2025屆安徽省合肥市長(zhǎng)豐中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不移動(dòng)也.合成弦方之冪，開(kāi)方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)取自朱方的概率為（）A． B． C． D．3．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足條件，目標(biāo)函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．04．如圖，四邊形為正方形，延長(zhǎng)至，使得，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).設(shè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．11 C．-19 D．516．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．， B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值8．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．9．在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線(xiàn)與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．410．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是（）A． B． C． D．11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第天長(zhǎng)高尺，蕪草第天長(zhǎng)高尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草每天長(zhǎng)高前一天的倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．12．若直線(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則（）A．1 B．2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______.14．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_(kāi)____．15．某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________．16．已知，滿(mǎn)足約束條件則的最小值為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且．（1）解關(guān)于的不等式；（2）如果對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知直線(xiàn)：（為參數(shù)），曲線(xiàn)（為參數(shù)）．（1）設(shè)與相交于，兩點(diǎn)，求；（2）若把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)距離的最小值．19．（12分）已知，，，，證明：（1）；（2）.20．（12分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．21．（12分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，且直線(xiàn)、的斜率的積為．證明：點(diǎn)在軸上．22．（10分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，且橢圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)交橢圓與兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)交軸于點(diǎn).（1）求的周長(zhǎng)；（2）求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．2、C【解析】

首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類(lèi)型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因?yàn)檎叫螢橹旆剑涿娣e為9，五邊形的面積為，所以此點(diǎn)取自朱方的概率為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足條件，目標(biāo)函數(shù)如圖：當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.4、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，設(shè)，則，所以，且，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，是一道基礎(chǔ)題.5、B【解析】

展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：（1）5個(gè)括號(hào)都出1，即；（2）兩個(gè)括號(hào)出，兩個(gè)括號(hào)出，一個(gè)括號(hào)出1，即；（3）一個(gè)括號(hào)出，一個(gè)括號(hào)出，三個(gè)括號(hào)出1，即；所以展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過(guò)程，考查定理的本質(zhì)，即展開(kāi)式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.6、D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A(yíng)中，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以，故A正確；在B中，由于直線(xiàn)與平面有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，故B錯(cuò)誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行，線(xiàn)面垂直等，屬于中檔題.8、A【解析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.9、B【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行，推出①的正誤；判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤；利用直線(xiàn)與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線(xiàn)與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2，對(duì)于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對(duì)于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點(diǎn)，所以，②正確；對(duì)于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；，，，，，；，；異面直線(xiàn)與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線(xiàn)與平面垂直，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．10、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算，中的最大公約數(shù)，所以，，，故當(dāng)輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能，做此類(lèi)題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、A【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)為,所以直線(xiàn)過(guò)圓心,得,即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線(xiàn)中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出的值,進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)：，令，解得，所以含的項(xiàng)的系數(shù).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查定積分，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

處理變形x+y＝x（）+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值，關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號(hào)成立的條件.15、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

畫(huà)出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線(xiàn)到可行域邊界位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知：可行域是由三點(diǎn)，，構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得的表達(dá)式，再去掉絕對(duì)值即可解不等式；（2）對(duì)，不等式成立等價(jià)于，去絕對(duì)值得不等式組，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，∴原不等式可化為，即或，解得不等式的解集為；（2）不等式可化為：，即，即，則只需，解得，的取值范圍是.18、（1）；（2）．【解析】

(1)將直線(xiàn)和曲線(xiàn)化為普通方程，聯(lián)立直線(xiàn)和曲線(xiàn)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值；（2）可得曲線(xiàn)的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.【詳解】解：（1）直線(xiàn)的普通方程為，的普通方程．聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為，，則．（2）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，由此當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及參數(shù)方程的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等，屬于中檔題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）先由基本不等式可得，而，即得證；（2）首先推導(dǎo)出，再利用，展開(kāi)即可得證.【詳解】證明：（1），，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（2），，，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．20、．【解析】試題分析：，所以．試題解析：B．因?yàn)?，所以?1、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，且，，求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可求得直線(xiàn)與的方程，將直線(xiàn)直線(xiàn)與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，，．所以直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)橹本€(xiàn)、的斜率的積為，所以直線(xiàn)的斜率為．直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則，所以點(diǎn)在軸上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查