3.1支路分析法

3.2網(wǎng)孔分析法

3.3節(jié)點分析法

3.4回路分析法

3.5電路的對偶特性與對偶電路第3章電路基本分析方法下面以圖3-1所示的共有4個三條以上支路連接的節(jié)點、6個支路電流的電路為例介紹支路電流分析法。3.1支路分析法圖3-1支路分析法示例列KCL方程：

節(jié)點①：

i1+i2－i5=0

(3-1a)

節(jié)點②：

－i1+i3+i4=0

(3-1b)

節(jié)點③：

－i2－i3+i6=0

(3-1c)

節(jié)點④：

－i4+i5－i6=0

(3-1d)圖3-1中有3個網(wǎng)孔，對電路的網(wǎng)孔編寫KVL方程。設繞向為順時針方向，電壓降為正、升為負，則有

網(wǎng)孔Ⅰ:

－us1+u1+u5+u4+us4=0

(3-2a)

網(wǎng)孔Ⅱ:

－u5－u2+us2－u6=0

(3-2b)

網(wǎng)孔Ⅲ:

－us4－u4+u6+u3－us3=0

(3-2c)除了3個網(wǎng)孔外，尚有若干個回路存在，若對其中由R1、R2、us2、R3、us3、us1所構成的回路列KVL方程，同樣設繞向為順時針方向，電壓降為正、升為負，則有

－us1+u1－u2+us2+u3－us3=0

(3-2d)

顯然，式(3-2)中，(d)=(a)+(b)+(c)。方便起見，對平面網(wǎng)絡通常按網(wǎng)孔編寫KVL方程。

綜上所述，對于具有n個節(jié)點、b條支路的連通網(wǎng)絡有(n－1)個獨立的KCL方程，有(b－n+1)個獨立的KVL方程，由拓撲約束關系可列出的獨立方程總數(shù)為

(n－1)+(b－n+1)=b

(3-3)對于具有n個節(jié)點、m個網(wǎng)孔的連通網(wǎng)絡，支路電流分析法的步驟如下：

(1)在電路中標出支路電流；

(2)列出(n－1)個節(jié)點的KCL方程；

(3)列出m個網(wǎng)孔的KVL方程；

(4)代入歐姆定律消去電壓變量，求解各支路電流。

【例3-1】電路如圖3-2所示，試列寫支路電流方程。

解設支路電流為i1~i6，如圖所示。電路的節(jié)點數(shù)n=4，可列3個獨立的KCL方程。

選擇節(jié)點①~③，得

i6－i1－i2=0

i1－i4－i3=0

i2+i3－i5=0

電路的網(wǎng)孔數(shù)為3，可列3個獨立的KVL方程，代入歐姆定律，得

R1i1+R4i4－us=0

R2i2－R3i3－R1i1=0

R5i5－R4i4+R3i3=0圖3-2例3-1圖

【例3-2】電路如圖3-3所示，求電流i。

解設支路電流i1如圖3-3所示。

由節(jié)點的KCL方程得

i+1－i1=0

由回路Ⅱ的KVL方程得

1+2i1－2i－4+1i=0

解得

i=1A圖3-3例3-2圖網(wǎng)孔分析法是指以網(wǎng)孔電流為變量編寫平面電路方程以求解電路響應的分析方法。

所謂網(wǎng)孔電流，是人們假想的一個僅在網(wǎng)孔邊界循環(huán)流動的電流。如圖3-4所示平面電路，假設有電流im1、im2、im3分別沿網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ邊界循環(huán)流動，則電流im1、im2、im3為網(wǎng)孔電流，其參考方向是任意假定的。3.2網(wǎng)孔分析法圖3-4支路分析法示例

1.網(wǎng)孔電流的特點

(1)網(wǎng)孔電流是一組完備的變量集。顯然，一旦求得網(wǎng)孔電流im1、im2、

im3，則電路中的任一支路電流皆可由網(wǎng)孔電流確定。如i1=im1，i2=im2，i3=im3，i4=im1－im3，i5=im1+im2，i6=im2+im3。

(2)網(wǎng)孔電流是一組獨立的變量集。

在網(wǎng)孔電流im1、im2、im3中，任意一個網(wǎng)孔電流不能由其他兩個電流求得。若對電路各節(jié)點以網(wǎng)孔電流為變量編寫KCL方程，以節(jié)點①、②為例，有

im1+im2=im1+im2，im1+im3=im1+im3

(3)網(wǎng)孔電流有且僅有(b－n+1)個。在平面電路中，網(wǎng)孔數(shù)是(b－n+1)個，因此網(wǎng)孔電流為(b－n+1)個。

綜上所述，由網(wǎng)孔電流為變量可以建立起一組數(shù)目最少而又能夠完全描述電路的線性方程。

對圖3-4，用網(wǎng)孔電流表示支路電流，分別對網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ編寫KVL方程，有

