備戰(zhàn)中考：數(shù)學(xué)矩形專項突破訓(xùn)練講義

二」知識梳理

考點一：矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形.如圖，在Z7ABCD中，如果NA=90°,那

么QBCD就是矩形。

考點二：矩形的性質(zhì)

1：矩形的四個角都是直角

幾何語言：如圖，???四邊形ABCD是矩形,

二NDAB二NABC二NBCD=/CDA=90°

2：矩形的對角線相等

幾何語言：如圖，???四邊形ABCD是矩形

AAC=BD

考點三：矩形的判定方法

1：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（用定義判定）

幾何語言：如圖，?.?NBAD=90°,四邊形ABCD為平行四邊形，「.OABCD是矩形。

2：對角線相等的平行四邊形是矩形。

幾何語言：如圖，???AC=BD,四邊形ABCD為平行四邊形，???GBCD是矩形。

3：有三個角是直角的四邊形是矩形

----

幾何涪言：如圖，NBAD二NABONDCB=90°,四邊形ABCD是矩形。

技巧歸納:

。）矩形首先是一個平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，上述兩條性質(zhì)是它

所具有的特殊性質(zhì)。

屹）矩形的性質(zhì)是證明線段相等或倍分、角相等以及線段平行、垂直的重要依據(jù)。

13）由于矩形的角都是直角，故常把其相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決。

[4）矩形的兩條對角線將矩形分割成4個等腰三角形，所以也常用等腰三角形的性質(zhì)解決

問題。

考點四：直角三角形的一條重要性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

K

J幾何語言：如圖，在RlZ^ABC中，BD是斜邊AC上的中線，「.BD=l/2AC

題型一：矩形的性質(zhì)問題（角度、面積、線段）

1.（2021?陜西隴縣?八年級期中）如圖，在矩形中，AC.8。相交于點。4E平分魴交8c于點

E,若0c4^=15。，則（38OE等于（）

AD

A.52°B.60°C.65°D.75°

2.（2021?上海?八年級期中）如圖，矩形48CQ的對角線AC,8。相交于點O,點尸是力。邊上的一個動點,

過點尸分別作PE1/C于點E，PF工BD千點、F.若48=6,8c=8,則尸石+PF的值為（）

A.10B.9.6C.4.8D.2.4

3.（2022?全國?八年級）如圖，點尸是矩形43co的對角線力C上一點，過點夕作以詞8C,分別交力從CD

于E、尸，連接尸3、PD.若AE=2,PF=6,則圖中陰影部分的面積為（

題型二：矩形求坐標系中的坐標問題

4.（2021?河南鎮(zhèn)平?八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形4。。沿直線/E折疊，折疊后頂點

。恰好落在邊OC上的點尸處.若點。的坐標為。0,8）,則點E的坐標為（）

A.(10,3)B.(10,5)C.(6,3)D.(4,3)

5.（2021?江蘇?蘇州市振華中學(xué)校八年級期末）將矩形O/BC如圖放置，O為坐標原點，若點、A（-1,2）,

7

點5的縱坐標是;，則點C的坐標是（）

3,3、

A.(4,2)B.(3,—)D.(2,-)

22

6.（2021?寧夏?銀川市第三中學(xué)八年級期中）如圖，矩形ABCD的兩邊BC、CD分別在x軸、y軸上，點C與

原點重合，點A（?l,2）,將矩形ABCD沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點A對應(yīng)點記為A,經(jīng)過第二次翻

滾點A對應(yīng)點記為人...依此類推，經(jīng)過5次翻滾后點A對應(yīng)點兒的坐標為（）

9

A

A.1.5B.2C.2.5D.5

11.（2021?江蘇徐州?八年級期中）如圖，在團48c中，加=60。，BIM4C,垂足為O,CE^AB,垂足為E,O

為6C的中點，連接。。、OE,則皿0￡的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.60°D.65°

12.（2021?江蘇崇川?八年級期末）如圖，四邊形48co是菱形，對角線ZC,BO交于點O,E是邊40的中

點，過點E作班曲。，EG^AC,點EG為垂足，若NC=10,BD=24,則尸G的長為（）

題型四：矩形的判定問題

13.（2022?湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校八年級期末）下列四個命題中，正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.兩組對邊分別相等的四邊形是矩形D.四個角都相等的四邊形是矩形

14.（2021?北京市第十七中學(xué)八年級期中）下列關(guān)于oABCD的敘述，正確的是（）

A.若AC=BD,則oABCO是矩形B.若AB=AD,則oABCO是正方形

C.若AB上BC,貝必44。>是菱形D.若4C_LB￡>,則oABCO是正方形

15.（2021?重慶市江津第五中學(xué)校八年級期中）如圖，已知四邊形N8CO是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確

的是（）

A.當48=8。時，它是菱形B.當力雙。時，它是菱形

C.當陽8c=90。時，它是矩形D.當時，它是正方形

題型六：矩形的性質(zhì)和判定綜合性問題

16.（2022?湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校八年級期末）如圖，四邊形力8。>中，AD//BC,

NA=N￡>=90°,點七是40的中點，連接將a48七沿8E折疊后得到［3G3E,且點G在四邊形力8co內(nèi)

部，延長8G交0c于點尸，連接石戶.

