初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題

目錄

第九章質(zhì)數(shù)與合數(shù).......................................................................2

第十章約數(shù)與倍數(shù)......................................................................15

第十一章算術(shù)基本定理及應(yīng)用...........................................................27

第十二章平方數(shù)的特征及應(yīng)用...........................................................35

第十三章一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題.....................................................47

第十四章一次不定方程的整數(shù)解.........................................................55

第十五章高次不定方程的整數(shù)解.........................................................66

第十六章數(shù)謎問(wèn)題......................................................................75

第十七章高斯函數(shù)卜］...................................................................89

第十八章有序整數(shù)對(duì)問(wèn)題................................................................96

參考答案................................................................................101

1

第九章質(zhì)數(shù)與合數(shù)

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一個(gè)大于1的整數(shù)只有1和它本身作為它的約數(shù)，則稱(chēng)這樣的數(shù)為質(zhì)數(shù)；如果除了1和它本身

之外還有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)稱(chēng)為合數(shù).1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).

偶質(zhì)數(shù)只有2一個(gè).除此之外，質(zhì)數(shù)均為奇數(shù).100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)共有25個(gè)：

2357111317192329313741434753596167717379

838997

【典型例題與基本方法】

例1若〃為質(zhì)數(shù)，pi+3仍為質(zhì)數(shù)，則/產(chǎn)+33的末位數(shù)字是（）.

A.5B.7C.9D.不能確定

解選A.理由：由/+3為質(zhì)數(shù)可知〃為偶數(shù).又〃為質(zhì)數(shù)，則〃=2.

故/產(chǎn)+33=2、3+33=（x2+33.

因?yàn)椋ń校哪┪粩?shù)字為6,故（2）x2的末位數(shù)字為2.

因此，a”+33的末位數(shù)字為5.

例2已知。為整數(shù)，272a-27|是質(zhì)數(shù)，則〃的所有可能值的和為（）.

A.3B.4C.5D.6

解選D.理由：由題意知2n-27卜|（2々+3）（2〃-9）|為質(zhì)數(shù)，故2〃+3=±1或?yàn)橐?=±1,

即或4=5,4.

因此，a的所有可能值的和為6.

例3若兩個(gè)質(zhì)數(shù)p,夕滿足+5夕=517,則〃+4=.

解填15或103.理由：若p,q均為奇數(shù)，貝3P2+51為偶數(shù)，與已知矛盾.因此p,中至

少有一個(gè)為偶數(shù).

因〃，“均為質(zhì)數(shù)，所以，〃=2或“=2.

當(dāng)〃=2時(shí)，3x22+5q=517=q=101（質(zhì)數(shù)）.

止匕時(shí)，“+9=2+101=103.

當(dāng)4=2時(shí)，3〃2+5x2=5l7n〃=13（質(zhì)數(shù)）.

止匕時(shí),p+q=13+2=15.

例4已知「小，〃為正整數(shù)，〃計(jì)〃=5,與-一均為質(zhì)數(shù)，則式的可能取值的個(gè)數(shù)是

2

解填2.理由：由題設(shè),可取1,2,3,4,相應(yīng)地，〃可為4,3,2,1,并且，〃與〃一奇

一偶.

故丁+,〃與，一“一奇一偶，

又V+機(jī)與,-/Z|均為質(zhì)數(shù)，

因此，/+，〃=2或卜2一W=2,

解得x=1,〃2=1或f—加=±2.

平的當(dāng)x=l,6=1時(shí)，“=4.

,=3.

所以，x=l符合條件.

當(dāng)V-〃=2時(shí)，x2=/?+2e{3,4,5,6）,

則x=2.

止匕時(shí)，〃=2,m=3,x2+m=7.

所以，x=2符合條件.

當(dāng)f一〃=-2時(shí)，f=〃-2c{-1,0,1,2},

則x=l,

當(dāng)x=l時(shí)，〃=3,m=2,=3是質(zhì)數(shù).

所以，x=l符合條件.

因此，x的可能取值有2個(gè).

例5（1996年北京市競(jìng)賽初賽題）〃是質(zhì)數(shù)，設(shè)“=4〃+”+4也是質(zhì)數(shù)，試確定9的值.

解因?yàn)?被3除余1,所以4。被3除余1.因此，4。+4被3除余2.

如果〃工3,則質(zhì)數(shù)〃不被3整除，被3除余1,推知“被3除余1.

所以夕=4。+〃4+4被3整除.而c/>3,所以此時(shí)夕為合數(shù)，與是質(zhì)數(shù)的條件不符，因此，

只能〃=3.

當(dāng)〃=3時(shí)，<7=43+34+4=149.經(jīng)檢驗(yàn)，149確是質(zhì)數(shù)，合乎要求.

例6（1997年湖北荊州市競(jìng)賽題）已知正整數(shù)p,，/都是質(zhì)數(shù)，并且7p+9與網(wǎng)+11也都是質(zhì)數(shù),

試求〃“+必的值.

解因?yàn)?p+*>2,且？〃+g是質(zhì)數(shù)，所以7〃+q必為正奇數(shù).

因此，p,q中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2.

（i）若〃=2,此時(shí)7〃+q=14+q及2q+l1均為質(zhì)數(shù).

