，那么根據(jù)兩個因式的積等于0,這兩個因式至少有一個為

0,原方程可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，這種方法叫做因式分解

法.

K考查重點及常見題型H

考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有關(guān)習(xí)題常出

現(xiàn)在填空題和選擇題中。

第一講一次方程(組)及應(yīng)用

【回顧及思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元一次方程的解法步驟

例1解方程：X-

【點評】按去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,五步

進(jìn)行

掌握二元一次方程組的解法

例2已知方程組的解為，求2a-3b的值.

【點評】將代入原方程組后利用加減法解關(guān)于a,b的方程組.

例3.某電視臺在黃金時段的2min廣告時間內(nèi)，計劃插播長度為15s

和30s的兩種廣告，15s廣告每播1次收費0.6萬元，30s廣告

每播1次收費1萬元。若要求每種廣告播放不少于2次。問：

⑴兩種廣告的播放次數(shù)有幾中安排方式？

(2)電視臺選擇哪種方式播放收益較大？

點評：本題只能列出一個二元一次方程，因此需要學(xué)生對二元

一次方程的解有深刻的理解。體現(xiàn)了“從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變”

的新命題理念。

解：(1)設(shè)15s廣告播放x次，30s廣告播放y次。

15x+30y=120而x,y均為不小于2的正整數(shù)，

或產(chǎn)；

(2)方案14.4萬元；方案24.2萬元。

一次方程的應(yīng)用

例L下圖是學(xué)?；瘜W(xué)實驗室用于放試管的木架，在每層長29cm的

木條上鉆有6個圓孔，每個圓孔的直徑均為2.5cm.兩端及圓

孔邊緣及任何相鄰兩孔邊緣之間的距離都相等并設(shè)為Xcm,則x

為（）

A.2B.2.15C.2.33D,2.36

分析：考查列一元一次方程并解方程

答案：A

例2據(jù)某統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，在我國的664座城市中，按水資源情況可分

為三類：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市，其中，暫

不缺水城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城巾數(shù)的4倍少50座，一般缺水城巾是嚴(yán)

重缺水城市數(shù)的2倍，求嚴(yán)重缺水城市有多少座？

【點評】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題.

例4.小紅家春天粉刷房間，雇用了5個工人，干了10天完成；用了

某種涂料150升，費用為4800元；粉刷的面積是150nl2.最后

結(jié)算工錢時，有以下幾種方案：

方案一：按工算，每個工30元；（1個工人干1天是一個工）；

方案二：按涂料費用算，涂料費用的30%作為工錢；

方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢12元.

請你幫小紅家出主意，選擇方案付錢最合算（最?。?

分析：考查方程和方程的應(yīng)用，方案一：5*10*30+4800=6300元方

案二：4800*30爐1440元，方案三：12*150=1800元

答案：方案二

第二講一元二次方程及應(yīng)用

【回顧及思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元二次方程的解法

例1解方程：

(1)3x2+8x-3=0；(2)9X2+6X+1=0；(3)x-2=x(x-2)；(4)

X2-26x+2=0

例2.用換元法解方程(x-)2-3x++2=0時，如果設(shè)x-二y,那么

原方程可轉(zhuǎn)化為()D

(A)y2+3y+2=0(3)y2—3y-2=0(C)y2+3y-2=0(D)y2-3y+2=0

分析：考查用換元法解方程答案：D

例3.若關(guān)于x的方程x2+px+l=0的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則

P的值是,

分析：一個實數(shù)的倒數(shù)是它的本身，這個實數(shù)是±1

答案：士2

例4.關(guān)于x的一元一次方程的兩根為，，則分解因式的結(jié)

果為;

分析：考查一元二次方程和分解因式的綜合。將xl.x2的值代入方程

求出b、c

答案：(x-1)(x-2)

會判斷一元二次方程根的情況

例1不解方程判別方程2X2+3X-4=0的根的情況是()