網(wǎng)孔Ⅰ:

網(wǎng)孔Ⅱ:

(3-4)

網(wǎng)孔Ⅲ:同類項合并，可得

(3-5)令

R1+R4+R5=R11，R5=R12，－R4=R13，us1－us4=us11

R5=R21，(R2+R5+R6)=R22，R6=R23，us21=us22

－R4=R31，R6=R32，R3+R4+R6=R33，us3+us4=us33

則式(3-5)可寫為網(wǎng)孔方程的一般形式：

(3-6)對照原電路不難看出，式(3-6)中：

·Rii(i=1，2，3)是第i個網(wǎng)孔的所有電阻之和，且為正值，稱為第i網(wǎng)孔的自電阻。

·Rij(i≠j)是第i個網(wǎng)孔和第j個網(wǎng)孔互相共有的電阻，稱為互電阻。當i、j網(wǎng)孔電流流過該電阻的參考方向一致時，取正值；當i、j網(wǎng)孔電流流過該電阻的參考方向相反時，取負值。

·usii(i=1，2，3)是第i個網(wǎng)孔中，沿著網(wǎng)孔電流的方向所有電源電壓升的代數(shù)和，即電壓升為正、降為負。注意，此處的電源電壓不僅包括電壓源電壓，也包括電流源電壓，所以通常當電流源介于兩個網(wǎng)孔之間時要標出電流源電壓的參考方向。所以，對于具有k個網(wǎng)孔的電流方向，不難寫出網(wǎng)孔方程的一般形式，即

(3-7)

【例3-3】電路如圖3-5(a)所示，求u1、u2。

解設網(wǎng)孔電流im1、im2、im3如圖3-5(b)所示。有

R11=6，R12=2，R13=－3，us11=2

R21=2，R22=5，R23=1，us22=－1

R31=－3，R32=1，R33=5，us33=0圖3-5例3-3圖故網(wǎng)孔方程為

得

則

【例3-4】電路如圖3-6(a)所示，試用網(wǎng)孔分析法求電流i1、i2。

解

方法一：設網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，標出電流源的電壓參考方向，如圖3-6(b)所示。

網(wǎng)孔方程為

輔助方程為

im3－im2=2

(4)

把式(3)代入式(2)，消去u得

－3im1+4im2+5im3=0

(5)

把式(4)分別代入式(1)和式(5)，消去im2得

(6)

(7)將式(7)代入式(6)，消去im3得

代入式(7)得

代入式(4)得

則

圖3-6例3-4圖方法二：將電路變形為如圖3-6(c)所示，設網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，得網(wǎng)孔方程為

解得

則

【例3-5】電路如圖3-7所示，試用網(wǎng)孔分析法求電流i。

解設網(wǎng)孔電流的參考方向如圖3-7所示，得網(wǎng)孔方程為

輔助方程為

i=im2(有受控源，寫出控制量與網(wǎng)孔電流的關系式)解得

i=3A圖3-7例3-5圖

2.超網(wǎng)孔的概念

網(wǎng)孔分析法的實質是：以網(wǎng)孔電流為變量，選擇獨立回路列寫KVL方程。在此，所選擇的獨立回路是電路的網(wǎng)孔。在這種情況下，若構成該網(wǎng)孔的支路含有電流源，則必須引入未知電壓(電流源電壓)u；如果在列寫KVL方程時，選擇避開電流源支路的回路，則可以不引入未知電壓u。該回路被稱為超網(wǎng)孔，即以網(wǎng)孔電流為變量列寫所有不包括電流源支路的回路的KVL方程，當然同樣還要寫出輔助方程(電流源與網(wǎng)孔電流的關系式，控制量與網(wǎng)孔電流的關系式)。