⑴求證：四邊形是矩形；

⑵求證：GF=DF；

（3）若點48=6,BC=8,求。尸的長.

17.（2020廣東?深圳中學(xué)八年級期中）如圖，平行四邊形為BC。中，點E為8C中點，AD=2ABt連接力￡、

DE,F、，分別為力上、。七的中點.

（1）求證：b與四互相平分；

（2）若力8=25,DE=40,求Cf的長.

A

18.（2021?湖北江漢?八年級期中）如圖，四邊形488中，AB^CD,0C=11D°.E為8c的中點，直線尸G

經(jīng)過點E,0G3尸G于點G,8/詞向G于點尺

（1）如圖1,當助防=70°時，求證：DG=BF；

（2）如圖2,當魴加^70。時，若BC=DC,DG=BF,請直接寫出班所的度數(shù)；

（3）當。G-B/的值最大時，直接寫出站所的度數(shù).

一、單選題

19.（2022?全國?八年級）能夠判斷一個四邊形是矩形的條件是（）

A.對角線相等B.對角線垂直

C.對角線互相平分且相等D.對角線垂直且相等

20.（2022?遼寧本溪?八年級期末）如圖，長方形048。中，點4在y軸上，點C在x軸上.OA=BC=4t

AB=OC=S.點。在邊45上，點E在邊。。上，將長方形沿直線。E折疊，使點B與點。重合.則點O

A.（4,4）B.（5,4）C.（3,4）D.（6,4）

21.（2022?全國?八年級）如圖，在肋△他C中，氏1。5=90。，力8=10,8是邊上的中線，則CO的長

是（）

A.20B.10C.5D.2

22.（2022?河北?石家莊市第四十二中學(xué)八年級期中）如圖，矩形紙片4BCO,〃為AO邊的中點，將紙片沿

BM、CW折疊，使力點落在A處，。點落在R處，若N3MC=U0。，則N1是（）

23.（2022?江蘇?八年級）如圖，矩形力88中，AB=3,點、E、尸分別在邊力B、8上，點。是即與

的交點，且點。是線段族的中點，沿力尸、CE折疊，使力力、C8都落在4C上，且。、6恰與點O重合.下

列結(jié)論：①NOC4=30。；②點E是48的中點；③四邊形力EC尸是菱形；④力。的長是其中正確的

結(jié)論有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

24.（2022?全國?八年級）如圖，在長方形4BCZ）中，JB=10cm,點E在線段4。上，且4E=6cm,動點尸

在線段48上，從點彳出發(fā)以2cm/s的速度向點8運動，同時點0在線段8c上.以vcm/s的速度由點5向

點C運動，當國以尸與臚8。全等時，u的值為（）

—6-12

C.4或《D.2或1

工一高分竇破

一：選擇題

25.（2021?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形48C。為平行四邊形，延長4。到E,DE=ADf連接E8,

EC,DB,添加一個條件，不能使四邊形D8CE成為矩形的是（）

A"------------------------"R

A.AB=BEB.DEWCC.0JDB=9OOD.CEWE

26.（2021?天津津南?八年級期末）如圖，把?張長方形紙片/BCO沿對角線力。折疊，點8的對應(yīng)點為點長,

4"與。C相交于點瓦則下列結(jié)論正確的是（）

B?

A.WAB'^CAB'B.^ACD=WCD

C.AD=AED.AE=CE

27.（2021?江蘇梁溪?八年級期中）如圖，在EL44C中，團山C為鈍角，AF、CE都是這個三角形的高，P為

?C的中點，若05=40。，則0￡7小?的度數(shù)為（）

A.90°B.95°C.100°D.105°

28.（2021?四川?達州市通川區(qū)第八中學(xué)八年級期中）如圖，在中,48=6,AC=8,8c=10,P為

邊3c上一動點，于E,PFLAC于尸，則所的最小值為（）

A.5B.—C.4D.3

5

29.（2021?湖南綏寧?八年級期末）如圖所示，矩形488中，4E平分的。交BC于￡,團。E=15。，則下

面的結(jié)論：①團OQC是等邊三角形；@）BC=2AB；?S^AOE=SACOE,其中正確結(jié)論有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