設(shè)夕=3k+1（左為非負(fù)整數(shù)），則q+14=3A+15=3（k+5）,它不是質(zhì)數(shù)；

設(shè)q_3A+2（A為非負(fù)整數(shù)），則2q十11一64十15-3（2*十5）,它不是質(zhì)數(shù).

3

因此，q應(yīng)是弘型的質(zhì)數(shù)，當(dāng)然只能4=3.

（ii）若9=2,此時(shí)7〃+q=7〃+2與2〃+11均為質(zhì)數(shù).

設(shè)〃=3左+1（&為非負(fù)整數(shù)），則7p+2=2M+9=3（7R+3）,它不是質(zhì)數(shù).

設(shè)〃=3k+2為非負(fù)整數(shù)），則2〃+ll=6A+15=3（2A+5）,它不是質(zhì)數(shù).

因此，〃應(yīng)為弘型的質(zhì)數(shù)，亦只能是〃=3.

綜合（i）、（ii）知，p=2,4=3或〃=3,夕=2,所以p"+必=3?+2^=17.

例7（1998年湖北省武漢市競(jìng)賽題）王老師在黑板上寫(xiě)了若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)I,2,3……,然后

擦去其中的三個(gè)數(shù)，已知擦去的三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)質(zhì)數(shù).如果剩下數(shù)的平均數(shù)是199，那么王老師在

9

黑板上共寫(xiě)了個(gè)數(shù)，擦去的兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和最大是.

解填39；60.理由：剩下的數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)是9的倍數(shù).因?yàn)椴?9的平均數(shù)是20,所以剩下的

數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)不大于39.

不大于39的9的倍數(shù)的數(shù)最大是36,即剩下36個(gè)數(shù)，推知王老師共寫(xiě)了36+3=39個(gè)數(shù).

Q

19-x36=716,

9

1+2+3++39=780,

780-716=64.

擦去的三個(gè)數(shù)之和是64,其中和小于64的兩個(gè)質(zhì)數(shù)最大是29和31,或37和23.

故共寫(xiě)了39個(gè)數(shù)，擦去兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和最大是60.

例8（1998年“從小愛(ài)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽題）把20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入口中（每個(gè)質(zhì)數(shù)只用一次）：

A=□+□■>■□唱+□+□+□,使4是整數(shù)，則A最大是多少？

初42+3+5+11+13+17+190

解A=---------------------=10.

7

例9（第7屆“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽初賽題）將1999表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和：1999:口+口，在口中

填入質(zhì)數(shù)，共有多少種表示法？

解根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)：奇數(shù):奇數(shù)+偶數(shù).

而在所有的偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，所以?xún)蓚€(gè)口中必有一個(gè)是質(zhì)數(shù)2,另一個(gè)質(zhì)數(shù)是1997,只有

這一種填法.

所以只有一種填法.

例10（1997年山東省競(jìng)賽題）有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的平均數(shù)分別能被三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)整

除.要使它們的和最小，這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？

解這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是當(dāng)中一個(gè)數(shù)，據(jù)題意，當(dāng)中一個(gè)數(shù)為2x3x5=30,即這三個(gè)數(shù)為29,

30,31.

4

例11（第16屆“希望杯”邀請(qǐng)賽題）（I）如果。是小干20的質(zhì)數(shù)，且二可化為一個(gè)循環(huán)小數(shù),

a

那么。的取值有哪幾個(gè)？

（2）如果。是小于20的合數(shù)，且工可化為一個(gè)循環(huán)小數(shù)，那么”的取值有哪幾個(gè)？

a

解（1）小于20的質(zhì)數(shù)有：2,3,5,7,11,13,17,19.除了2和5以外，其余各數(shù)的倒

數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù)，故。可取3,7,11,13,17,19.

（2）由（1）知，只要合數(shù)。的囚數(shù)中含有2或5以外的質(zhì)數(shù)，則該數(shù)的倒數(shù)可化為循環(huán)小數(shù)，

故〃可取6,9,12,14,15,18.

例12（第6屆“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽題）哥德巴赫猜想是說(shuō)：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩

個(gè)質(zhì)數(shù)之和.問(wèn)：168是哪兩個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)之和，并且其中一個(gè)的個(gè)位數(shù)字是1?

解個(gè)位數(shù)字是I的兩位質(zhì)數(shù)有11,31,41,61,71.

其中168—11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是兩位數(shù)，只有

168-71=97是兩位數(shù)，而且是質(zhì)數(shù)，所以168=71+97是唯一的解.

例13（2004年數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題）將兩個(gè)不同的兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)接起來(lái)可以得到一個(gè)四位數(shù)，比

如由17,19可得到一個(gè)四位數(shù)1719；由19,17也可得到一個(gè)四位數(shù)1917.已知這樣的四位數(shù)能被

這兩個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)的平均數(shù)所整除，試寫(xiě)出所有這樣的四位數(shù).

解設(shè)立，%是符合題意的兩個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，按題意有

2abed=（ab+cd）k,

200。〃+2cd=（ab+cd）k,

19Sab=（ab+cd）（k-2）（A為正整數(shù)）.

因?yàn)槎琴|(zhì)數(shù)，且不能整除（亂+不），所以仕-2）含有約數(shù)茄，198含有約數(shù)茄+G）.