【例3-6】電路如圖3-8(a)所示，求電壓u1和u2。

解

方法一：為避開電流源支路，選擇虛線所示回路(超網(wǎng)孔)，以網(wǎng)孔電流為變量列寫KVL方程，可得

2im1+4im3+3im2=0

輔助方程為

im1－im3=1

im1－im2=2u2

u2=3im2

圖3-8例3-6圖解得

im1=0.62A，im2=0.089A，im3=－0.38A

u1=4im3=－1.52V，u2=3im2=0.267V

方法二：設網(wǎng)孔電流和電流源端電壓的參考方向如圖3-8(b)中所示，列網(wǎng)孔方程得

輔助方程為

解得

im1=0.62A，im2=0.089A，im3=－0.38A

u1=4im3=－1.52V，u2=3im2=0.267V在電路中任意選擇某一節(jié)點為參考節(jié)點(零電位點)，則其余各節(jié)點與參考節(jié)點間的電壓(電位差)稱為節(jié)點電壓。以節(jié)點電壓為變量，編寫電路方程以求解響應的方法稱為節(jié)點分析法。如圖3-9所示電路，若選節(jié)點④為參考節(jié)點(零電位點)，設電路中其他節(jié)點①、②和③相對于參考節(jié)點的電壓(電位差)分別為un1、un2、un3，則un1、un2、un3為節(jié)點電壓。節(jié)點電壓的參考極性以參考節(jié)點為負，其余獨立節(jié)點為正。故節(jié)點電壓實質是節(jié)點與參考節(jié)點之間的電壓差。３.３節(jié)點分析法圖3-9節(jié)點分析法示例

1.節(jié)點電壓的特點

節(jié)點電壓也同樣具有上節(jié)所述可以作為列方程求解電路的電壓變量的一切特點。這體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)節(jié)點電壓是一組完備的變量集。

節(jié)點電壓un1、un2、un3一旦求得，則不難看出所有的支路電壓皆可由節(jié)點電壓的線性組合得到。如圖3-9所示，有

u1=un1－un2，u2=un2，u3=un2－un3，u4=un3，

u5=un1－un3，u6=un1

(2)節(jié)點電壓是一組獨立的變量集。

在節(jié)點電壓un1、un2、

un3中，任意已知兩個節(jié)點電壓的值，不能求得第三個節(jié)點電壓的值。若對電路各回路以節(jié)點電壓為變量編寫KVL方程，以網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ為例，則有

(un1－un3)+(un3－un2)+(un2－un1)=0，

(un1－un2)+un2－un1=0

(3)節(jié)點電壓為(n－1)個。

在具有n個節(jié)點的電路中，當選擇其中一個作為參考點后，其余獨立節(jié)點數(shù)為(n－1)個，即節(jié)點電壓為(n－1)個。

所以，由節(jié)點電壓為變量可以建立起一組數(shù)目最少而又能夠完全描述電路的線性方程。

2.節(jié)點方程的一般形式

節(jié)點分析法的實質是以節(jié)點電壓為變量編寫節(jié)點的KCL方程。在圖3-9所示的電路中，對節(jié)點①、②、③編寫KCL方程，有

(3-8)

用節(jié)點電壓表示元件的約束關系，有

(3-9)把式(3-9)代入式(3-8)，整理后可得

(3-10)式(3-10)中，令

(G1+G5)=G11，－G1=G12，－G5=G13，is=is11

－G1=G21，(G1+G2+G3)=G22，－G3=G23，0=is22

－G5=G31，－G3=G32，(G3+G4+G5)=G33，0=is33

則有3個節(jié)點電壓的節(jié)點方程為

(3-11)對具有m個節(jié)點電壓的電路，相應的節(jié)點方程為

(3-12)

【例3-7】電路如圖3-10(a)所示，求電壓u。

解設參考點及節(jié)點電壓un1、un2、un3如圖3-10(b)所示。由于節(jié)點②、③的節(jié)點電壓為電壓源電壓，故不需列節(jié)點②、③的節(jié)點方程。

由節(jié)點①列節(jié)點方程：

圖3-10例3-7圖輔助方程為

un2=us1，un3=us2(電壓源與節(jié)點電壓的關系式)

解得

【例3-8】電路如圖3-11(a)所示，試編寫節(jié)點方程。

解

方法一：設節(jié)點③為參考點，其余節(jié)點電壓分別為un1、un2、un4。(電壓源介于兩個非參考節(jié)點之間)設電壓源電流為i，如圖3-11(b)所示。列節(jié)點①、②、④的節(jié)點方程：

圖3-11例3-8圖輔助方程為

us=un1－un4

方法二：若設節(jié)點④為參考點，則其余節(jié)點電壓分別為un1、un2、un3，如圖3-11(c)所示。(不需列節(jié)點①的節(jié)點方程)

節(jié)點②、③的節(jié)點方程為

輔助方程為

un1=us(電壓源與節(jié)點電壓的關系式)

