第第頁專題2.3勾股定理中的最短路線與翻折問題專項講練勾股定理中的最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。題型1.圓柱有關(guān)的最短路徑問題【解題技巧】計算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定理進行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進行計算，有時候需要用底面圓周長的一半進行計算。要點總結(jié)：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開—定點—連線—勾股定理的步驟進行計算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。例1．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，一個圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲從下底點A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲所爬的最短路徑長是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm變式1．（2022·吉林長春·八年級期末）如圖，有一個圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點A爬到點P的最短路程為_____cm．變式2．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm題型2.長方體有關(guān)的最短路徑問題想【解題技巧】計算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定理進行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。要點總結(jié)：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進行討論；2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同。例2．（2021·陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4，棱BC長為3，棱BF長為2，P為HG的中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．變式1.（2022·重慶八年級期中）如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點開始經(jīng)過個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm變式2．（2022·陜西咸陽·八年級期末）如圖，在長方體的頂點G處有一滴糖漿，棱AE上的P處的螞蟻想沿長方體表面爬到容器G處吃糖漿，已知容器長AB＝5cm，寬AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么螞蟻需爬行的最短距離是______cm．（結(jié)果保留根號）題型3.階梯中的最短路徑問題【解題技巧】根據(jù)兩點之間線段之和最小進行解決。要點總結(jié)：展開—定點—連線—勾股定理例3．（2021·重慶八年級期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為______dm．變式1．（2022·山西八年級期末）如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26題型4.將軍飲馬與最短路徑問題【解題技巧】解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點之間線段最短解決。要點總結(jié)：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。例4.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．變式1.（2022·山東菏澤·八年級階段練習(xí)）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點E，能夠使他從點D滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22變式2.（2021·陜西長安·八年級期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計缸壁厚度）．課后專項訓(xùn)練：1．（2021·江蘇八年級月考）將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上，放著一根長方體木塊，它較長的邊和草地的寬平行且長大于，木塊從正面看是邊長為的正方形，一只螞蟻從點A出發(fā)到達(dá)點C處需要走的最短路程為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川樂山·八年級期末）如圖，一只螞蟻從長為4cm，寬為3cm，高為5cm的長方體紙箱的A點沿紙箱表面爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是（）A．12cm B．cm C．cm D．cm4．（2022·云南昆明·八年級期末）如圖，正方體的棱長為2cm，點B為一條棱的中點.螞蟻在正方體表面爬行，從點A爬到點B的最短路程是（

）A． B． C． D．5．（2021·山東省鄆城第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖所示，有一個長、寬各2米，高為3米的無蓋長方體紙盒放在桌面上，一只昆蟲從頂點要爬到頂點，那么這只昆蟲爬行的最短路程為（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米6．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，有一長、寬、高分別是5cm，4cm，4cm的長方體木塊，一只螞蟻沿如圖所示路徑從頂點A處在長方體的表面爬到長方體上和A相對的中點B處，則需要爬行的最短路徑長為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm7．（2022·全國·八年級）如圖，正方體盒子的棱長為2，M為BC的中點，則一只螞蟻從A點沿盒子的表面爬行到M點的最短距離為（

）A．B．C．D．8．（2022·四川省德陽市第二中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長．寬．高分別為3、2、1的長方體的A點爬到B點，它爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．10．（2022·安徽宿州·八年級期末）如圖，正四棱柱的底面邊長為4cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿棱柱外表面到點處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（

）A． B．14cm C． D．10cm11．（2022·成都市八年級專題練習(xí)）如圖，一個長方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發(fā)，在盒子表面上爬到點，已知，，，這只螞蟻爬行的最短路程是________．12．（2022·河南·鄭州楓楊外國語學(xué)校八年級期末）如圖，一大樓的外墻面ADEF與地面ABCD垂直，點P在墻面上，若PA＝AB＝5米，點P到AD的距離是4米，有一只螞蟻要從點P爬到點B，它的最短行程是______米13．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪場改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點E在上，．一名滑雪愛好者從點A滑到點E，他滑行的最短路線長為_________m．14．（2021·新疆伊犁·八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是12cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是___________cm．15．（2022·新疆克拉瑪依·八年級期末）如圖，正方體的盒子的棱長為，的中點為，一只螞蟻從點沿正方體的表面爬到點螞蟻爬行的最短距離是______．16．（2022·廣東·常春藤國際學(xué)校八年級期中）如圖，一個圓柱體的底面周長為24，高BD＝5，BC是直徑．一只螞蟻從點D出發(fā)，沿著表面爬到C的最短路程為_______．17．（2021·無錫市八年級期中）（1）如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為_______m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點C，那么所用細(xì)線最短需要______m；（3）如圖3，長方體的棱長分別為AB=BC=6cm，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時昆蟲乙從盒內(nèi)頂點A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉昆蟲甲?三角形和矩形中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題解題技巧：勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。例1．（2022·江蘇九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．變式1．（2022·重慶南開中學(xué)八年級月考）如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．例2．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE，DE分別交AB于點G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為____．變式1．（2022·江蘇·靖江市靖城中學(xué)八年級期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長為_______例3．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊，點B恰好落在線段DE上的點F處，則BE的長為______．變式1．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，長方形ABCD中，BC=5，AB=3，點E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點C落在線段AE上的點F處，那么CE的長度是________．例4．（2021·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點B與點F重合．當(dāng)CF⊥AB時，線段EB的長為_____．變式1．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．例5．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，，，點、分別是直角邊和斜邊上的點，把沿著直線折疊，點恰好落在邊的中點上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．4變式1．（2022·北京市第一六一中學(xué)八年級期中）如圖，中，，將折疊，使點C與的中點D重合，折痕交于點M，交于點N，則線段的長為（

）.A． B． C．3 D．例6．（2022·河南開封·八年級期末）如圖，在，，，，以為折痕將翻折，使點與點重合，則的長為（

）A． B．1 C． D．變式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點B恰好落在邊AC上．與點重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15例7．（2021·貴州九年級）如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點，延長交于點，若，則的長為______．變式1．（2022·湖北陽新初二期末）（問題原型）如圖1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD，過點D作△BCD的BC邊上的高DE，易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為．（初步探究）如圖2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積并說明理由．（簡單應(yīng)用）如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連續(xù)CD，求△BCD的面積(用含a的代數(shù)式表示)．課后訓(xùn)練：1．（2021·陜西八年級期末）如圖，在長方形中，，，將此長方形折疊，便點與點重合，折痕為，則的面積為（）．A．12 B．10 C．6 D．152．（2022·浙江衢州·八年級期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點C落在BD邊上的點E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．243．（2022·廣西·桂林市第一中學(xué)八年級期中）如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊長AC＝6cm，BC＝8cm，將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD等于（

）A． B． C． D．4．（2021·山東煙臺·七年級期中）如圖，折疊長方形ABCD紙片，點D落在BC邊的點F處（AE為折痕）．已知AB=8，BC=10，則EC等于（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）如圖，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，，，則線段EF的長度為______．6．（2022·山東棗莊·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為______．7．（2021·浙江九年級二模）△ABC中，，AC＝6，，折疊△ABC，使點C落在AB邊上的點D處，折痕EF交AC于點E，當(dāng)點由B向A連續(xù)移動過程中，點E經(jīng)過的路徑長記為m，則BC＝____________，m＝____________．8．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，中，，M，