因?yàn)椋ㄍ?不）是偶數(shù)，且在（1+13=）24與（89+97=）186之間，而198在24與186之間的偶數(shù)

約數(shù)只有66,所以+cd=66.

而66=13+53=19+47=23+43=29+37,

故所求數(shù)有8個(gè),分別是1353,5313,1947,4719,2343,4323,2937,3729.

例14（1998年“從小愛(ài)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽題）4只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油，每瓶和其他

各瓶分別合稱(chēng)一次，記錄千克數(shù)如下：8,9,10,11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的

重量之和均為質(zhì)數(shù)，求最重的兩瓶?jī)?nèi)有多少油.

解由于每只瓶都稱(chēng)了三次，因此，記錄數(shù)據(jù)之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，即4瓶

油（連瓶）共重（8+9+10+11+12+13）+3=21（kg）.

而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，所以只有

兩種可能:

5

(i)油重之和為19kg,瓶重之和為2kg,每只瓶重-kg,最重的兩瓶?jī)?nèi)的油為13--x2=12

22

(kg).

(ii)油重之和為2kg,瓶重之和為19kg,每只瓶重2kg,最重的兩瓶?jī)?nèi)的油為Cx2=】kg,

442

這與油重之和2kg矛盾.

因此，最重的兩瓶?jī)?nèi)共有12kg油.

【解題思維策略分析】

1.仔細(xì)分析條件，求解滿足條件的質(zhì)數(shù)或合數(shù)

例15(第10屆“希望杯”全國(guó)邀請(qǐng)賽題)某個(gè)質(zhì)數(shù)，當(dāng)它分別加上6,8,12,14之后還是質(zhì)數(shù),

那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是.

解填5.理由：滿足條件的最小質(zhì)數(shù)是5.

下面以整數(shù)中被5除所得余數(shù)分為五類(lèi)，即5歷5A+1,5k+2,5&+3,5A+4(女為整數(shù))，

其中母類(lèi)型的數(shù)中，除5外，其余均為合數(shù)；

若質(zhì)數(shù)M為52+1類(lèi)型,則"+14=52+1+14=5(2+3)為合數(shù);

若質(zhì)數(shù)M為弘+2類(lèi)型，則M+8=54+2+8=5(2+2)為合數(shù)：

若質(zhì)數(shù)M為%+3類(lèi)型，則M+12=5k+3+12=5("3)為合數(shù)：

若質(zhì)數(shù)M為女+4類(lèi)型，則加+6=54+4+6=5(4+2)為合數(shù).

綜上所述，只有質(zhì)數(shù)5分別加上6,8,12,14之后為11,13,17,19,它們均為質(zhì)數(shù)其他四

類(lèi)數(shù)不滿足條件.

例16(1998年甘肅省冬令營(yíng)第一試試題)將99分拆成19個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能大,

那么這個(gè)最大質(zhì)數(shù)是.

解填61.理由：因?yàn)樽钚〉馁|(zhì)數(shù)是2,所求最大質(zhì)數(shù)應(yīng)小于99-2x18=63,小于63的最大

質(zhì)數(shù)是61,所求最大質(zhì)數(shù)是61,而99可分拆成16個(gè)2,2個(gè)3和1個(gè)61的和.

例17(2004年“祖沖之杯”競(jìng)賽題)大約1500年前，我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計(jì)算出n的值

在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把n的值精確到7位小數(shù)的人.現(xiàn)代入利用計(jì)算

機(jī)已經(jīng)將n的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后515億位以上.這些數(shù)排列既無(wú)序又無(wú)規(guī)律.但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)

現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù),31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù),那么在314的31415,314159,3141592,

31415926,31415927中，質(zhì)數(shù)是.

解填314159.理由：3141,31415,3141592,31415926,31415927依次能被3,5,2,2,

31整除.所以314159是質(zhì)數(shù).

例18(2005年武漢市明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽題)小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門(mén)牌號(hào)碼

有四位數(shù)字.同時(shí)，她感到這個(gè)號(hào)碼很容易記住，因?yàn)樗男问綖閭€(gè)礪，其中而E益和瓦

6

都是質(zhì)數(shù).具有這種形式的數(shù)共有個(gè).

解填8.理由：若兩位數(shù)不和而均為質(zhì)數(shù)，則a,b均為奇數(shù)且不為5,滿足題意的數(shù)有下面

8個(gè)：

1331,3113,1771,7117,7337,3773,9779,7997.

例19(1990年吉林長(zhǎng)春市數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)班競(jìng)賽題)在1,0交替出現(xiàn)且以1打頭和結(jié)尾的所

有整數(shù)(即101,10101,1010101,…)中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)?

解只有一個(gè)質(zhì)數(shù)101.

,「，(10w+,+1)(104+,-1)

2

若則4=1()2"+10"2++|0+|=1------------------------L.

99

1A2W+2_1

當(dāng)〃=26+1時(shí)，—~—=102m++102+1,得A為合數(shù)；

99

當(dāng)"二2〃?時(shí)，9整除II整除101+1,所以A為合數(shù).

因此，只有101是質(zhì)數(shù).

222

例203990年北京市競(jìng)賽復(fù)賽題)設(shè)a,b,c,4是自然數(shù)，并且/+b=c+d,證明：d+c+d

一定是合數(shù).