30.（2021?江西吉安?八年級期末）長方形48CO中，點E是力。的中點，0E3C的平分線交C。于點尸，將

△￡>￡尸沿"?折疊，點。恰好落在8E上的點M處，分別延長BC,EF交于點N.下列四個結(jié)論：①OF=

CFx②ABEN是正三角形；③8/皿硒；④S〉BEF=3S〉DEF,其中正確的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

31.（2021?江蘇?泰興市實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在8c中，mC8=90。，點E是/。邊上

的動點（點E與點。、力不重合），設(shè)點”為線段BE的中點，過點￡作七曲8,垂足為點兒連接MC、

MF.若（3C84=5（T,則在點f運動過程中E1CA/V的人小為（)

C.130°D.發(fā)生變化，無法確定

32.（2021?浙江溫嶺?八年級期末）如圖有兩張等寬的矩形紙片，矩形瓦6”不動，將矩形A8CD按如下方

式纏繞：如圖所示，先將點。與點E重合，再先后沿尸G、E”對折，點A、點C所在的相鄰兩邊不重疊、

無空隙，最后點。剛好與點G重合，則圖中兩張紙片的長度之比AD:E”=（）

A.3:2B.y/2-AC.75:72D.7:5

二、填空題

33.（2022?上海松江?八年級期末）如圖，在Ra48c中，配=90。，8。平分豳8C,力0=4,CD=2,那么酎=

34.（2022?貴州畢節(jié)?八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形力08C的邊。8、。力分別在x軸、y

軸上，點。在邊3C上，將該長方形沿4。折疊，點C恰好落在邊。8上的E處.若點A（0,8）,點8（10,0）,

則點。的坐標是

35.（2022?重慶一中八年級期末）如圖，將長方形48CQ沿力E,E產(chǎn)翻折使其8、C重合于點H,點。落在

點G的位置，HE與AD交于點、P,連接叱，當A8=6,6C=18時，則P到〃尸的距離是.

G

36.（2022?江蘇?南京市第一中學(xué)八年級期末）如圖，在長方形川?C。中，AB=3t8C=4,點七是BC邊上

一點，連接力E,把D8沿4E折疊，使點8落在點？處.當△CE8為直角三角形時，8E的長為.

37.（2022?陜西榆林?八年級期末）如圖，圓柱形容器高為0.8m,底面周長為d.8m,在容器內(nèi)壁離底部0.1m

的點3處有一只蚊子，此時一只壁虎正好在容器的頂部點A處，若容器壁厚忽略不計，則壁虎捕捉蚊子的

38.（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）已知如圖，在矩形488中，點反尸分別是力。、BC上一點,將四邊形

487花沿著E尸折疊，點8恰好與點。重合，點N與點彳重合，的的角平分線交E尸于點O,若4￡=5,

BF=13,則。。=.

A'

39.（2021?湖北咸豐?八年級期末）如圖，點P是矩形44c。的對角線4c上一點，過點尸作分別

交AB,CD于點、E、F,連接尸仄PD,若4七=2,PF=9,則圖中陰影面積為；

三、解答題

40.（2022?上海浦東新?八年級期末）陽AABC中，ZACB=90。，點0、E分別為邊N8、8C上的點，且CD=C4,

DE上AB,聯(lián)結(jié)4E交C。與點凡點/是力石的中點，聯(lián)結(jié)CM并延長與48交于點

（1）點尸是8中點時，求證：AE1CD：

⑵求證：MH2+HD2=AM2

41.（2022?全國?八年級）如圖，在平行四邊形48co中，七為8C的中點，連接4E并延長交0C的延長線

于點尸，連接8凡AC,且/￡>=/扛

（1）判斷四邊形48尸。的形狀并證明；

（2）若力8=3,酎80=60°,求E尸的長.

42.（2022?吉林?長春外國語學(xué)校八年級期末）如圖所示，折疊矩形力88的一邊ZO,使點。落在8c邊上

的點尸處，已知力8=6,8010,

（1）求B尸的長;

（2）求的面積.

43.（2021?重慶市實驗學(xué)校八年級期中）如圖，在矩形48co中，對角線力C、8。交于點O,4E平分的1。,

交BC于點、E,交BD于點、F.已知團C4E=15。，AB=2.

⑴求矩形ABC。的面積;

⑵求證：OE=FE.

44.（2021?浙江諸暨?八年級期中）在H曲8c中，a4c8=90。，AC=BC,點。為48邊上一點，過點。作

DE^AB,交BC于點E,連接力E,取力E的中點P,連接OP,CP.

（1）觀察猜想：如圖（1）,OP與CP之間的數(shù)量關(guān)系是,OP與CP之間的位置關(guān)系是.

