第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布§12.5

概率與統(tǒng)計(jì)

的綜合問(wèn)題例1

2022年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)組成樣本，并將得分分成以下6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；題型一頻率分布直方圖與分布列的綜合問(wèn)題估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)為10×(45×0.010＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.015＋95×0.010)＝70.5.(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[90,100]的人數(shù)為ξ，試求ξ的分布列和均值；從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，其中得分在[90,100]的人數(shù)為若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[90,100]的人數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0,1,2.則ξ的分布列為(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算s2＝42.25.現(xiàn)從所有參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取500人，若這500名學(xué)生的得分相互獨(dú)立，試問(wèn)得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.由題意知，μ＝70.5，σ2＝s2＝42.25，σ＝6.5.所以這500名學(xué)生得分高于77分的人數(shù)最有可能為0.15865×500≈79.高考常將頻率分布直方圖與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解題時(shí)要正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù).概率問(wèn)題以計(jì)算為主，往往和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2023·濟(jì)南模擬)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)

(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)已知某用戶(hù)從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于[35,45]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率估計(jì)概率，求X的分布列.因?yàn)橘?gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于[35,45]內(nèi)的概率為0.2，所以X～B(3,0.2)，因?yàn)閄的所有可能取值為0,1,2,3，所以P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，P(X＝3)＝0.23＝0.008，所以X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.008題型二回歸模型與分布列的綜合問(wèn)題例2

(2023·德州模擬)工信部發(fā)布的《“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》中明確提出建立“百十萬(wàn)千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專(zhuān)精特新”“小巨人”“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專(zhuān)精特新”是指具備專(zhuān)業(yè)化、精細(xì)化、特色化、新穎化優(yōu)勢(shì)的中小企業(yè).下表是某地2017－2021年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量(y)817292442(1)請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量(y)817292442(2)若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個(gè)為“專(zhuān)精特新”企業(yè)，3個(gè)為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，用X表示抽取的3個(gè)企業(yè)中為“專(zhuān)精特新”企業(yè)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與均值.由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3，所以X的分布列為高考常將回歸模型與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，求線(xiàn)性回歸方程時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算.求解概率問(wèn)題時(shí)要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型是關(guān)鍵.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2023·成都模擬)2022年，中國(guó)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售火爆，A省相關(guān)部門(mén)調(diào)查了該省2022年1月份至10月份的新能源汽車(chē)銷(xiāo)量情況，得到一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，其中xi表示第i個(gè)月，yi表示第i個(gè)月A省新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量(單位：萬(wàn)輛)，由樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可知，y與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，并將這10個(gè)月的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到右面一些統(tǒng)計(jì)量的值：(1)建立y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并估計(jì)A省12月份新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量；(2)為鼓勵(lì)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售商積極參與調(diào)查，A省汽車(chē)行業(yè)協(xié)會(huì)針對(duì)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售商開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，所有費(fèi)用由某新能源汽車(chē)廠(chǎng)商贊助.共設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中一、二、三等獎(jiǎng)分別獎(jiǎng)勵(lì)2萬(wàn)元、1萬(wàn)元、5千元，抽中一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為

現(xiàn)有甲、乙兩家汽車(chē)銷(xiāo)售商參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，假設(shè)他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求這兩家汽車(chē)銷(xiāo)售商所獲獎(jiǎng)金總額X(單位：萬(wàn)元)的分布列及均值.這兩家汽車(chē)銷(xiāo)售商所獲得的獎(jiǎng)金總額X的所有可能取值為4,3,2.5,2,1.5,1，則X的分布列為獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問(wèn)題例3

(2023·濱州模擬)新能源汽車(chē)是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車(chē)，有利于減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車(chē)越來(lái)越受到消費(fèi)者的青睞，新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)也必將成為未來(lái)汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某車(chē)企隨機(jī)調(diào)查了3月份購(gòu)買(mǎi)本車(chē)企生產(chǎn)汽車(chē)的100位車(chē)主，題型三(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)車(chē)種類(lèi)與性別有關(guān)；性別購(gòu)車(chē)種類(lèi)總計(jì)購(gòu)置新能源汽車(chē)購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)男性501060女性251540總計(jì)7525100經(jīng)統(tǒng)計(jì)其購(gòu)車(chē)種類(lèi)與性別情況如表所示(單位：人).所以有95%的把握認(rèn)為購(gòu)車(chē)種類(lèi)與性別有關(guān).(2)用樣本估計(jì)總體，用本車(chē)企售出汽車(chē)樣本的頻率代替售出汽車(chē)的概率，從該車(chē)企3月份售出的汽車(chē)中，隨機(jī)抽取3輛汽車(chē)，設(shè)被抽取的3輛汽車(chē)中屬于傳統(tǒng)燃油汽車(chē)的輛數(shù)為X，求X的分布列及均值.P(K2≥k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828隨機(jī)抽取1輛汽車(chē)屬于傳統(tǒng)燃油汽車(chē)的概率為