證明因?yàn)椤埃琤,c,d是自然數(shù)，

所以片一a,b2-b,c1-c,/一d都是偶數(shù)，

即M=(/+//+/+/)_(〃+〃+0+”)是偶數(shù).

又因?yàn)閍2+b2=c2+d2，所以a2+b2+c2+d-=2(a2+b2)是偶數(shù)，從而有

a+b+c+d=(a2+hr+C2+/)—M=2(a?+4)一”,它一定是偶數(shù).

但a+〃+c+d>2,于是a+Z?+c+d是個(gè)合數(shù).

例21正整數(shù)a,b,c,d滿足等式必=cd,求證：k=產(chǎn)+產(chǎn)+”+產(chǎn)是合數(shù).

證明由正整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解的唯一性，可求得這樣的正整數(shù)p，q,r,s,使

a=pqb=rsc=〃r,d=qs.

.i./\I998/\I998/、1998/\1998

貝m必=(pq)+(r.s)+(pr)+(")

+y?哪+產(chǎn)x)

故上是合數(shù).

例22(1986年武漢等四市聯(lián)賽題)若。為自然數(shù)，則/-3/+9是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？給出你的證

明.

解"-3a2+9="+6n2+9-9?2

=(/+3)-(3a)~

=(.2[3a?3)(/3〃i3).

7

對(duì)于自然數(shù)a,a2+3a+3>\?所以當(dāng)一3〃+3w1時(shí)，a4-3^+9為合數(shù).

(i)若。*一3a+3/1,則。2-3〃+2/0,即。工1且〃w2.

（3Y3

又，/一3。+3=a—+—>（）.

I2）4

（ii）若/-3a+3=l,則。=1或a=2.

a=l時(shí)，t/_3/+9=7；。=2時(shí)，?4-3?2+9=13.

綜合（i）、（ii）知：當(dāng)。=1或2時(shí)，a4-3,十9是質(zhì)數(shù)；當(dāng)。是大于2的自然數(shù)時(shí)，a4-3,+9

是合數(shù).

例23（1993年北京市競(jìng)賽復(fù)賽題）請(qǐng)你找出6個(gè)互異的自然數(shù)，使得它們同時(shí)滿足：

（1）6個(gè)數(shù)中任兩個(gè)都互質(zhì)；

（2）6個(gè)數(shù)任取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)數(shù)之和都是合數(shù).

并簡(jiǎn)述你選擇的數(shù)合乎條件的理由.

解選擇6個(gè)互異自然數(shù)為4=，xlx2x3x4x5x6+l（i=l,2,,6）.

只須證明任兩個(gè)都互質(zhì).不失一般性，證生和出互質(zhì).

設(shè)生和生有公因數(shù)d,則d整除（％-生），

即d整除（5-2）xlx2x3x4x5x6.

所以d是1x2x3x4x5x6中的一個(gè)因子.

但由g=2xlx2x3x4x5x6+l知，d不整除內(nèi).

故d只能是I，即〃2和.互質(zhì).

由q（i=l,2,,6）的構(gòu)成結(jié)構(gòu)可知，其中任兩個(gè)的和被2整除，任三個(gè)的和被3整除，任四個(gè)的

和被4整除，任五個(gè)的和被5整除，任六個(gè)的和被6整除，即六個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè),

6個(gè)數(shù)之和為合數(shù).

2.關(guān)注質(zhì)數(shù)、合數(shù)條件，求解其他問(wèn)題

例24（2004年“希望杯”全國(guó)邀請(qǐng)賽題）a,4c都是質(zhì)數(shù)，并且a+〃=33,〃+c=44,c+d=66,

那么d=.

解填53.理由：質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，由條件易知，。=2,所以。=33—a=31,c=44-Z?=13>

d—66—c=53.

例25（2004年數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽題）在算式Ax（B+C）=U0+C中，4,B,C是三個(gè)互不相等的

質(zhì)數(shù)，那么8=.

解填2.理由：如果都是奇數(shù)，那么（B+C）是偶數(shù)，從而Ax（B+C）是偶數(shù)，而01O+C）

是奇數(shù)，矛盾，所以A，B,。中有偶數(shù).質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，如果A=2或C=2,那么等號(hào)兩邊

奇偶性不同，矛盾，所以只有6=2.

8

例26（2000年數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題）試將20表示成一些合數(shù)的和，這些合數(shù)的積最大是

解填1024.理由：把一個(gè)數(shù)分拆成幾個(gè)數(shù)的和，再把這些加數(shù)相乘，當(dāng)分拆的加數(shù)盡可能多

地為3時(shí)，此時(shí)的乘積為最大.

此題是把20表示成一些合數(shù)的和，只能是把20分拆成與3最接近的數(shù)4.

則20=4+4+4+4+4,而4x4x4x4x4=1024,止匕時(shí)為最大.

例27（2003年浙江省數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營(yíng)試題）有一個(gè)自然數(shù)，它有4個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，且有32

個(gè)約數(shù)，其中一個(gè)質(zhì)因數(shù)是兩位數(shù)，當(dāng)這個(gè)質(zhì)因數(shù)盡可能大時(shí)，這個(gè)自然數(shù)最小是.