A.有兩個相等實數(shù)根；B.有兩個不相等的實數(shù)根；

C.只有一個實數(shù)根；D.沒有實數(shù)根

【點評】根據(jù)b2-4ac及0的大小關(guān)系來判斷

例2已知一元二次方程xMx+k=O有兩個不相等的實數(shù)根

(1)求k的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程

x2-4x+k=0及x2+mx-l=0有一個相同的根，求此時m的值.點

評：本題考查了解一元二次方程的解法、根的判別式、不等式的

整數(shù)解等知識點。

一元二次方程的應(yīng)用

例3某印刷廠1,月份印刷了書籍60,萬冊，?第一季度共印刷了200

萬冊，問2.3月份平均每月的增長率是多少？

【點評】設(shè)2、3月份平均每月的增長率為x,即60+60(1+x)+60

(1+x)2=200

第三講分式方程及應(yīng)用

【回顧及思考】

K知識點》

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

[[課標(biāo)要求》

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把簡單的分式方程、

二次根式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程、一元二次方程的一般方

法，會用換元法解方程，會檢驗。

內(nèi)容分析

1.分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步驟是：

(i)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方

程；

(ii)解這個整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最

簡公分母不為零的根是原方程的根，使最簡公分母為零的根是增根,

必須舍去.

在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，驗根只需代入員簡公分母.

(2)換元法

用換元法解分式方程，也就是把適當(dāng)?shù)姆质綋Q成新的未知數(shù),

求出新的未知數(shù)后求出原來的未知數(shù).

2.二次根式方程的解法

(1)兩邊平方法

用兩邊平方法解無理方程的一般步驟是:

(i)方程兩邊都平方，去掉根號，化成有理方程；

(ii)解這個有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程進(jìn)行檢驗，如果適合，就是原

方程的根，如果不適合，就是增根，必須舍去.

在上述步驟中，兩邊平方是關(guān)鍵，驗根必須代入原方程進(jìn)行.

(2)換元法

用換元法解無理方程，就是把適當(dāng)?shù)母栂屡_有未知數(shù)的式子換成

新的未知數(shù)，求出新的未知數(shù)后再求原來的未知數(shù).

K考查重點及常見題型』

考查換元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查換元的能

力，常出現(xiàn)在選擇題中另一部分習(xí)題考查完整的解題能力，

習(xí)題出現(xiàn)在中檔解答題中。

【例題經(jīng)典】

理解分式方程的有關(guān)概念

例1指出下列方程中，分式方程有()

①‘二5②二-二二5③五X?-5x4)④二工―立+3:0

2x3/23V25x

A.1個B.2個C.3個D.4個

【點評】根據(jù)分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知數(shù).

掌握分式方程的解法步驟

例2解方程：

(1),j

6x-22\-3x

(2)—=—o

x-\x+\

【點評】注意分式方程最后要驗根。

例3.解方程：

分析：考查解分式方程答案：xl=3,x2=4/3都是原方程的根

例4(1)、用換元法解分式方程+=3時，設(shè)=y,原方程變形為

()

(A)y2-3y+l=0(B)y2+3y+l=0(C)y2+3y-l=0(D)y2-y

+3=0

(2)、用換元法解方程x2+8x+=23,若設(shè)y=,則原方程可化

為()

(A)y2+y+12=0(B)y2+y-23=0(C)y2+y-12=0(D)y2+y

-34=0

分式方程的應(yīng)用

例5某服裝廠裝備加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技

術(shù)，使每天的工作效率是原來的2倍，結(jié)果共用9天完成任務(wù)，?求

該廠原來每天加工多少套演出服.

