------------南京航空航天大學(xué)２012級碩士研究生共６頁第１頁20１２~201３學(xué)年第１學(xué)期《矩陣論》課程考試A卷考試日期:2013年１月15日課程編號:Ａ08學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名成績一、(20分)設(shè)是的一個(gè)線性子空間,對任意，定義：,其中.(1)求的一組基和維數(shù)；（2)對任意，定義：，證明是的一個(gè)內(nèi)積;(3)求在題(2)所定義的內(nèi)積下的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；(4)證明是的線性變換，并求在題（1)所取基下的矩陣.解答：(１)的一組基為維數(shù)為3.……(5分）(2)直接驗(yàn)證內(nèi)積定義的四個(gè)條件成立.……………(4分)(3)標(biāo)準(zhǔn)正交基.…………（５分）(4）由于，所以是的一個(gè)變換.又直接驗(yàn)證,知,因此是的一個(gè)線性變換.………………（3分)線性變換在基下的矩陣為.……………(3分)二、(2０分）設(shè)三階矩陣，，.(１)求的行列式因子、不變因子、初等因子及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;(2)利用矩陣的知識，判斷矩陣和是否相似，并說明理由.解答:(1)的行列式因子為;…(3分)不變因子為；…（3分）初等因子為;……(２分)Jｏrｄａn標(biāo)準(zhǔn)形為．……(2分)(２)不相似,理由是２階行列式因子不同；…(5分）相似，理由是各階行列式因子相同.…(5分)共６頁第４頁三、（20分）已知線性方程組不相容.（1)求系數(shù)矩陣的滿秩分解;(2)求廣義逆矩陣;(3）求該線性方程組的極小最小二乘解.解答：(1)矩陣，的滿秩分解為．…(5分)(2).……（10分)(３）方程組的極小最小二乘解為．…………(5分)共６頁第5頁四、(２0分)已知冪級數(shù)的收斂半徑為3,矩陣.(1)求;(2)證明矩陣冪級數(shù)收斂;(3)求矩陣冪級數(shù)的和．解答:(1).………(10分)(２)因?yàn)槭窍嗳莘稊?shù)，且，則在收斂半徑內(nèi),因此級數(shù)收斂.……………(5分）(3).……………(５分）共６頁第6頁五、（20分)設(shè)是兩個(gè)階矩陣,其中,證明:（１）若對任意,有則可逆;(2）若都是Herｍite正定矩陣,則的特征值均為正數(shù);(3）若都是Hermｉｔe半正定矩陣,則,并且當(dāng)?shù)忍柍闪r(shí),必有.解答：（1）由可得,,由于是相容范數(shù)，則,的特征值都不為零，因此可逆.………(6分）(2),這里是可逆的Ｈermitｅ矩陣,從而.由于與有相同的特征值，且,所以的特征值均為正數(shù).………………(8分)（３），這里是Heｒmitｅ矩陣.由于與有相同的特征值,且,所以的特征值均為非負(fù)數(shù),從而．