上海市閔行區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、填空題1.函數(shù)的定義域是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)定義域求法解決即可.【詳解】由題知，，解得，所以函數(shù)的定義域是，故2.已知，，且是奇函數(shù)，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù).【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故即，故，故答案為.3.已知?jiǎng)t______．【正確答案】【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.【詳解】因?yàn)楣?，故答案?4.函數(shù)最小正周期為______．【正確答案】##【分析】直接根據(jù)周期公式計(jì)算得到答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故答案為.5.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________【正確答案】【分析】令，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，令，得，將代入解析式中，得，則函數(shù)的圖象恒定點(diǎn)，即.故6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則切點(diǎn)，因?yàn)?，則，所以在點(diǎn)處的切線斜率為，則切線方程為，即故7.已知平面向量的夾角為，則___________【正確答案】【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算及運(yùn)算律可求得答案.【詳解】，所以．故答案為.8.設(shè)向量、滿足，則在方向上的投影向量是__________.【正確答案】或【分析】利用投影向量的定義求解即得.【詳解】向量，則，在方向上的投影向量為.故或9.設(shè)，，則不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】先分別寫出和時(shí)的表達(dá)式，再分別解這兩種情況下的不等式，最后將解集合并.【詳解】當(dāng)時(shí),首先求出的表達(dá)式，因?yàn)椋鶕?jù)，而，所以，則.然后解不等式，即，移項(xiàng)得到.對(duì)于二次函數(shù)，其判別式，且二次項(xiàng)系數(shù)，所以恒成立，所以時(shí)不等式的解為.當(dāng)時(shí),求出的表達(dá)式，因?yàn)椋鶕?jù)的定義.解不等式，即，移項(xiàng)得到，因式分解得.解為，又，所以此時(shí)不等式解為.故答案為.10.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，都有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)之和為______．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)結(jié)合得出函數(shù)的周期，再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)是函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后應(yīng)用對(duì)稱性即可求出零點(diǎn)和.【詳解】奇函數(shù)y=fx，對(duì)于都有，，則，即f4+x=fx則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．且關(guān)于直線對(duì)稱，作出函數(shù)y=fx與的圖象知共有5個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為，所以，，，，則，故在內(nèi)所有的零點(diǎn)之，故答案為:．11.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則__________.【正確答案】##【分析】由，推得f4+x=fx，得到的周期為4，奇函數(shù)性質(zhì)得，且，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以f4+x=fx，所以的周期為所以，且，所以.故答案為.12.如圖，是款電動(dòng)自行車用“遮陽(yáng)神器”的結(jié)構(gòu)示意圖，它由三叉形的支架和覆蓋在支架上的遮陽(yáng)布組成.已知，，且；為保障行車安全，要求遮陽(yáng)布的最寬處；若希望遮陽(yáng)效果最好（即的面積最大），則的大小約為______.（結(jié)果四舍五入精確到）【正確答案】【分析】設(shè)，則，則利用面積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的角.【詳解】因?yàn)椋?，故，故，設(shè)，則，又，設(shè)，則，，記，，因?yàn)?，故，又?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，此時(shí)，故，用度表示后約等于，故答案為.二、單選題13.給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【正確答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)C：對(duì)和，因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，且存在實(shí)數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.14.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為的函數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和周期性一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，是偶函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，定義域?yàn)椋遥瑒t其為偶函數(shù)，因?yàn)橹芷跒椋瑒t的周期為，故B正確；對(duì)C，是奇函數(shù)，周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，是奇函數(shù)，周期為，故D錯(cuò)誤.故選：B.15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，且，則使成立的實(shí)數(shù)的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得，利用已知條件可得在0,+∞單調(diào)遞增，且是上的偶函數(shù)，等價(jià)于也即是，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】令函數(shù)，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，所以，所以在0,+∞單調(diào)遞增，因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以也是上的偶函數(shù)，所以即，所以，可得，解得：，所以實(shí)數(shù)的集合為故選：B本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及利用單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.16.已知是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)遞增B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增C.