【點評】要用到關(guān)系式：工作效率=O

例6某公路上一路段的道路維修工程準(zhǔn)備對外招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙

兩個工程隊競標(biāo)，競標(biāo)資料上顯示：若由兩隊合做，6天可

以完成，共需工程費用10200元；若單獨完成此項工程，甲

隊比乙隊少用5天.但甲隊每天的工程費用比乙隊多300元,

工程指揮部決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，

若從節(jié)省資金的角度考慮，應(yīng)該選擇哪個工程隊?為什么？

解:設(shè)甲隊每天費用為a元，乙隊每天費用為b元，則

(a+b)X6=10200a-b=300解：設(shè)甲隊獨做需x天完成，則乙隊

獨做(x+5)天完成.

由題意，列方程.

整理得x2-7x-30=0,解之得xl=10,x2=-3.

經(jīng)檢驗xVx2都是原方程的根，但x2=-3不合題意舍去.

???甲隊獨做需10天完成，

乙隊獨做需15天完成.解之得a=1000b=700

所以甲隊獨做的費用為1000X10=10000(元)，

乙隊獨做的費用為700X15=10500(元).

V10500>10000.

.若從節(jié)省資金的角度考慮，應(yīng)選擇甲工程隊.

例7為滿足用水量不斷增長的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三

個水廠，這三個水廠的日供水量共計11.8萬立方米，其中乙水廠的

日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水量比甲水廠日

供水量的一半還多1萬立方米.

(1)求這三個水廠的日供水量各是多少萬立方米？

(2)在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運走600噸土石,

運輸公司派出A型、B型兩種載重汽車，A型汽車6輛、B型汽車

4輛，分別運5次，可把土石運完；或者A型汽車3輛、B型汽

車6輛，分別運5次，也可把土石運完.那么每輛A型汽車、每

輛B型汽車每次運土石各多少噸？(每輛汽車運土石都以標(biāo)準(zhǔn)載重

量滿載)

解：(1)設(shè)甲水廠的日供水量是x萬立方米，則乙水廠的日供水量

是3x萬立方米，丙水廠的日供水量是(x/2+l)萬立方米.

由題意得：x+3x+x/4+l=ll.8解得：x=2.4

答：甲水廠日供水量是2?4萬立方米，乙水廠日供水量是7?2萬立

方米，丙水廠日供水量是2?2萬立方米.

(2)每輛A型汽車每次運土石10噸、每輛B型汽車每次運土石15噸.

第四講列出方程(組)解應(yīng)用題

K知識點X

列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟、列方程（組）解應(yīng)用題的核心、

應(yīng)用問題的主要類型

K課標(biāo)要求?能夠列方程（組）解應(yīng)用題

內(nèi)容分析

列出方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟是：

（i）弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母表示題目中的

一個（或幾個）未知數(shù)；

（ii）找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個（或幾個）相等關(guān)系；

（iii）根據(jù)找出的相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程

（或方程組）；

（iv）解這個方程（或方程組），求出未知數(shù)的值；

（v）寫出答案（包括單位名稱）.

K考查重點及常見題型力

考查列方程（組）解應(yīng)用題的能力，其中重點是列一元二次方程或列

分式方程解應(yīng)用題，習(xí)題以工程問題、行程問題為主，近幾年出

現(xiàn)了一些經(jīng)濟(jì)問題，應(yīng)引起注意

一、填空題

1.某商品標(biāo)價為165元，若降價以九折出售（即優(yōu)惠10%）,仍可

獲利10%（相對于進(jìn)貨價），則該商品的進(jìn)貨價是

2.甲、乙二人投資合辦一個企業(yè)，并協(xié)議按照投資額的比例分配所得

利潤，已知甲及乙投資額的比例為3:4,首年的利潤為38500元，則

甲、乙二人可獲得利潤分別為元和元

3.某公司1996年出口創(chuàng)收135萬美元，2019年、2019年每年都比上

一年增加a%,那么，2019年這個公司出口創(chuàng)匯萬美元

4.某城市現(xiàn)有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口將增加1%,求這個城市現(xiàn)有的城鎮(zhèn)人