（2）類比探究：將圖（1）中的魴。后繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)45。，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就

圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）問題解決：若BC=3BD=36,將圖（D中的骷OE繞點8在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當8加8時，

請直接寫出線段CP的長.

45.（2021?廣東清新?八年級期中）如圖，在長方形48co中，AB=3,8c=4,點E是8C邊上一點，連接

AE,將M沿直線力七折疊，使點5落在點5'處.

圖I

（1）如圖1,當點E與點。重合時,CB'與4D交于點F,求證：E4=FC；

（2）如圖2,當點E不與點C重合,且點"在對角線NC上時，求CE的長

46.（2022?吉林?長春市第四十五中學(xué)八年級期末）如圖，在Rt△力BC中，mC3=90°,08=30°,48=20.點

P從點8出發(fā)，以每秒26個單位長度的速度沿8C向終點。運動，同時點時從點力出發(fā)，以每秒4個單

位的速度沿向終點5運動，過點尸作尸刎8于點0,連結(jié)尸。，以尸。、M0為鄰邊作矩形尸QMM當

點尸運動到終點時，整個運動停止，設(shè)矩形尸0MN與Rt/UBC重疊部分圖形的面積為S（S>0）,點P的運

動時間為，秒.

（1）①8C的長為；

②用含/的代數(shù)式表示線段42的長為;

（2）當0M的長度為10時，求，的值；

（3）求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當過點。和點N的直線垂直于即ZU4C的一邊時，直接寫出f的值.

47.（2021?吉林?長春市第八十七中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，矩形A8C。中，48=12cm,BC=6cm,動點

「以2cm/s的速度從點A出發(fā)沿折線從笈-3C向終點C運動，動點。以2cm/s的速度從點D開始沿折線

D4-.4B向終點8運動，如果點尸、。同時出發(fā)，設(shè)點尸運動的時間，秒，ACPQ的面積為S.

（1）當1=秒時，點。到達點A,當，=時，點。到達點B.

（2）當?為何值時，AOAP為等腰直角三角形?

（3）表示ACP。的面積S（可用含有，的代數(shù)式表示），請直接寫出結(jié)果.

1.D

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形性質(zhì)，得NR4D=NA6C=90。，AO=I3Oi根據(jù)角平分線性質(zhì)，推導(dǎo)得踮=M；通過證明AABO

是等邊三角形，得次9=40=48,再根據(jù)三角形內(nèi)角和、等腰三角形性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

13矩形力88

0ZBAD=ZABC=9O°,AO=BO

平分曲。交BC干點E

0NBAE=Z.DAE=-NBAD=45°,

2

0ZA￡B=9O°-ZBA￡=45°

⑦ZBAE=ZAEB

\hBE=AB

00C/E=15。

^ZBAO=ZBAE+ZCAE=60°,

^AO=BO

^ZABO=ZBAO=60°

aZAOB=180°-ZABO-Z.BAO=60°,NOBE=90°-ZABO=30°

田是等邊三角形

^BO=AO=AB

?BO=BE

=NBEO=----------------

故選：D.

【點睛】

本題考查了矩形、三角形、角平分線的知識：解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、角平分線、三角形內(nèi)角和、等

腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

2.C

【解析】

【分析】

首先連接0P.由矩形488的兩邊力8=6,BC=8,可求得O4=OQ=5,然后由S△力。0=52^。尸+5△。0/）求

得答案.

【詳解】

解：連接。尸，

BT------------------------飛

用矩形川5CO的兩邊46=6,50=8,

0s也彩48CD=AB?BC=48,OA=OC,OB-OD,AC=BD,AC=(⑷??+8c?=10,

^SM0D=>S除影ABCD=12,OA=OD=5,

SSAAOD=SAAOP+SADOP=gOA?PE+gOD?PF=gOA(PE+PF)=yx5x(PE+PF)=12,

故選：C.

【點睛】

此題考查了矩形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.B

【解析】

【分析】

由矩形的性質(zhì)可證明&^=5皿〉即可求解.

【詳解】

解：匕PA/_LAD于M,交BC于N.

則有四邊形AEPM,四邊形OEPM,四邊形CFPN,四邊形8ERV都是矩形,

==

SiADC=S4ABe,SMMP=SMEP?SAPBE~S^ENfSAPFD^hPDM，^SPFC^&PCN?

,MP=AE=2

?'?SA[)FF=SSPBE=]x2x6=6,

.'.5'pj=6+6=12,

故選：B.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明5皿=5”中.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到的="，所以在直角胡中，利用勾股定理求得OF=6,然后設(shè)EC=x,則EF=DE=8?x,

CF=10-6=4,根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點E的坐標.

