12.2證明證明根據已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫做證明.經過證明的真命題稱為定理.常見的基本事實(1)兩點確定一條直線；(2)兩點之間線段最短；(3)同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；(4)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；(5)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行；題型1：說理1．（1）先觀察，再判斷：圖①中間的圖形是正方形嗎？用工具檢驗一下．（2）請把圖②中每一行從左邊第一個正方形開始，逢奇數個的正方形涂黑，再判斷原來的直線有怎樣的變化．【變式1-1】有兩位盲人，他們都各自買了兩對黑襪和兩對白襪，八對襪子的布質、大小完全相同，而每對襪子都有一張商標紙連著．兩位盲人不小心將八對襪子混在了一起，他們兩人怎樣才能取回各自的黑襪和白襪呢？【變式1-2】某校為慶祝建校20周年，組織全校教師進行一次乒乓球比賽，評委甲、乙、丙對較有實力的A、B、C、D四位教師的排名情況做出預測，甲：A第一，B第三；乙：C第一，D第四；丙：D第二，A第三．比賽結束后，三個評委都沒有猜中，但都猜對一半，到底A、B、C、D四位教師的排名是如何呢？你是怎么判斷出來的？題型2：與平行線有關的證明2.請將下列證明過程補充完整：已知：如圖，AC∥DF，直線AF分別與直線BD、CE相交于點G、H，∠1＝∠2，求證：∠C＝∠D．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠DGH（），∴∠2＝∠DGH（），∴∥（同位角相等，兩直線平行），∴∠C＝（兩直線平行，同位角相等），又∵AC∥DF（已知），∴∠D＝∠ABG（），∴∠C＝∠D（等量代換）．【變式2-1】完成下面證明．已知：如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．證明：∵∠1＝∠2（已知），且∠2＝∠3（），∴∠1＝∠3（等量代換）．∴BD∥（同位角相等，兩直線平行）．∴∠C＝∠ABD（）．∵∠A＝∠F（已知），∴AC∥DF（）．∴∠D＝（兩直線平行，內錯角相等）．∴∠C＝∠D（等量代換）．【變式2-2】推理填空：如圖，直線AB，CD被直線EF所截，AD是∠CAB的角平分線，若∠3＝∠1，∠2＝50°，求∠4的度數．解：∵AD是∠CAB的角平分線，∴∠1＝∠5．（角平分線的定義）∵∠3＝∠1，（已知）∴∠3＝．（）∴CD∥AB．（）∴∠4＝∠2．（）∵∠2＝50°，（）∴∠4＝50°．（）題型3：與三角形內角和定理有關的證明3.1．如圖，∠CAD與∠CBD的角平分線交于點P，AD與BC相交于點O，AP交BC于點F、BP交AD于E．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度數；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量關系，直接寫出結果．【變式3-1】在△ABC中，（1）如圖（1），∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P．①若∠A＝64°，求∠BPC的度數．②若∠A＝n°，則∠BPC＝．（2）如圖（2），在△ABC中的外角平分線相交于點Q，∠A＝n°，求∠BQC的度數．（3）如圖（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，它們的外角平分線相交于點Q．請回答：∠BPC與∠BQC具有怎樣的數量關系？并說明理由．【變式3-2】探究題（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個角的數量關系是；（2）如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點P，則∠P與∠A，∠B的數量關系為∠P＝；（3）如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當∠A+∠B＝70°時，試求∠M+∠N的度數（提醒：解決此問題可以直接利用上述結論）；（4）如圖4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=14∠ADE，當∠A+∠B＝n°時，則∠M+∠題型4：綜合證明4.1．（1）如圖①，∠MON＝70°，點A、B分別在射線OM、ON上移動，△AOB的角平分線AC與BD交于點P．試問：隨著點A、B位置的變化，∠APB的大小是否發(fā)生變化？若保持不變，請求出∠APB的度數；若發(fā)生變化，求出變化范圍．（2）如圖②，兩條相交的直線OX、OY，且∠XOY＝n°，在射線OX、OY上分別任取A、B兩點，作∠ABY的平分線BD，BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點C，隨著點A、B位置的變化，求∠C的大小（用n表示）．【變式4-1】如圖，直線MN∥OB，直角三角板CDE的頂點C，D分別在直線OB，MN上，且∠CED＝90°，∠DCE＝60°，設∠AOB＝α（0°＜α＜90°）．（1）如圖1，若CE∥OA，∠MDC＝110°，求α的度數．（2）若∠MDC的平分線DF交OB于點F．①如圖2，當CE∥OA，且∠MDC＝120°時，試說明DF∥OA．②如圖3，當CE∥OA保持不變時，試求出∠DFC與α之間的數量關系．【變式4-2】如圖，已知AM∥BN，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．（1）若∠A＝40°，則∠CBD＝；（直接寫出答案）（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發(fā)生改變？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律；（3）當∠A＝2∠ABC，4∠BCM＝3∠BDC，求∠A的度數．一．選擇題（共6小題）1．