口數(shù)及農(nóng)村人口數(shù)，若設(shè)城鎮(zhèn)現(xiàn)有人口數(shù)為x萬，農(nóng)村現(xiàn)有人口y萬,

則所列方程組為

5.在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上，需要用含鹽16%的鹽水來選種，現(xiàn)有含鹽24%的

鹽水200千克，需要加水多少千克？

解：設(shè)需要加水x千克根據(jù)題意，列方程為，解

這個方程，得答：

6.某電視機廠1994年向國家上繳利稅400萬元，1996年增加到484

萬元，則該廠兩年上繳的利稅平均每年增長的百分率

7.某種商品的進(jìn)貨價每件為x元，零售價為每件900元，為了適應(yīng)市

場競爭，商店按零售價的九折降價并讓利40元銷售，仍可獲利10%

（相對于進(jìn)價），則乂=元

8.一個批發(fā)及零售兼營的文具店規(guī)定，凡是一次購買鉛筆301支以

上（包括301支），可以按批發(fā)價付款；購買300支以下（包括300

支）只能按零售價付款，現(xiàn)有學(xué)生小王來購買鉛筆，如果給學(xué)校初三

年級學(xué)生每人買1支，則只能按零售價付款，需用（m2—1）元（m為

正整數(shù)，且小2—1>100）；如果多買60支，則可以按批發(fā)價付款，同

樣需用（m2—1）元.

（1）設(shè)這個學(xué)校初三年級共有x名學(xué)生，則（a）x的取值范圍應(yīng)為

（b）鉛筆的零售價每支應(yīng)為元，批發(fā)價每支應(yīng)為

元

（用含x,1n的代數(shù)式表示）

（2）若按批發(fā)價每購15支比按零售價每購15少付款1元，試求這個

學(xué)校初三年級共有多少名學(xué)生，并確定m的值。

1.二.列方程解應(yīng)用題

2.某商店運進(jìn)120臺空調(diào)準(zhǔn)備銷售，由于開展了促銷活動，每

天比原計劃多售出4臺，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)，原計劃每

天銷售多少臺？

3.我省1995年初中畢業(yè)會考（中考）六科成績合格的人數(shù)為8

萬人，2019年上升到9萬人，求則兩年平均增長的百分率（取

=1.41）

甲、乙兩隊完成某項工作，甲單獨完成比乙單獨完成快15天，如

果甲單獨先工作10天，再由乙單獨工作15天，就可完成這

項工作的，求甲、乙兩人單獨完成這項工作各需多少天？

某校校長暑期將帶領(lǐng)該校市級“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行

社說：“如果校長買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價優(yōu)

待”，乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)全部按全票價的6折優(yōu)

惠（即按全票價的60%收費），若全票為240元

(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為X,甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙,

分別計算兩家旅行社的收費(建立表達(dá)式)

(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)為多少時，兩家旅行社的收費一樣？

4.(3)就學(xué)生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠？

5.現(xiàn)有含鹽15%的鹽水內(nèi)400克，張老帥要求將鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)

變?yōu)?2%。某同學(xué)由于計算失誤，加進(jìn)了110克的水，請你通過

列方程計算說明這位同學(xué)加多了，并指出多加了多少克的水？

6.甲步行上午6時從A地出發(fā)于下午5時到達(dá)B地，乙騎自行車

上午10時從A地出發(fā)，于下午3時到達(dá)B地，問乙在什么時間追

上甲的？

7.中華中學(xué)為迎接香港回歸，從1994年到2019年內(nèi)師生共植樹

2019棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如

果1996年和2019年植樹棵數(shù)的年增長率相同，那么該校2019年

植樹多少棵？

要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一

邊靠著原有的一條墻，墻長為am,另三邊用竹籬笆圍成，如圖，

如果籬笆的長為35m,(1)求雞場的長及寬各為多少？(2)