【詳解】

解：團四邊形40co為矩形，。的坐標為(10,8),

^AD-OC-lQyDC=AO=8,

畝矩形沿45i折疊，使。落在8C上的點尸處，

(L4Z)=4尸=10,DE=EF,

在R危40尸中,。尸=JA尸2_AO?=6,

MC=10-6=4,

設(shè)EC=x,則OE=EF=8-x,

在R應(yīng)CEF中,￡尸=七。2+尸02,

即(87尸=/+42,

解得m3,即EC的長為3,

團點E的坐標為(10,3).

故選擇4

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理構(gòu)造

方程是解題關(guān)鍵.

5.B

【解析】

【分析】

首先構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出CM==1,MO

=3.進而得出答案.

【詳解】

如圖，過點4作力降軸于點E,過點3作8心軸于點尸，過點4作4尸于點N,

過點C作CM取軸于點M.

雨￡4。+的O￡=90°,a4OE+0Moe=90°,

mEAO^COM,

又加￡0=120/0=90°,

^AEO^OMC,

OEAE

13------=------

CMOMf

釀84泅43042=90°,13E4O+團CUN=90°,

豳8/論甌40=團COM,

在AJ8N和△OCM中，

ZBNA=ZCMO

?/BAN=NCOM,

AB=OC

mABmOCM(AAS),

DRN=CM.

7

回點4(-1,2),點8的縱坐標是

3

aBN=一,

2

3

0CM=-,

2

1_2

^~0M,

2

(W0=3,

3

團點。的坐標是：(3,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.構(gòu)造直

角三角形，正確得出CM的長是解題的關(guān)誕.

6.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后觀察圖形即可得到經(jīng)過5次翻滾后點A對應(yīng)點As的坐標，從而解答本

題.

【詳解】

解：由題意畫出如下圖：

由題意可得上圖，經(jīng)過5次翻滾后點A對應(yīng)點As的坐標如上圖所示，故As的坐標為：(8,1).

故選：D.

【點睛】

木題借助矩形考查平面直角坐標系中點的翻折變化問題，解題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，找出??般的規(guī)律

進而求解.

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得8G=A5=6,AE=EG,NBGE=ZA,再由矩形的性質(zhì)可得%)=10,從而得到

DG=BD-BG=4,然后設(shè)AE=x,則EG=x,DE=8-x,在RADEG中，由勾股定理，即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：BG=AB=6,AE=EG,NBGE=ZA,

在矩形紙片A8CD中，ZBGE=A=90°,

0BD=VAB2+AD2=yj62+82=10，

⑦DG=BD—BG=4,

設(shè)AE=x,則EG=x,￡>E=8-x,

在.RlADEG中，DG2+EG2=DE2,

0X2+42=(8-X)2,解得：x=3,

即AE=3.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.C

【解析】

【分析】

由4SN證明團G4W定GM(4%)，得出GM=Gr，AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,因此OP=8-x,CF=x+2,在

R/0QFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【詳解】

解：設(shè)8M中，

由折疊的性質(zhì)得：團七=助=90°=114,

ZA=ZF

在EIG/M和國GE尸中，，AG=GE,

ZAGM=ZEGF

mGAk^BGEF(力SZ),

EGM=GR

0/iF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,

(2DF=8-x,CF=8-(6-x)=x+2,

在R危O尸。中，由勾股定理得：(x+2)2=(8-x)2+62,

解得：x=24g，

24

團BM=—.

5

故選：C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊有性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)

和全等三角形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵.

9.C

【解析】

【分析】

先根據(jù)S△皿=22.5,48=6求得OE=7.5,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NCBZ)=NEBO,而NCBD=NBDE,則

NBD=NEDB,得比=￡0=7.5,由此利用勾股定理得到AE=4.5,進而即可求得答案.

【詳解】

解：,?四邊形A8c。是矩形，

.\ZA=90°,BC=AD,

(3S△的=(OEA8=22.5，

又酎3=6,

OS△謝=g力E6=22.5，

解得：DE=7.5,

???將該矩形沿對角線8。折疊，

:"CBD=/EBD,

■.?四邊形A8CO是矩形,

..AD,IBC,

\?CBD?RDE,

:.ZEBD=ZEDB,

BE=DE=7.5,

但在RtAABE中，AE=\lBE2-AB2=4.5，

^BC=AD=AE+DE=\2t

故選：C.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后的兩個羽形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)，

等腰三角形的判定與勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

10.C

【解析】

【分析】

先利用勾股定理可得48=5,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得.

【詳解】

解：??在AABC中，ZAC8=90。，AC=4,6C=3,

:.AB=y/AC2+BC2=5>

???點。是AB的中點，

CD=—AB=2.5,

2

故選：C.

