三角形的高、中線與角平分線人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十一章三角形知識(shí)回顧012345012345678910012345678910012345678910012345012345你還記得“過一點(diǎn)畫已知直線的垂線”嗎?放、靠、過、畫.教學(xué)目標(biāo)3.掌握利用三角形的高、中線、角平分線解決問題的能力.1.了解三角形的高、中線、角平分線等有關(guān)概念.2.掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法，通過觀察認(rèn)識(shí)到三角形的三條高、三條中線、三條角平分線分別交于一點(diǎn).新知導(dǎo)入知識(shí)點(diǎn)1三角形高的概念

過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，你能畫出它的對(duì)邊的垂線嗎?ABCD012345678910012345012345012345678910111213141516新知探究三角形的高的定義A從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，BC向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足D之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖，

線段AD是BC邊上的高.幾何語言：AD⊥BC于點(diǎn)D，讀作AD垂直BC于點(diǎn)D或∠ADC=∠ADB=90°.新知探究問題1：一個(gè)三角形只有一條高嗎？你還能畫出其他高嗎？ABCDEF新知探究問題2：你能畫出直角三角形和鈍角三角形各條邊上的高嗎？BACFABCDEF新知探究BACFABCDEFABCEF問題3：綜合上述，三種三角形的高各有什么特點(diǎn)？答：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；

直角三角形有兩條高就是直角的邊；

鈍角三角形有兩條高再三角形外部。新知探究BACFABCDEFABCEF問題4：三種三角形的高有沒有共同點(diǎn)？答：三種三角形的高都交于1點(diǎn)，銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上，鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外部。課堂小結(jié)三角形三條高的位置三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形三條高的位置三條高都在三角形內(nèi)部有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部有兩條高在三角形外部，另一條高在三角形內(nèi)部三條高的交點(diǎn)三條高交于三角形內(nèi)部三條高交于三角形的直角頂點(diǎn)三條高沒有交點(diǎn)，但三條高所在的直線交于三角形外一點(diǎn)新知典例1．下列各組圖形中，BD是△ABC的高的圖形是（）ABDCB課堂練習(xí)3．在下列△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）ABDCD新知探究三角形中線的概念知識(shí)點(diǎn)2

一位農(nóng)民伯伯想把一塊三角形的土地平均分給自己的兩個(gè)孩子，你能幫助老人平分這個(gè)三角形土地嗎？新知探究問題1

能夠平分一個(gè)線段的點(diǎn)叫

。ACBAC=BC=AB線段的中點(diǎn)問題2如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？新知探究問題3如果點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，連接CD，是否能將△ABC分成面積相等的兩個(gè)三角形呢？你能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？BACD新知探究BACD驗(yàn)證

計(jì)算△BCD和△ACD的面積，看看是否相等。①延長AB，過點(diǎn)C做AB的垂線CE（AB邊上的高）②△BCD的面積△ACD的面積而AD=BD，所以△BCD和△ACD的面積相等。E=CE×BD=CE×AD這條重要的線段CD就叫做△ABC的中線新知探究三角形中線的概念2.表示方法：AD是△ABC的邊BC上的中線，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，BD=CD=BC.1.定義：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)，所得線段叫做三角形的這條邊上的中線.DCBA問題4一個(gè)三角形可以畫出幾條中線呢？動(dòng)手畫一畫新知探究畫一個(gè)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再分別畫出這三個(gè)三角形的三條中線.歸納發(fā)現(xiàn)：①三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，②定義：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．新知典例例2

如圖所示，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為28cm，AB比AC長5cm，則△ACD的周長為(

)A.19cm

B.23cm

C.22cm

D.21cm解：

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周長的差

=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB–AC.

∵△ABD的周長為28cm，AB比AC長5cm，

∴△ACD的周長為28–5=23(cm).B課堂小結(jié)1.定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和所對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.2.三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn).3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形內(nèi)部.4.三角形的任何一條中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.如上圖：AD為中線，則S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一邊上的中線把三角形分成的兩個(gè)小三角形周長之差等于原三角形長邊與短邊之差.△ABD的周長–△ACD的周長=AB–AC.三角形中線相關(guān)概念課堂練習(xí)2．如圖，AD是△ABC的中線，AC＝6cm，AB＝4cm，且△ABD的周長為11cm，則△ACD的周長是

cm．13解：∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，∵△ABD的周長為11cm，∴AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝11cm，∵AB＝4cm，∴CD+AD＝7cm，∴△ACD的周長＝AC+CD+AD＝13cm，新知探究知識(shí)點(diǎn)3三角形的角平分線

問題1準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片ABC，按圖所示的方法折疊，展開后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2兩個(gè)角．∠1和∠2有什么關(guān)系？ABCDBCAABCD12答：∠1=∠2BD這條特殊的線段叫做△ABC的角平分線。新知探究DBCAEF問題2

△ABC可以畫出幾條條角平分線？問題3

觀察三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？答：三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).新知典例例3：如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).解：∵DC平分∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=

∠ACB.新知探究1.定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.DBCA三角形的角平分線的概念2.表示方法：AD是△ABC的角平分線，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，∠BAD=∠CAD=∠BAC.

3.三角形共有三條內(nèi)角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn).課堂練習(xí)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝72°，

∴∠DAC＝∠DAB＝36°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°–∠B–∠DAB

＝180°–36°–36°

＝108°.

3.如圖，在△ABC中，∠BAC=72°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC課堂總結(jié)三角形的重要線段概念圖形表示法數(shù)量及交點(diǎn)位置三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.3條高，銳角三角形：形內(nèi)；鈍角三角形：形外；直角三角形：直角頂點(diǎn)三角形的中線三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中的線段3條，交點(diǎn)叫作三角形的重心.形內(nèi)三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段3條，形內(nèi).課堂小測(cè)1．如圖，線段BD是△ABC高的圖形是（）ABDCD課堂小測(cè)2．如圖，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，則線段

是△ABC中AC邊上的高．BD課堂小測(cè)3．如圖，在△ABC中畫出高線AF、中線AE、角平分線AD．再填空．（1）∵AD是△ABC的角平分線，∴∠

＝∠

＝∠

（角平分線的定義）．（2）∵AE是△ABC的中線．∴

＝

＝

（

）（3）∵AF是△ABC的高線．∴∠

＝90（角平分線的定義）．BCBEECBADDACBAC三角形中線定義F課堂小測(cè)4．如圖所示，AD，CE是△ABC的兩條高，AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，求AD的長．解：S△ABC＝AB?CE＝BC?AD，∵AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，∴×4×6＝×8?AD