，設(shè)被抽取的3輛汽車(chē)中屬于傳統(tǒng)燃油汽車(chē)的輛數(shù)為X，則X的所有可能取值為0,1,2,3，所以X的分布列為高考常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，要注意過(guò)好“三關(guān)”：假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對(duì)比關(guān).解決概率問(wèn)題要準(zhǔn)確地把握題中所涉及的事件，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2023·昆明模擬)2022年，舉世矚目的冬奧會(huì)在北京舉行，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有著可愛(ài)的外表和豐富的寓意，自亮相以來(lái)就好評(píng)不斷，深受各國(guó)人民的喜愛(ài).某市一媒體就本市小學(xué)生是否喜愛(ài)這兩種吉祥物對(duì)他們進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，列聯(lián)表如下(單位：人)：性別是否喜愛(ài)總計(jì)喜愛(ài)不喜愛(ài)男生302050女生401050總計(jì)7030100(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)吉祥物與性別有關(guān)；所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)吉祥物與性別有關(guān).性別是否喜愛(ài)總計(jì)喜愛(ài)不喜愛(ài)男生302050女生401050總計(jì)7030100(2)現(xiàn)從樣本的男生中采用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中有X人喜愛(ài)吉祥物，求X的分布列和均值.P(K2≥k0)0.10.050.01k02.7063.8416.635由題意得，采用分層抽樣方法抽取出的5人中，有3人喜愛(ài)吉祥物，有2人不喜愛(ài)吉祥物，則X的可能取值為1,2,3，所以X的分布列為課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練1.(2023·大理模擬)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日在中國(guó)北京開(kāi)幕，簡(jiǎn)稱(chēng)“北京冬奧會(huì)”.某媒體通過(guò)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)采訪(fǎng)了某市100名關(guān)注“北京冬奧會(huì)”的市民，并將其年齡數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個(gè)年齡段的人數(shù)依次成等差數(shù)列，求a，b的值；123456123456解得a＝0.035，b＝0.025.(2)該媒體將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高關(guān)注人群，其他年齡段的人群定義為次高關(guān)注人群，為了進(jìn)一步了解其關(guān)注項(xiàng)目.現(xiàn)按“關(guān)注度的高低”采用分層抽樣的方式從參與采訪(fǎng)的100位關(guān)注者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行電視訪(fǎng)談，求此3人中來(lái)自高關(guān)注人群的人數(shù)X的分布列與均值.123456123456利用分層抽樣的方式從樣本中抽取10人，易知其中屬于高關(guān)注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，則屬于次高關(guān)注人群的有4人，則X的所有可能取值為3,2,1,0，123456所以X的分布列為2.(2022·衡陽(yáng)模擬)某市某部門(mén)為了了解全市中學(xué)生的視力情況，采用分層抽樣的方法抽取了該市120名中學(xué)生，已知該市中學(xué)生男女人數(shù)比例為7∶5，他們的視力情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：123456性別視力情況總計(jì)近視不近視男生30

女生

40

總計(jì)

120123456性別視力情況總計(jì)近視不近視男生30

女生

40

總計(jì)