【點睛】

本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半是解題關(guān)鍵.

11.C

【解析】

【分析】

根據(jù)垂直的定義得到根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到a48￡>=0JCE=3O°,根據(jù)

直角三角形的性質(zhì)得到弓8C,OD=OB=*BC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和平角的定義即可得到

團即尸=60°.

【詳解】

證明：0CH145,BIM4C,

^AEC=BBEC=^ADB=BBDC=90°,

皿=60°,

^ABD=BACE=30°,

^DBC+BECB=18Q°-^A-BABD-^ACE=6Q°,

團點。是5c的中點，

^OE=OC=-BC,OD=OB=、BC,

22

^OEC=WCE,WBD=BODB,OE=OD,

00BO￡=0O￡C+(3OC￡=20OC￡,

^COD=MBD+^\ODB=2^OBD.

005OE+0COD=20OC￡+20(95D=2X6OO=12O\

團￡0>OE=6O°.

故選：C.

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線是斜

邊的一半是解題的關(guān)鍵.

12.B

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)得出。4=OC=5,08=07)=12,AC^BD,根據(jù)勾股定理求出4)=13,由直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半求出?！?6.5,證出四邊形EFOG是矩形，得到EO=G尸即可得出答案.

【詳解】

解：連接。/，

用四邊形/BCO是菱形，

004=。。=5,OB=OD=12,AC^BD,

在我危JOO中，AD=JAO2+DO2=13,

又跖是邊力。的中點，

0Of=-^D=-xl3=6.5,

22

^EF^BD,EG^AC,AC^BD,

00￡TO=9O°,0EGO=9O°,(3GOF=90°,

團四邊形EFOG為矩形，

^FG=OE=6.5.

故選：B.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和

矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.D

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的判定定理判斷即可.

【詳解】

解：A.對角線相等的平行四邊形是矩形，原選項說法錯誤，不符合題意；

B.有一個角是直角的平行四邊形是矩形，原選項說法錯誤，不符合題意：

C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，原選項說法錯誤，不符合題意：

D,四個角都相等的四邊形是矩形，原選項說法正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】

本題考查矩形的判定定理，熟記矩形的判定定理是解題關(guān)鍵.

14.A

【解析】

【分析】

由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出選項A、6、0錯誤，C正確；即可得出結(jié)

論.

【詳解】

解：“ABC。中，AC=BD,

??四邊形A8C。是矩形，選項A符合題意；

?.oABS中，AB=AD,

???四邊形48CO是菱形，不一定是正方形，選項8不符合題意；

?.oABCD中，AB1BC,

，四邊形A3CO是矩形，不一定是菱形，選項C不符合題意；

???oABCQ中，ACLBD,

??四邊形A8CD是菱形，選項。不符合題意；

故選：A.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟練掌握矩形、

菱形、正方形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

15.D

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定定理判斷即可.

【詳解】

解：A.當48=8。時，它是菱形，正確，不符合題意；

B.當4C甌時，它是菱形，正確，不符合題意；

C.當山18C=90。時，它是矩形，正確，不符合題意：

D.當4。=8。時，它是矩形，原選項不正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】

本題考查了菱形、矩形、正方形的判定，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)判定定理，準確進行判斷.

16.⑴證明見解析；

⑵證明見解析；

Q

(3)^=-

【解析】

【分析】

（1）利用平行線的性質(zhì)可得窗c=9。。，再杈據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形即可判定；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和中點的定義得出EG=ED,再用HL定理證明R座G死IRQ瓦W即可;

（3）利用O9分別表示8尸和尸C,再在R顧。廠中利用勾股定理求解即可.

⑴

證明：^AD//BC,

00D+G1C=18OO,

0ZA=Z￡）=9O°,

0ZC=Z4=ZD=90°,

回四邊形片8c。為矩形；

（2）

證明：團將創(chuàng)8后沿8E折疊后得到回G8E,

甌48旅團G8E,

（WGE=0/tAE=GE,

0a4=20=90°,

B0fG產(chǎn)=甌=90。，

圓點E是4。的中點，

^EA=ED,

站G=ED,

在RKLEGF和RtmEDF中，

{EF=EF

[EG=EDf

^RBEGF\hRBEDF（HL）；

0GF=DF；

⑶

解：國四邊形48CZ）為矩形，^ABE^GBE,

aaC=90°,BG=CD=AB=6,

0GF=DF；

⑦BF=BG+GF=6+DF,CF=DC-DF=6-DF,

13在用團4。尸中，根據(jù)勾股定理，

BF2-CF2+BC1，

即（6+DF）2=（6-DF）2+82,

解得

Q

即DF=1.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理等.（1）掌握矩形的判定定

理是解題關(guān)鍵；（2）能結(jié)合重點和折疊的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵；（3）中能利用。戶正確表示MEIBC/

中，B尸和。尸的長度是解題關(guān)鍵.