解填11640.理由：最大的兩位質(zhì)數(shù)是97,而題中這個(gè)自然數(shù)有32個(gè)約數(shù)，它必形如

p'xqxrx97,其中夕，r為不同的質(zhì)數(shù).

當(dāng)〃=2,q=3,r=5H\,這個(gè)自然數(shù)最小，是2x3x5x97=11640.

例28（第9屆《中小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》競(jìng)賽初賽題）有10個(gè)質(zhì)數(shù)17,19,31,41,53,71,73,79,

101,103,其中任意兩個(gè)質(zhì)數(shù)都能組成一個(gè)真分?jǐn)?shù).這些真分?jǐn)?shù)中，最小的是，最大的

是.

解填衛(wèi)；121.理由：要使分?jǐn)?shù)值最小，分子、分母的差應(yīng)盡可能大；要使分?jǐn)?shù)值最大，

103103

分子、分母的差應(yīng)盡可能小.

但在（17,19）,（71,73）,（101,103）這三組差相同的數(shù)組成的分?jǐn)?shù)中，量最大，最小.

例29（2（X）4年“希望杯”全國(guó)邀請(qǐng)賽題）小b,c都是質(zhì)數(shù)，如果（a+h）x（〃+c）=342,那么

b=

解填7.理由：如果a,b,c都是奇數(shù)，那么。+〃與b+c都是偶數(shù)，它們的乘積應(yīng)是4的倍

數(shù)，不可能是342,所以mb,c中必有質(zhì)數(shù)2.如果〃=2,貝口/+〃與〃+c都是奇數(shù)，它們的乘積

不可能是342,所以a,c中有一個(gè)是2.

因?yàn)?42=2x3x3x19

=（3x3）x（2xl9）

=9x38

=（2+7）（7+31）,

所以6=7.

例30（第8屆《中小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》競(jìng)賽決賽題）所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)相加,

和是

填59g.11212341234

解理由：所有這些真分?jǐn)?shù)分別是一；一,一；―9—，―9—；一，—，一，一

23355557777

561看去它們的和是

29

9

2-13-15-17-111-113-117-119-123-129-1

----+----4-----+----+-----+-----+-----+-----+-----+-----

2222222222

=-+1+2+3+5+6+8+9+11+14

2

=59-.

2

例31(2004年“祖沖之杯”競(jìng)賽題)有一個(gè)正方體木塊，如右圖，每個(gè)面上各寫(xiě)了一個(gè)自然數(shù)，

并且相對(duì)的兩個(gè)面上的兩個(gè)數(shù)之和相等.現(xiàn)在只能看見(jiàn)三個(gè)面上寫(xiě)的數(shù)，如果看不見(jiàn)的各面寫(xiě)的都

是質(zhì)數(shù)，那么這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是.

解填42.理由：由奇偶分析得，25的對(duì)面是2.

由此推知：10的對(duì)面是25+2-10=17；4的對(duì)面是25+2-4=23.三個(gè)質(zhì)數(shù)之和是2+17+23=42.

例32(第7屆“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽題)甲、乙兩人歲數(shù)之和是一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)質(zhì)

數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)的數(shù)字之和是13,甲比乙也剛好大13歲，那么甲歲，乙__________歲.

解填40；27.理由：兩位的質(zhì)數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是1,3,7,9.但1,3都不合題意，因?yàn)?/p>

1+9或3+9都達(dá)不到13.如果個(gè)位數(shù)字是9,那么十位數(shù)字牯13-9=4,但49不是質(zhì)數(shù).因此，個(gè)

位數(shù)字只能是7,十位數(shù)字是13-7=6,即甲、乙兩人歲數(shù)之和是67.甲是竺蟲(chóng)=40歲，乙是

2

40-13=27歲.

例33已知p為大于3的質(zhì)數(shù).證明：〃的平方被24除的余數(shù)為1.

證法1只需證〃2—l=(p—|)(p+l)能被24整除.因〃為大于3的質(zhì)數(shù)，則〃為奇數(shù).所以，

〃一1與〃+1為兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，且其中之一為4的倍數(shù).故(〃-1)(〃+1)能被8整除.又因?yàn)樵谌?/p>

個(gè)連續(xù)的整數(shù)〃+1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)，且〃為大于3的質(zhì)數(shù)，所以，(〃-l)(p+l)為

3的倍數(shù).

而(8,3)=1,故p2_l=(p—l)(p+i)能被24整除.

證法2因?yàn)榇笥?的質(zhì)數(shù)均可以表示成6&±1的形式，所以，p2-1=(6攵±1)2-1=12人(3左±1).

乂因?yàn)锳與弘±1的奇偶性不同，則它們的積為偶數(shù).所以，能被24整除.

例34(2008年青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽題)魔法六角星的每條直線邊上的四個(gè)數(shù)字之和都相

等.右圖的魔法六角星中的12個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，其中所給出的5個(gè)數(shù)中包含了其中的最大數(shù)和最小

10

數(shù).請(qǐng)完成此魔法六角星.

解注意到29到73之間的所有質(zhì)數(shù)為29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71和73.

恰好有12個(gè)質(zhì)數(shù)填入12個(gè)位置，如下圖，而這12個(gè)質(zhì)數(shù)的總和為612.