120(1)請(qǐng)把表格補(bǔ)充完整，判斷是否有99%的把握認(rèn)為近視與性別有關(guān)；123456∵該市中學(xué)生男女人數(shù)比例為7∶5，∴抽取的120名學(xué)生中男生有70人，女生有50人，2×2列聯(lián)表如下：性別視力情況總計(jì)近視不近視男生304070女生104050總計(jì)4080120123456根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，∴有99%的把握認(rèn)為近視與性別有關(guān).(2)如果用這120名中學(xué)生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學(xué)生中男生和女生近視的概率，且每名同學(xué)是否近視相互獨(dú)立.現(xiàn)從該市中學(xué)生中任選4人，設(shè)隨機(jī)變量X表示4人中近視的人數(shù)，求X的分布列及均值.123456P(K2≥k0)0.10.050.01k02.7063.8416.635123456∵用這120名中學(xué)生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學(xué)生中男生和女生近視的概率，由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，123456∴X的分布列為3.隨著生活水平的不斷提高，人們?cè)絹?lái)越注重養(yǎng)生.科學(xué)健身有利于降低脂肪含量，健身器材成為人們的新寵.某小區(qū)物業(yè)決定選購(gòu)一款健身器材，物業(yè)管理員從該品牌的銷(xiāo)售網(wǎng)站了解到此款健身器材近五個(gè)月的實(shí)際銷(xiāo)量如表所示：123456月份7月8月9月10月11月月份編號(hào)t12345銷(xiāo)量y(萬(wàn)臺(tái))0.50.611.41.7(1)求出銷(xiāo)量y關(guān)于月份編號(hào)t的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)12月份該品牌此款健身器材的銷(xiāo)量；123456123456123456故可預(yù)測(cè)12月份該品牌此款健身器材銷(xiāo)量為2萬(wàn)臺(tái).(2)該品牌銷(xiāo)售商為了促銷(xiāo)，采取“摸球定價(jià)格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號(hào)的享受七折優(yōu)惠，三次僅有兩次摸到相同編號(hào)的享受八折優(yōu)惠，其余均九折優(yōu)惠.已知此款健身器材一臺(tái)標(biāo)價(jià)為10000元，設(shè)物業(yè)公司購(gòu)買(mǎi)此款健身器材的價(jià)格為X，求X的分布列與均值.123456123456公司購(gòu)買(mǎi)此款健身器材的價(jià)格X的所有可能取值為7000，8000，9000，其分布列為1234564.2022年3月，“兩會(huì)”在北京召開(kāi)，會(huì)議吸引了全球的目光，對(duì)我國(guó)以后的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有深刻的歷史意義，某媒體為調(diào)查本市市民對(duì)“兩會(huì)”的了解情況，進(jìn)行了一次“兩會(huì)”知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查(每位市民只能參加一次)，隨機(jī)抽取年齡在15～75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年齡落在區(qū)間[15,35)和[35,75]內(nèi)的人分別稱(chēng)為“青少年人”和“中老年人”.123456(1)若“青少年人”中有15人在關(guān)注“兩會(huì)”，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為關(guān)注“兩會(huì)”與年齡有關(guān)；年齡是否關(guān)注總計(jì)關(guān)注不關(guān)注青少年人15

中老年人

總計(jì)5050100123456依題意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，“中老年人”共有100－45＝55(人)，2×2列聯(lián)表如下：年齡是否關(guān)注總計(jì)關(guān)注不關(guān)注青少年人153045中老年人352055總計(jì)5050100123456結(jié)合列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得所以有99%的把握認(rèn)為關(guān)注“兩會(huì)”與年齡有關(guān).123456(2)由(1)中結(jié)果，采用分層抽樣的方法從“青少年人”關(guān)注“兩會(huì)”和不關(guān)注“兩會(huì)”的人中抽取6人，再?gòu)倪@6人中選3人進(jìn)行專(zhuān)訪(fǎng)，設(shè)這3人中關(guān)注“兩會(huì)”的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.P(K2≥k0)0.050.010.001k03.8416.63510.828123456依題意可知，樣本中青少年人關(guān)注“兩會(huì)”的有15人，不關(guān)注“兩會(huì)”的有30人，采用分層抽樣的方法抽取6人，則關(guān)注“兩會(huì)”的抽取2人，不關(guān)注“兩會(huì)”的抽取4人，則X的所有可能取值為0,1,2，123456故隨機(jī)變量X的分布列為5.(2023·南平模擬)某學(xué)校共有3000名學(xué)生，其中男生1800人，為了解該校學(xué)生在校的月消費(fèi)情況，采取分層抽樣的方式抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，先統(tǒng)計(jì)他們某月的消費(fèi)金額，然后按“男生、女生”分成兩組，再分別將兩組學(xué)生的月消費(fèi)金額(單位：元)分成5組：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.123456綜合提升練(1)樣本中將月消費(fèi)金額不低于600元的學(xué)生稱(chēng)為“高消費(fèi)群”.請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表，分析是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與性別有關(guān)；123456性別是否屬于“高消費(fèi)群”總計(jì)屬于不屬于男生

女生

總計(jì)

123456P(K2≥k0)0.10.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828123456由題意及頻率分布直方圖可得，性別是否屬于“高消費(fèi)群”總計(jì)屬于不屬于男生154560女生202040總計(jì)3565100123456所以有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與性別有關(guān).(2)以樣本估計(jì)總體，將調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該學(xué)校中每次隨機(jī)抽取1名學(xué)生，共抽取4次，且每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，記被抽取的4名學(xué)生中屬于“高消費(fèi)群”的人數(shù)為X，求X的均值E(X)和方差D(X).1234561234561234566.(2023·成都