17.（1）證明見解析；（2）CF=10V13

【解析】

【分析】

（1）連接切，先證明是△AED的中位線，得到戶H〃AD,且再由在平行四邊形49CO

中，七為BC中點，得到AD=8C=2EC,AO〃EC,則切〃EC,且產(chǎn)H=EC,由此即可證明四邊形"HC

是平行四邊形，得到與可互相平分；

（2）作OP_LEC于P,HG工BC于G,FNLBC^N,連接，尸，先利用勾股定理求出CP=7,則

DP=《DC?-C產(chǎn)=24,EP=EC+CP=25+7=32,再證明四邊形FNG"是矩形，得到"，==NG,尸N=〃G,

則*=CG,然后根據(jù)，是OE的中點，BDPE=90°,得至lJHP=EH=goE=20,則EG=；EP=16,

FN=HG=\IEH2-EG2=12?由此求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖，連接尸H,

田戶、，分別為4E、的中點，

團尸〃是△血）的中位線，

^FH//AD,且4）=2"/,

又困在平行四邊形488中，E為BC中點,

^AD=BC=2EC,AD//EC,

^FH//EC,且切=EC,

團四邊形是平行四邊形,

。。產(chǎn)與互相平分；

(2)如圖，作。P_LEC于P,HG上BC于G,FNiBC^N,連接HP

DDP_BC,

^ED2-EP2=DC2-CP\

0ED=40?AB=CD=CE=—AD=25,

2

04O2-(25+CP)2=252-CP2,

acp=7,

DP=4DC2-CP2=24?EP=EC+C尸=25+7=32，

自HGLBC,FmBC,FH^BC,

^FNG=WGN=90°,

^1IFN=13Q9-^FNG=9Q°,

ia四邊形產(chǎn)NG〃是矩形，

QFH==NG,FN=HG,

13FH=EC=NG,

SNE=CG,

0/7是QE的中點，皿力E=90。，

SHP=EH=-DE=20,

2

又曲70EP,

(3EG」EP=16,

2

⑦FN=HG=JEH?-EG?=\2

中EN=CG=EC-EG=2576=9,

國NC=EC+EN=25+9=34,

在.RT4FNC中,FC=ylFN2+NC2=V122+342=lOx/13?

0CF=1OV13；

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理，解題的關(guān)

鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定條件.

18.（1）證明見解析；（2）^BEF=35°；（3）魴E尸=20°.

【解析】

【分析】

（1）過C點作CH0FG于點尸，證明陰尸況團C77E,可得CH=BF,再證明四邊形C//G。為矩形，即可得

GD=CH=BF；

（2）過。點作CM2G于點E證明回血GW,CM=DMf再結(jié)合8C=DC,可得EC=MC,結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)即可得出相應(yīng)角度；

（3）結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，根據(jù)運動軌跡分析可知當。G2CQ時，0DG—8/三OG?GM=M。4co，且當G

在OC的延長線上時等號成立，由此可得結(jié)論.

【詳解】

解：（1）過C點作CH0FG于點￡

回CMFG,DGBFG,MZWG,

盟DGHW=?CHM司BFE=90°,

(2E為BC的中點，

Q5￡=￡C,

又跑BEF=%EH

^BFE^CHE(AAS)

國CH=BF,

釀BEF=70°

豳CEH=70。,

00C=11O°,

QFG//DC,

00C//F=IWCD=0OGH=0GDC=9OO,

目四邊形CHGO為矩形，

?GD=CH=BF；

(2)如下圖所示，過C點作C/J^FG于點F,

與(1)同理可證^DGH=BCHM=90°fBE=EC,

gG=BF,

⑦CH=DG,

又盟CME=M)MG,

00cHW00OGM

□BC=DC,

I3￡，C=A/C,

00C=11O°,

00c￡0=（3CME=35°,

005￡F=aC￡A/=35o；

（3）當OG<CQ時，DG-BF<CD,

當OGNCO時，如下圖，過。點作CM3FG于點尸，過點。作CM2DG于",

I3PG0FG,CH^FG,CM^DG

00DOT=aC//G=0GWG=9O°,

^CH=GNft

由（1）得CH=BF,

^DG-BF=DG-GM二MD^CD,且當G在。C的延長線上時等號成立,

此時如下圖，

05EF=（3CEG=（a5CD-0G=llO*,-9Oo=2O<>.

【點睛】

本題考查全等三角形綜合，矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等.能正確作出輔

助線，構(gòu)造全等三角形是解決（1）（2）的關(guān)鍵；（3）中能正確分析運動軌跡是解題關(guān)鍵.