題中墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？

永盛電子有限公司向工商銀行申請了甲乙兩種款，共計68萬元，每

年需付出利息8.42萬元，甲種貸款每年的利率是12%,乙種貸

款每年的利率是13%,求這兩種貸款的數(shù)額各是多少？

10.小明將勤工儉學(xué)掙得的100元錢按一年期存入少兒銀行，到期后

取出50元用來購買學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部

按一年期存入。若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金

和利息共66元，求這種存款的年利率。

11.某公司向銀行貸款40萬元，用來生產(chǎn)某種新產(chǎn)品，已知該貸款

的年利率為15%（不計復(fù)利，即還貸前每年息不重復(fù)計息），每

個新產(chǎn)品的成本是2.3元，售價是4元，應(yīng)納稅款為銷售額的

10%。如果每年生產(chǎn)該種產(chǎn)品20萬個，并把所得利潤（利潤=

銷售額一成本一應(yīng)納稅款）用來歸還貸款，問需幾年后能一次還

清？

12.某車間在規(guī)定時間內(nèi)加工130個零件，加工了40個零件后，由于

改進(jìn)操作技術(shù)，每天比原來計劃多加工10個零件，結(jié)果總共用

5天完成任務(wù)。求原計劃每天加工多少個零件？

13.東西兩車站相距600千米，甲車從西站、乙車從東站同時同速相

向而行，相遇后，甲車以原速，乙車以每小時比原速快10千米

的速度繼續(xù)行駛，結(jié)果，當(dāng)乙車到達(dá)西站1小時后，甲車也到

達(dá)東站，求甲、乙兩車相遇后的速度？

14.一個水池有甲、乙兩個進(jìn)水管，單獨開放甲管注滿水池比單獨開

放乙管少用10小時。如果單獨開放甲管10小時后，加入乙管,

需要6小時可把水池注滿。問單獨開放一個水管，各需多少小時

才能把水池注滿？

15.某商店1995年實現(xiàn)利稅40萬元（利稅=銷售金額一成本），1996

年由于在銷售管理上進(jìn)行了一系列改革，銷售金額增加到154

萬元，成本卻下降到90萬元，（1）這個商店利稅1996年比1995

年增長百分之幾？

（2）若這個商店1996年比1995年銷售金額增長的百分?jǐn)?shù)和成本

下降的百分?jǐn)?shù)相同，求這個商店銷售金額1996年比1995年增長百分

之兒？

16.甲、乙兩輛汽車同時從A地出發(fā)，經(jīng)C地去B地，已知C地離B

地180千米，出發(fā)時甲車每小時比乙車多行駛5千米。因此，乙

車經(jīng)過C地比甲車晚半小時，為趕上甲車，乙車從C地起將車速

每小時增加10千米，結(jié)果兩從同時到達(dá)B地，求（1）甲、乙兩

從出發(fā)時的速度；（2）A.B兩地間的距離.

17.某項工程，甲、乙兩人合作，8天可以完成，需費用3520元；若

甲單獨做6天后，剩下的工程由乙獨做，乙還需12天才能完成,

這樣需要費用3480元，問：（1）甲、乙兩人單獨完成此項工程,

各需多少天？

（2）甲、乙兩人單獨完成此項工程，各需費用多少元？

18.某河的水流速度為每小時2千米，A、B兩地相距36千米，一動

力橡皮船從A地出發(fā)，逆流而上去B地，出航后1小時，機器發(fā)生故

障，橡皮船隨水向下漂移，30分鐘后機器修復(fù)，繼續(xù)向B地開去，但

船速比修復(fù)前每小忖慢了1千米，到達(dá)B地比預(yù)定時間遲了54分鐘，

求橡皮船在靜水中起初的速度.