某娛樂設施每次能夠容納4人一組進場游玩，甲、乙、丙、丁排隊等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中間隔著2人，丙排在乙后面，中間隔著1人，丁排在丙后面，中間隔著1人，丁后面也有若干人．下列說法：①如果甲和乙同一組，那么丙和丁也同一組；②如果甲和乙不同一組，那么丙和丁也不同一組；③如果丙和丁同一組，那么甲和乙也同一組；④如果丙和丁不同一組，那么甲和乙也不同一組．正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．42．在一次數學活動上，老師將1﹣10共十個整數依次寫在十張不透明的卡片上．老師先將卡片打亂這些卡片，然后隨機給甲、乙、丙、丁、戊五位同學每人發(fā)兩張卡片，五位同學分別把兩張卡片上的數字之和寫黑板上為：甲：7、乙：12、丙：17、丁：3、戊：16，根據以上信息，下列判斷正確的是（）A．戊同學手里拿的兩張卡片上的數字是9和7 B．丙同學手里拿的兩張卡片上的數字是9和8 C．乙同學手里拿的兩張卡片上的數字是4和8 D．甲同學手里拿的兩張卡片上的數字是2和53．A，B，C，D，E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強．A說：“如果我進入，那么B也進入．”B說：“如果我進入，那么C也進入．”C說：“如果我進入，那么D也進入．”D說：“如果我進入，那么E也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A4．為了做好我市新冠肺炎疫情防控“外防輸入，內防反彈”的工作，長沙市疾控中心對三位有可能與新冠肺炎患者密接的市民甲、乙、丙進行調查，三位市民有如下對話：甲說：我密接了，需要隔離；乙說：我肯定沒有密接，請讓我回去工作；丙說：甲沒有密接，不要被他騙了；若這三人中只有一人說的是真話且只有一名密接者，請你判斷誰是真正密接的人（）A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷5．某校六年級四個班準備舉行籃球友誼賽，甲、乙、丙三位同學預測比賽結果如下：甲說：“703班得亞軍，701班得第四”；乙說：“702班得冠軍，704班得第三”；丙說：“704班得冠軍，703班得第三”．賽后得知，三人都只猜對了一半，則得冠軍的班級是（）A．701班 B．702班 C．703班 D．704班6．甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分數依次為10，5，3．競賽全部結束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分 B．第二名的總分可能超過18分 C．第三名的總分共有3種情形 D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名二．填空題（共5小題）7．甲和乙玩一個猜數游戲，規(guī)則如下：已知五張紙牌上分別寫有1、2、3、4、5五個數字，現(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機抽取一張，然后根據自己手中的數推測誰手上的數更大．甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我也不知道誰手中的數更大．假設甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數是．8．4個人進行游泳比賽，賽前A，B，C，D等4名選手進行預測，A說：“我肯定得第一名”，B說：“我絕對不會得最后一名”，C說：“我不可能得第一名，也不會得最后一名”，D說：“那只有我是最后一名！”，比賽揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們之中只有一位預測錯誤，預測錯誤的人是．9．地理老師在黑板上畫了一幅世界五大洲的圖形，并給每個洲都寫上了代號，然后，他請5個同學每人認出2個大洲來，5個同學的回答是：甲：3號是歐洲，2號是美洲；乙：4號是亞洲，2號是大洋洲；丙：1號是亞洲，5號是非洲；?。?號碼是非洲，3號是大洋洲；戊：2號碼是歐洲，5號是美洲；地理老師說：“你們每個人都認對了一半”，請問，4號代表洲．10．在一次數學活動課上，某數學老師將1～10共十個整數依次寫在十張不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個數字，每一個數字只寫在一張卡片上，而且把寫有數字的那一面朝下）．他先像洗撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同學叫到講臺上，隨機地發(fā)給每位同學兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數字之和寫在黑板上，寫出的結果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根據以上信息，判斷戊同學手里拿的兩張卡片上的數字是．11．甲、乙、丙、丁與小強這5位同學一起參加象棋比賽，每兩人都要賽一盤，到目前為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤．則小強已經賽了盤．三．解答題（共5小題）12．學校的教學大樓大廳里有甲、乙兩盞變色的燈，細心的麗麗發(fā)現(xiàn)甲燈每隔1分鐘改變一次顏色，乙燈每隔1分半改變一次顏色，兩燈同時從紅色開始亮燈，變色順序如下：甲的變色順序：紅→紫→藍→黃→綠→紅；乙的變色順序：紅→紫→藍→白→紅；你能幫助麗麗算出幾分鐘后，兩燈第一次同時變成藍色嗎？13．用1，2，3三個數字組成六位數，若每個數字用兩次，相鄰位不允許用相同的數字．（1）試寫出四個符合上述條件的六位數；（2）請你計算出符合上述條件的六位數共有多少個？14．媽媽要榨果汁，她有蘋果、橙子、雪梨三種水果，且其顆數比為9：7：6，小明發(fā)現(xiàn)媽媽榨完果汁后，蘋果、橙子、雪梨的顆數比變?yōu)?：3：4，且榨果汁時媽媽沒有使用雪梨，小明根據他的發(fā)現(xiàn)利用所學數學知識推斷出媽媽榨果汁時只使用了橙子，媽媽告訴小明，他的判斷完全正確．請你嘗試寫出小明的推斷過程．15．如圖，將一個長方形紙片ABCD沿EF所在直線折疊，使得點C，D的對應點分別為點N，M，NF交AE于點G，過點