每個(gè)數(shù)都位于兩條直線上，被用兩次，故知每條直線上四個(gè)數(shù)的總和為612x2+6=204.

由止匕得r=61>u-43.

剩下的質(zhì)數(shù)為31,37,53,59,71,且要求s+v=2O4-(41+67)=96.

僅當(dāng)s,v取值為37,59有可能.

此時(shí)，還剩下31,53和71.

若$=37,v=59,則〃+q=204-(61+37)=106,不可能.

若s=59,v=37,則“+“=204-(61+59)-84.

當(dāng)p，q取值為31,53時(shí)滿足題意.

所以，i=7l.

不難得出“=204—(71+43+37)=53.

綜上，每個(gè)位置應(yīng)填的數(shù)如下圖所示.

11

【模擬實(shí)戰(zhàn)】

A組

1.（第17屆“五羊杯”競(jìng)賽題）以下關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的4種說(shuō)法中，準(zhǔn)確的說(shuō)法共有（）種.

①兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和必為合數(shù)；②兩個(gè)合數(shù)的和必為合數(shù)；③?個(gè)質(zhì)數(shù)與?個(gè)合數(shù)的個(gè)和必為合數(shù)；④

一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)的和必為非合數(shù).

A.3B.2C.1D.0

2.（2002年四川省競(jìng)賽題）立方體的每一個(gè)面都寫(xiě)著一個(gè)自然數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面所寫(xiě)兩個(gè)數(shù)之和

相等，1（）,12,15是相鄰三面上的數(shù)，若10的對(duì)面寫(xiě)的是質(zhì)數(shù)小12的對(duì)面寫(xiě)的是質(zhì)數(shù)415的

對(duì)面寫(xiě)的是質(zhì)數(shù)c,則/+1-他―慶―圓的值等于.

3.（第15屆“希望杯”競(jìng)賽題）已知〃，％pq+l都是質(zhì)數(shù)，且〃-4>40,那么滿足上述條件的

最小質(zhì)數(shù)p=,q=?

4.（“希望杯”競(jìng)賽題）若a",c是1998的三個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，且av）<c，則（〃+c）“=./-

5.（第16屆江蘇省競(jìng)賽題）已知4是質(zhì)數(shù)，〃是奇數(shù)，且"+8=2001,則a+〃=.

6.（上海市競(jìng)賽題改編）寫(xiě)出10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)，求這10個(gè)數(shù).

7.（第21屆江蘇省競(jìng)賽題）若〃和夕為質(zhì)數(shù)，且5〃+3〃=91,則/k,q=.

I13

8.（1998年北京市競(jìng)賽題）若y,z均為質(zhì)數(shù)，x=yz,且，），，z滿足一+—=巳，則1998x+5y+3z

xyz

的值為.

9.（第18屆“五羊杯”競(jìng)賽題）如果A,B,C是三個(gè)質(zhì)數(shù)，而且A—8=3—C=14,那么A,B,

。組成的數(shù)組（A,B,C）共有組.

10.（第15屆“希望杯”競(jìng)賽題）若正整數(shù)-），滿足2004工=15y,則x+y的最小值是.

H.（“希望杯”競(jìng)賽題）已知三個(gè)質(zhì)數(shù)〃2,的乘積等于這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和的5倍，則〃/+〃2+p2

的值為.

12.（2004年全國(guó)聯(lián)賽題）設(shè)機(jī)是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，則用=.

13.（第15屆俄羅斯競(jìng)賽題）萬(wàn)尼亞想了一個(gè)三位質(zhì)數(shù)，各位數(shù)字都不相同.如果個(gè)位數(shù)字等于前

12

兩個(gè)數(shù)字的和，那么這個(gè)數(shù)是__________.

14.（北京市第14屆“迎春杯”競(jìng)賽初賽題）有1997個(gè)奇數(shù)，它們的和等于它們的乘積，其中只有

三個(gè)數(shù)不是1，而是三個(gè)不同的質(zhì)數(shù).那么，這樣的三個(gè)質(zhì)數(shù)可以是,,

15.（第19屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題）自然數(shù)〃使得數(shù)2〃+1與3〃+1,均為平方數(shù)，能否

同時(shí)使得數(shù)5〃+3是質(zhì)數(shù)？

16.（第10屆“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽題）有2,3,4,5,6,7,8,9,10和11共10個(gè)自然數(shù)：

（I）從這10個(gè)數(shù)中選出7個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)中的任何3個(gè)數(shù)都不會(huì)兩兩互質(zhì)；

（2）從這10個(gè)數(shù)中最多可以選出多少個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)？

17.（第9屈“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽題）在1?100的所有自然數(shù)中，與10（）互質(zhì)的各數(shù)之和是多少？

B組

1.（1997年“五羊杯”競(jìng)賽題）已知p,〃+2,〃+6,〃+8,〃+14都是質(zhì)數(shù)，則這樣的質(zhì)數(shù)〃

共有多少個(gè)？

2.（1997年“迎春杯”競(jìng)賽題）若〃和q都是質(zhì)數(shù)，并且關(guān)于x的一元一次方程川+5q=97的根是

1，求-q的值.

3.（首屆“華杯賽”競(jìng)賽題）已知〃是質(zhì)數(shù)，且2006〃也是質(zhì)數(shù).若2006”乘2006i〃的積等

于自然數(shù)求&的最大值.