【例3-9】電路如圖3-12(a)所示，求u2和i。

解設受控源電流為i1，將獨立電壓源與1Ω電阻對調，設參考點和各節(jié)點電位如圖3-12(b)所示，有

圖3-12例3-9圖

0.5i=un3－un2(電流源與節(jié)點電壓的關系)

(控制量與節(jié)點電位的關系)

u2=un2(控制量與節(jié)點電位的關系)

解得

3.超節(jié)點的概念

從以上分析中可以看到，在應用節(jié)點法分析電路時，對于介于兩個非參考節(jié)點間的電壓源的處理一般要引入未知電流i?？紤]到節(jié)點分析法即是以節(jié)點電壓為變量，列寫KCL方程，如果作閉合曲面將電壓源支路及其兩端點包含在內(nèi)，對該閉合曲面列寫KCL方程以避開電壓源支路，則可以不引入未知電壓i。該閉合曲面稱為超節(jié)點(廣義節(jié)點)。

【例3-10】電路如圖3-12(a)所示，求u2和i。

解將獨立電壓源與1Ω電阻對調，設參考點和各節(jié)點電位如圖3-13所示，為避開電壓源支路，作虛線所示閉合曲面(超節(jié)點)，以節(jié)點電壓為變量列寫KCL方程，可得

un1=0.5u2，un4=2

0.5i=un3－un2(電壓源與節(jié)點電壓的關系)

i=2(un1－un3)，u2=un2(控制量與節(jié)點電壓的關系)

解得

圖3-13例3-10圖網(wǎng)孔是一組獨立回路，網(wǎng)孔電流是人們假想的沿網(wǎng)孔邊界循環(huán)流動的電流，是一組獨立的變量集。不妨設想，任意找到一組獨立回路，假設存在沿回路邊界循環(huán)流動的電流——回路電流，則該組回路電流也應是一組獨立的變量集。以回路電流為變量列方程求解電路的方法，稱為回路分析法(回路電流法)。網(wǎng)孔電流法僅適用于平面電路，而回路電流法則適用于平面或非平面電路。

對于一個具有n個節(jié)點、b條支路的連通網(wǎng)絡來說，其獨立回路數(shù)為b－(n－1)個。所謂獨立回路是指，在該組回路中，任一回路都包含其他回路所沒有的新支路。下面以圖3-14(a)所示電路為例來具體說明回路電流法。3.4回路分析法圖3-14回路分析法示例該電路有4個節(jié)點、6條支路，故獨立回路數(shù)為6－(4－1)=3個。選擇獨立回路如圖3-14(b)所示，并假設回路電流為im1、im2、im3，則各回路的KVL方程為

回路Ⅰ：

－us1+R1im1+R6(im1+im3)+R5(im1－im2+im3)+R4(im1－im2)+us2=0

回路Ⅱ：

R3im2－us2+R4(im2－im1)+R5(im2－im1－im3)=0

回路Ⅲ：

R6(im1+im3)+R5(im1+im3－im2)+R2im3=0整理得

(3-13)將式(3-13)改寫為如下一般形式：

(3-14)

【例3-11】如圖3-15(a)所示電路中，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=15Ω，R4=5Ω，is=2A，試用回路分析法求支路電流i1。

解選擇獨立回路，如圖3-15(b)所示，并假設回路電流為im1、im2、im3，則有回路方程

輔助方程為

i1=im1

代入數(shù)據(jù)解得

i1=－1A圖3-15例3-11圖

1.電路的對偶特性

從前面的學習可以發(fā)現(xiàn)，電路中的許多變量、元件、結構及定律等都是成對出現(xiàn)的，

存在明顯的一一對應關系，這種類比關系就稱為電路的對偶特性。例如在平面電路中，對于每一節(jié)點可列一個KCL方程：

(3-15)

3.5電路的對偶特性與對偶電路而對于每一網(wǎng)孔可列一個KVL方程：

(3-16)

在這里，電路變量電流與電壓對偶，電路結構節(jié)點與網(wǎng)孔對偶，電路定律KCL與KVL對偶。又如對于圖3-16所示實際電源的戴維南電路和諾頓電路模型分別有

u=us－Rsi

(3-17)

i=is－Gsu

(3-18)圖3-16實際電源的電路模型表3-1電路中的常見對偶元素

2.對偶電路

考慮如圖3-17所示兩電路，對于圖(a)可列出節(jié)點方程

(G1+G3)un1－G3un2=is1

(3-19a)

－G3un1+(G2+G3)un2=－is2

(3-19b)

對于圖(b)可列出網(wǎng)孔方程：

(R1+R3)im1－R3im2=us1

(3-20a)

－R3im1+(R2+R3)im2=