第四章不等式及不等式組

中考要求及命題趨勢

L不等式，一元一次不等式（組）及其解集的概念。

2.不等式的基本性質(zhì)，一元一次不等式（組）解法以及解集的數(shù)軸

表示。

3.解決不等式（組）的應(yīng)用題，要求學(xué)生會將應(yīng)用題里關(guān)于'已知

量''未知量'之間的關(guān)系用明確的不等式關(guān)系表示出來，并注

意應(yīng)用題中字母所表示的實際意義。

應(yīng)試對策

解不等式（組）是本節(jié)的重點，而不等式的性質(zhì)是解不等式的基

礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)本節(jié)時，首先要強化三條性質(zhì)的應(yīng)用順練，切忌

不等式兩邊同乘（除）含字母的代數(shù)式（即正負(fù)不明的代數(shù)式）;

其次注意數(shù)形結(jié)合的方法，即充分利用數(shù)軸，關(guān)于不等式

（組）的應(yīng)用題，要通過建模訓(xùn)練，學(xué)會找出實際問題中的不等

關(guān)系，并能在不等式的解集中找出符合題意的答案，還要注意

及其他類型的應(yīng)用題結(jié)合起來訓(xùn)練。

第一講一元一次不等式（組）及應(yīng)用

【回顧及思考】

K知識點（

不等式概念，不等式基本性質(zhì)，不等式的解集，解不等式，不等

式組，不等式組的解集，解不等式組，一元一次不等式，一元一次

不等式組。

課標(biāo)要求

1.理解不等式，不等式的解等概念，會在數(shù)軸上表示不等式的解；

2.理解不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行簡單的

不等式變形，會解一元一次不等式；

3.理解一元一次不等式組和它的解的概念，會解一元一次不等式

組；

4.能應(yīng)用一元一次不等式(組)的知識分析和解決簡單的數(shù)學(xué)問題

和實際問題。

內(nèi)容分析

一元一次不等式、一元一次不等式組的解法

(1)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為零的不

等式，叫做一元一次不等式.

解一元一次不等式的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類

項和系數(shù)化成1.要特別注意，不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個

負(fù)數(shù)，要改變不等號的方向.

(2)解一元一次不等式組的一般步驟是：

(i)先求出這個不等式組中各個一元一次不等式的解集；

(ii)再利用數(shù)軸確定各個解集的公共部分，即求出了這個一元一

次不等式組的解集.

考查重點及常見題型

考查解一元一次不等式（組）的能力，有關(guān)試題多為解答題，也

出現(xiàn)在選攔題，填空題中。

【例題經(jīng)典】

不等式的性質(zhì)及運用

例1下列四個命題中，正確的有（）

①若a>b,則a+l〉b+l；②若a>b,則aT>bT；

③若a>b,則-2a〈-2b；④若a>b,則2a<2b.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】注意觀察前后兩個式子的變化，想一想及不等式的性質(zhì)是否

相符.

會解一次不等式，并理解解集用數(shù)軸表示的意義

例2解不等式x>x-2,并將其解集表示在數(shù)軸上.

【點評】步驟類似于解一元一次方程，但要注意不等號方向的變化.

例3.關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的取值是（）

考查內(nèi)容：不等式的解集及數(shù)軸上所表示的數(shù)集之間的對應(yīng)。解為7

例4.不等式2x+l>5的解集在數(shù)軸上表示正確的是

（）

分析：考查不等式求解和用數(shù)軸表示其解集。注意取實心點的條件,

不等式的解為xN2答案：D

例5.如圖，數(shù)軸上表示的一個不等式組的解集，這個不等式組的整

數(shù)解是。

分析：考查不等式求解和用數(shù)軸表示其解集。注意取實心點的條件

答案：T,0

例6.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（）

A.x中2B.x22C.x〈2D.x>2

分析：通過不等式的形式2算術(shù)平方根中被升方數(shù)的非負(fù)性。答案：B

例7.如果最簡二次根式及是同類根式，那么使有意義的x的

取值范圍是（）

A.xW10B.x210C.x<10D.x>10

分析：考查同類根式的意義及二次根式有意義的