4.（第5屆加拿大競(jìng)賽題）求證：如果〃與〃+2都是大于2的質(zhì)數(shù)，那么6是〃+1的因數(shù).

5.（首屆“華杯賽”競(jìng)賽題）數(shù)學(xué)老師做了一個(gè)密碼給同學(xué)們破解，密碼是PQRQQS,相同字母代

表相同的數(shù)字，不同字母代表不同的數(shù)字.已知這6個(gè)數(shù)字之和等于31,且尸是任何整數(shù)的約數(shù)（因

子）；。是合數(shù)；N被任何一個(gè)數(shù)去除，答案都會(huì)一樣；b是質(zhì)數(shù).這個(gè)密碼是什么？

6.（首屆“華杯賽”競(jìng)賽題）某書(shū)店積存了畫(huà)片若干張，每張按5角出售，無(wú)人買(mǎi)，現(xiàn)決定按成本

價(jià)出售，一下子全部售出，共賣(mài)了31元9角3分，問(wèn)：共積壓了多少?gòu)埉?huà)片？

7.（五城市聯(lián)賽題）在黑板上寫(xiě)出下面的數(shù)：2,3,4,…，1994,甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙

再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，

則乙勝.你覺(jué)得是甲勝還是乙勝？請(qǐng)你說(shuō)明理由.

13

8.（安徽省競(jìng)賽題）甲、乙、丙3人分糖，每人都得整數(shù)塊，乙比丙多得13塊，甲所得是乙的2倍.已

知糖的總塊數(shù)是一個(gè)小于50的質(zhì)數(shù)，且它的各位數(shù)字之和為11.試求每人得糖的塊數(shù).

9.（首屆“華杯賽”競(jìng)賽題）已知工，.z是3個(gè)小于100的正整數(shù)，且x>y>z,x-y,x-z及

y-z均是質(zhì)數(shù)，求x-z的最大值.

10.（2006年國(guó)際城市競(jìng)賽題）小琳用計(jì)算器求三個(gè)正整數(shù)a,b,。的表達(dá)式絲的值.她依次按

c

了小+,b,3C,二,得到數(shù)值II.而當(dāng)她依次按〃，+,a,c,二時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)得到的數(shù)值

是14.這時(shí)她才明白計(jì)算器是先做除法再做加法的，于是她依次按（,a,+,b,）,fc,=,得到

了正確的結(jié)果.這個(gè)正確結(jié)果是什么？

11.（北京市競(jìng)賽題）41名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號(hào)碼是1,2,3,…，40,41這41個(gè)自然數(shù)，問(wèn)：

（1）能否使這41名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和是質(zhì)數(shù)？

（2）能否讓這41名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦到,

請(qǐng)舉一例；若不能辦到，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.（“希望杯”競(jìng)賽題）（I）請(qǐng)你寫(xiě)出不超過(guò)30的自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)之和.

（2）請(qǐng)回答，千位數(shù)是1的四位偶自然數(shù)共有多少個(gè)？

（3）一個(gè)四位偶自然數(shù)的千位數(shù)字是1,當(dāng)它分別被四人不同的質(zhì)數(shù)去除時(shí)，余數(shù)也都是1,試

求出滿足這些條件的所有自然數(shù)，其中最大的一個(gè)是多少？

13.（北京市競(jìng)賽題）I與0交替排列,組成下面形式的一串?dāng)?shù)101,10101,I0I0I0L101010101,…，

請(qǐng)你回答：在這事數(shù)中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？并證明你的結(jié)論.

14

第十章約數(shù)與倍數(shù)

【基礎(chǔ)知識(shí)】

若〃被b整除，也稱(chēng)〃是人的倍數(shù)，〃是。的約數(shù).

如果4M2,…，4和d都是正整數(shù)，且44必生，/14，那么d叫做49，，巴的公約數(shù).公約

數(shù)中最大的叫做4M/4，的最大公約數(shù)，記作（知生，4）.

當(dāng)（"）=1時(shí)，我們稱(chēng)小〃互質(zhì).

%,生,?,勺的最大公約數(shù)（4生,也,）表示的是一個(gè)正數(shù)，是一個(gè)能夠整除%并且能被

%,%，，%的每一個(gè)約數(shù)整除的數(shù).

常用的有關(guān)最大公約數(shù)的性質(zhì)有：

性質(zhì)1若則（〃,〃）=。.

性質(zhì)2若（a,b）=d,且〃是正整數(shù)，則

性質(zhì)3若〃|〃，〃|力，則色.]=（"㈤.

Inn）n

性質(zhì)4若a=bq+r（OV）,則（a,8）=（〃,r）.

注：性質(zhì)3表明，若（a,b）=d,則9）=1。

性質(zhì)4是求最大公約數(shù)的一個(gè)非常有用的結(jié)論.具體地講，為求（。/），可轉(zhuǎn)化為求（〃,,?）,由

于〃和，相對(duì)。和〃來(lái)說(shuō)較小，因此求（"「）要比求（。/）容易些.如果力和r仍然較大，可以重復(fù)

使用性質(zhì)4,即由。二"+4，有（"，?）=（「,八）；由r=q%+4，有（八4）二（乙，與），如此下去，由

于小小…在逐漸減小，必有4=〃+I/+2.由性質(zhì)1知，〃+1就是。和〃的最大公約數(shù).這種求最大公

約數(shù)的方法叫做爆轉(zhuǎn)相除法.