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則存在實(shí)數(shù)，使得D.若函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則為最小值【正確答案】D【分析】首先理解函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)割線的斜率，當(dāng)時(shí)，表示的為切線斜率，然后舉反例設(shè)可判斷A錯(cuò)誤；設(shè)可得B錯(cuò)誤；設(shè)可得C錯(cuò)誤；由函數(shù)單調(diào)性的定義可以判斷D正確.【詳解】函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)割線的斜率，當(dāng)時(shí)，表示的為切線斜率；所以對(duì)于A：因?yàn)槭嵌x在R上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在R上單調(diào)遞增，所以設(shè)，則，此時(shí)為常數(shù)，即任意兩點(diǎn)的割線的斜率為常數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，由圖象可知，當(dāng)x∈R時(shí)，隨增大，點(diǎn)與點(diǎn)連線的割線斜率越來(lái)越大，即單調(diào)遞增，但在R不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)，使得，說(shuō)明為有界函數(shù)，所以設(shè)，函數(shù)在上有界，但當(dāng)且x趨近于-2時(shí)、、且x趨近于2時(shí)導(dǎo)函數(shù)無(wú)界，故割線的斜率不一定有界，如圖當(dāng)點(diǎn)向點(diǎn)靠近時(shí)，割線的斜率近似等于點(diǎn)處切線的斜率，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)楹瘮?shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，所以；同理，?dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，所以；所以為的最小值，故D正確；故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率，當(dāng)時(shí)，表示的為切線斜率，然后通過(guò)熟悉的函數(shù)可逐項(xiàng)判斷.三、解答題17.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)為常數(shù).（1）若，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）x=1或；（2）a=?1.【分析】（1）根據(jù)，求得，再解方程即可；（2）根據(jù)，求得參數(shù)，再驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，解得，則，即，整理得，則，或，解得x=1或.故方程的根為或.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，又的定義域?yàn)椋瑒t，解得a=?1；當(dāng)a=?1時(shí)，，則，滿足為奇函數(shù)，故a=?1.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，a，b，c為角A，B，C的對(duì)邊，且滿足，且，求角A的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)整體代入求解可得；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式展開后因式分解可解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，由，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】由正弦定理邊化角得，因?yàn)樵谥?，，則，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)?，所以?9.某校高二年級(jí)某小組開展研究性學(xué)習(xí)，主要任務(wù)是對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行市場(chǎng)銷售調(diào)研，通過(guò)一段時(shí)間的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量單位：千克與銷售價(jià)格單位：元千克近似滿足關(guān)系式，其中，，，為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為元千克時(shí)，每日可售出千克，銷售價(jià)格為元千克時(shí)，每日可售出千克．（1）求的解析式；（2）若該商品的成本為元千克，請(qǐng)你確定銷售價(jià)格的值，使得商家每日獲利最大．【正確答案】（1），（2）元千克【分析】（1）依題意可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（2）設(shè)每日銷售該商品獲利元，即可得到的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而得解.小問(wèn)1詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

即，解得，

所以，，【小問(wèn)2詳解】設(shè)每日銷售該商品獲利元，則

，

則，

令，得或舍去，

所以時(shí)，，為增函數(shù)，

時(shí)，，為減函數(shù)，

所以時(shí)，取得最大值，

，

所以銷售價(jià)格定為元千克，商家每日獲利最大．20.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞減，證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，所以，即可求解.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義法即可證明求解.（3）由（2）中結(jié)果及奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽，所以，即，解得，此時(shí)，滿足，即為奇函數(shù)，故的值為.【小問(wèn)2詳解】在R上單調(diào)遞減，證明如下：由（1）知，，且，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即函?shù)在R上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】由，則，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又由（2）知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得成立，所以，解得.所以的取值范圍為.21.記y=f'x，分別為函數(shù)y=fx，y=gx的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)y=fx與y=gx的一個(gè)“S（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）已知，.若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)y=fx與y=gx在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）求導(dǎo)，假設(shè)存在“S點(diǎn)”，解方程組可得結(jié)論；（2）求導(dǎo)，設(shè)“S點(diǎn)”為，解方程組得結(jié)論．（3）設(shè)“S點(diǎn)”為，由，用表示出，由求得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，則，，假設(shè)存