19.C

【解析】

略

20.C

【解析】

【分析】

設(shè)4Z)=x,在&詹040中，據(jù)勾股定理列方程求出x,即可求出點。的坐標.

【詳解】

解：設(shè)由折疊的性質(zhì)可知，0D=BD=8-xt

在Rt^OAD中,

0。42Mo2=。了，

042+^=(8-^)2,

取=3,

(37)(3,4),

故選C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.直角三角形

兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

21.C

【解析】

【分析】

由直角三角形的性質(zhì)知：斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出CO的長.

【詳解】

解：團在RhABC中，ZACB=90°,AB=10fCO是49邊上的中線

:.CD=-AB=5

2

故選：C.

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

22.B

【解析】

【分析】

如圖(見解析)，先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N2=N3,N4=N5,再根據(jù)平角的定義可得N2+N5=70。，，從而可

得N3+N4=70°,然后根據(jù)角的和差即可得.

【詳解】

解：如圖，由折疊的性質(zhì)得：N2=N3,N4=N5,

???ZWC=110°,

.N2+N5=180°-NBMC=70°,

.\Z3+Z4=70°,

Zl=N8MC-(N3+N4)=110°-70°=4C°,

故選：B.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、角的和差，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.C

【解析】

【分析】

由四邊形488是矩形，。是E尸的平分點C尸〃AE,可得。尸=。石，可知。是4C的平分點，可證“1O尸

⑦ACOE(SAS),OE=OFtAO=AO,可得ZAO尸=NCOE=90°,貝UAAOF團AAQE(SAS),可知

^DAF=Z.OAE=^OAF=ix90°=30°,則①正確；因為/=30°=NO4E,可得AE=2OE,由ABCE

-COE,所以O(shè)E=BE,則E是48的三等分點，則②錯誤；因為力C、M相互垂直平分，AE=AFt四

邊形/EC"是菱形，則③正確；由OF=BE=；AB=1,NZM尸=30°可得”=2,由此可知4。=石故④

正確.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：OA=AD,OC=BC,

團四邊形488是矩形，

0CF//AE,AD=BC,

：.OA=OC,

(30是EF的平分點，

^OF=OEt

□△AOFBACOE(SAS)f

^OE=OF,AO=AO,

□ZAOF=ZCOE=90°,

(3aA0產(chǎn)團AAOE(5/15),

0NDAF=ZOAE=ZOAF=-x90°=30°,

3

國①正確；

(aNDC4=NO4E=30°,

^AE=2OE,

-COE是由AECB翻折的，

忠△BCE^ACOE,

0OE=BE,

站是48的三等分點，

國②錯誤；

a4C、E"相互垂直平分，AE=AF,

0四邊形是菱形，

(3③正確；

^DF=BE=-AB=\ZZMF=30°,用A尸=2,

3f

aAD=>/3,

團④正確，

故選：C.

【點睛】

本題考查全等三角形性質(zhì)和判定，直角三角形的特殊角的性質(zhì)，熟練運用全等三角形的性質(zhì)是解決本題的

關(guān)鍵.

24.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知當團以「與附80全等時，有兩種情況：①當EAP4時，^APEmBQP,②當4P=BP時,

^AEPmBQP,分別按照全等三角形的性質(zhì)及行程問題的基木數(shù)量關(guān)系求解即可.

【詳解】

解：當嶺尸與那8。全等時，有兩種情況：

①當E4=尸8時，^APE^BQP(SAS\

^AB-lQcm,AE=6cm,

WP=AE-6cm,AP=4cm,

^BQ=AP=4cni；

①動點尸在線段48上，從點力出發(fā)以2cm/s的速度向點8運動，

團點尸和點。的運動時間為：4+2=2s,

前的值為：4+2=2c〃?/s；

②當AP=BP時，^AEP^BQP(SZS),

0/18=10?！?，AE=6cm,

^AP=BP=5cm,BQ=AE=6cm,

054-2=2.55,

02.5v=6,

12

0v=—.

5

故選：D.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，注意數(shù)形結(jié)合和分類討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)

及定理是解題的關(guān)鍵.

25.B

【解析】

【分析】

先證明四邊形BCED為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進行解答.

【詳解】

解：團四邊形48CQ為平行四邊形，

awasc,且/O=8C,

又酎D=DE,

且O￡=8C,

團四邊形BCED為平行四邊形，

彳、1?1AB=BE,DE=ADt

皿龍1熊，

回口。8。￡為矩形，故本選項不符合題意；

B、0DA0DC,

E0￡M=9O0+0CDB>9OO,

(3四邊形。4CE不能為矩