如果4，%,,4和〃?都是正整數(shù)，且4加,同肛,a“l(fā)〃?，那么加叫做4，生,…,a”的公倍數(shù).公

倍數(shù)中最小的數(shù)叫做4，生，，a”的最小公倍數(shù)，記作[%,生，，4]?

如果〃?是4,生.，凡的公倍數(shù)，那么km（A是正整數(shù)）也是它們的公倍數(shù)，因此不存在最大公

倍數(shù).

性質(zhì)5若力|a,則[〃,/?]=a.

性質(zhì)6若[?句=〃?，且〃為正整數(shù),則[na,nb]=nm.

性質(zhì)7若〃|a,〃出，則@闿=".

|_〃〃」n

最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)這兩個(gè)概念有著密切的聯(lián)系，下面的性質(zhì)揭示了它們的關(guān)系.

15

性質(zhì)8若[〃,〃]=〃?，則—,—1=1.

I。b)

性質(zhì)9(〃力)=金

由性質(zhì)9知，在已知a,b兩數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)之一時(shí)，便很容易求出另一個(gè).

【典型例題與基本方法】

例1設(shè)整數(shù)a,b,a-Zr都不是3的倍數(shù).證明：是9的倍數(shù).

分析從條件看，a，。都只能是3〃±1的形式.由于a-6不是3的倍數(shù)，〃，〃又不都同為3〃+1

或3〃-1的形式，于是，a,b只能分別為3〃+1,3〃-1的形式.

證明依題意，不妨設(shè)a=3"?+l,b=3n-\,則

/+Z/=(4+/?)9/+b2-財(cái)

=3(〃?+〃)[(3/〃+1)~+(3/7-1)-一(3/〃+

=3(m+〃)(91+6m+1+9--6/7+1-9nin+3m-3〃+1)

=3(w+n)(9m2+9m+3+9n2-9n-9mnj

=9(/77+4-3m+1+3——3〃—3/wz).

故"+3是9的倍數(shù).

例2(第2屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)〃是具有下述性質(zhì)的最小整數(shù)：它是15的倍數(shù)，而且每

一位的數(shù)字都是。或8,求〃.

15

解〃是5的倍數(shù)，所以〃的個(gè)位數(shù)字是。或5.

由已知，"的個(gè)位數(shù)字是0.

〃又是3的倍數(shù)，所以〃的數(shù)字和被3整除，由于〃的數(shù)字都是?；?,

所以〃的數(shù)字中至少有3個(gè)8.

具有上述性質(zhì)的最小的n是8880.

“工〃8880sc

從而—=----=592.

1515

例3(2(X)7年四川省競(jìng)賽題)設(shè)〃為某一正整數(shù)，代入代數(shù)式〃$-〃計(jì)算其值時(shí)，四個(gè)學(xué)生算出

了下列四個(gè)結(jié)果，其中僅有一個(gè)是正確的.則這個(gè)正確的結(jié)果是().

A.7770B.7775C.7776D.7779

解選A.理由：因?yàn)?=〃5-〃=(〃-1)〃(〃+1乂〃2+力顯然，/是2的倍數(shù)，排除選項(xiàng)B、D.

當(dāng)〃=5h5Z+1,5&-1時(shí)，/是5的倍數(shù)；

當(dāng)〃=5A—2,5A+2時(shí)，1+1是5的倍數(shù).

16

從而，/是5的倍數(shù).

因此，無(wú)論〃為任何正整數(shù)，/都是5的倍數(shù)，排除選項(xiàng)C.

例4求(1056,3960)和[1056,3960].

解法1(提取公因數(shù)法)：

210563960

25281980

2I264990

3~~132495

11144165

415

則(1056,3960)=2,x3x11=264,

故[1056,3960]=23x3x11x4x15=15840.

注：提取公因數(shù)法就是利用短除法的形式，每次提取公約數(shù)，直到得到2個(gè)互質(zhì)的數(shù).最大公

約數(shù)就是所有公約數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是所有公約數(shù)與最后的兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)的乘積.

解法2(分解質(zhì)因數(shù)法)：

因1056=2'x3x11x4,3960=23x3xllx15,

貝(1056,3960)=才x3x11=264,

[1056.3960]=23x3x11x4x15=15840.

解法3(輾轉(zhuǎn)相除法)：

(i)先用1056除3960.得到商和余數(shù)3960=1056x3+792.

(ii)再用第一步得到的余數(shù)792來(lái)除1056,得到商科余數(shù)1056=792x1+264.

(iii)用第二步得到的余數(shù)264來(lái)除第二步中的除數(shù)792,得792=264x3.

故264是1056和3960的最大公約數(shù).

由最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系可求出最小公倍數(shù)15840.

例5兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是7,最小公倍數(shù)是105,求這兩個(gè)數(shù).

解依題意，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為九，7b(a,〃為正整數(shù)，且〃與力互質(zhì)，a<b>,則這兩個(gè)數(shù)

的最小公倍數(shù)是7ab.

即7^=105,

從而ab=15.

又15=1x15