專題15帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動模型目錄TOC\o"1-3"\h\u一.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動模型解法綜述 1二．帶電粒子在直線邊界磁場中的運(yùn)動模型 2三．平行邊界磁場模型 5四．圓形邊界磁場模型 7五．環(huán)形磁約束模型 12六．三角形或四邊形邊界磁場模型 16七．?dāng)?shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用 18模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用 18模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用 21模型三“平移圓”模型的應(yīng)用 24模型四“磁聚焦”模型 25一.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動模型解法綜述基本思路圖例說明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過圓心②弦的垂直平分線過圓心③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過圓心P、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識求半徑常用解三角形法：例：(左圖)R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動時(shí)間的確定利用軌跡對應(yīng)圓心角θ或軌跡長度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于所對的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ<180°時(shí)，φ＝2α；φ>180°時(shí)，φ＝360°－2α二．帶電粒子在直線邊界磁場中的運(yùn)動模型【運(yùn)動模型】直線邊界，粒子進(jìn)出磁場具有對稱性(如圖所示)圖a中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖b中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖c中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)1.如圖，在Oxy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場，速度方向與y軸正方向的夾角θ=30°。粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后垂直穿過x軸。已知OM=a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。則（）A．粒子帶正電荷B．粒子運(yùn)動的軌道半徑為aC．粒子速度的大小為D．粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間為2．如圖所示，在第一象限有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場（坐標(biāo)軸上無磁場），位于x軸上的Р點(diǎn)有一粒子發(fā)射器，沿與x軸正半軸成角方向發(fā)射不同速率的電子，已知當(dāng)速度為時(shí)，粒子恰好從О點(diǎn)沿y軸負(fù)方向離開坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（）A．如果，則粒子速度越大，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間越長B．如果，則粒子速度越大，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間越短C．如果，則粒子速度越大，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間越長D．如果，則粒子速度越大，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間越短3.如圖所示，在的區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。一束速率等于的相同帶電粒子從原點(diǎn)發(fā)射，速度方向與軸正方向的夾角等概率的分布在范圍內(nèi)。其中，沿軸正方向發(fā)射的粒子從磁場右邊界上的點(diǎn)（圖中末標(biāo)出）離開磁場，其偏向角為。不計(jì)粒子間相互作用和重力，下列說法正確的是（）

A．粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為B．帶電粒子的比荷為C．帶電粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為D．能從右邊界射出的粒子占總粒子數(shù)的4.如圖，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小可調(diào)，方向不變．一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從磁場區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場，不計(jì)重力．(1)若粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后穿過y軸正半軸離開磁場，分析說明磁場的方向，并求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bm；(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(Bm,2)，粒子將通過虛線所示邊界上的一點(diǎn)離開磁場．求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動方向與x軸正方向的夾角及該點(diǎn)到x軸的距離．4.（2024·江西·模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)xOy平面的y軸與直線之間有垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，場強(qiáng)大小為B。在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一粒子源，在坐標(biāo)平面內(nèi)沿與y軸正方向成的夾角向磁場內(nèi)射入大量質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子，這些粒子的速度滿足，已知這些粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間是最短時(shí)間的5倍，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，，。則等于（）A． B．C． D．5.如圖，一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面（xOy平面）向里，磁場右邊界與x軸垂直。一帶電粒子由O點(diǎn)沿x正向入射到磁場中，在磁場另一側(cè)的S點(diǎn)射出，粒子離開磁場后，沿直線運(yùn)動打在垂直于x軸的接收屏上的P點(diǎn)；SP=l，S與屏的距離為，與x軸的距離為a。如果保持所有條件不變，在磁場區(qū)域再加上電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場，該粒子入射后則會沿x軸到達(dá)接收屏。該粒子的比荷為（

）

A． B． C． D．6.（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，水平放置的擋板上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子垂直于指板從板上的小孔射入磁場，另一帶電粒子垂直于磁場且與擋板成角射入磁場，、初速度大小相等，兩粒子恰好都打在板上同一點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），不計(jì)重力，下列說法正確的是（）A．、的電性相反B．、在磁場中的運(yùn)動時(shí)間可能相同C．若在點(diǎn)左側(cè)，則、的比荷之比為D．若在點(diǎn)右側(cè)，則、的比荷之比為三．平行邊界磁場模型【運(yùn)動模型】平行邊界存在臨界條件，圖a中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t1＝eq\f(θm,Bq)，t2＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖b中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(θm,Bq)圖c中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖d中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)1.（2024·廣西欽州·模擬預(yù)測）如圖所示，有界勻強(qiáng)磁場的寬度為d，一帶電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電粒子以速度垂直邊界射入磁場，離開磁場時(shí)的速度偏角為，不計(jì)粒子受到的重力，下列說法正確的是（）A．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑為3dB．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的角速度為C．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的時(shí)間為D．勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2．（2024·湖北黃岡·三模）如圖所示，空間內(nèi)有一垂直于x軸的足夠大的平面M，M將的空間分成Ⅰ、Ⅱ兩區(qū)域，兩區(qū)域均存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅰ磁場沿y軸負(fù)向，區(qū)域Ⅱ磁場沿y軸正向。一帶電粒子從O點(diǎn)以大小為v的速度射入?yún)^(qū)域Ⅰ，速度方向在xOy平面內(nèi)且與x軸正向成，粒子在Ⅰ、Ⅱ兩區(qū)域內(nèi)運(yùn)動后經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)。已知，，不計(jì)帶電粒子的重力，則該粒子的比荷為（）A． B． C． D．3.（2025·浙江·模擬預(yù)測）在如圖所示的xOy平面內(nèi)，邊長為2R的正方形區(qū)域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，沿x軸放置一長為2R的探測板，與磁場下邊界的間距為R，質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子源從正方形一邊（位于y軸上）的中點(diǎn)P向垂直于磁場方向持續(xù)發(fā)射離子，發(fā)射速度方向與水平方向夾角范圍為0﹣60°并沿0﹣60°范圍均勻分布，單位時(shí)間發(fā)射N個離子，其發(fā)射離子速度大小隨發(fā)射角變化的關(guān)系為，α為發(fā)射速度方向與水平方向夾角，其中當(dāng)α＝0°的離子恰好從磁場下邊界的中點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射出。不計(jì)離子間的相互作用和離子的重力，離子打在探測板即被吸收并中和，已知R＝0.05m，B＝1T，v0＝5×105m/s，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求離子的比荷（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；(2)求單位時(shí)間內(nèi)能打在探測板上的離子數(shù)n（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）；(3)求探測板至少多長能吸收到所有離子（結(jié)果保留根式）。四．圓形邊界磁場模型【模型構(gòu)建】沿徑向射入圓形磁場的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動具有對稱性(如圖所示)粒子做圓周運(yùn)動的半徑r＝eq\f(R,tanθ)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)θ＋α＝90°1．圓形有界磁場問題（1）正對圓心射入圓形磁場區(qū)域正對圓心射出，兩圓心和出（入）射點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，有→磁偏轉(zhuǎn)半徑，根據(jù)半徑公式求解；時(shí)間。速度v越大→磁偏轉(zhuǎn)半徑r越大→圓心角α越小→時(shí)間t越短。若r=R，構(gòu)成正方形。2．圓形有界磁場問題（2）不對圓心射入圓形磁場區(qū)域兩個等腰三角形，一個共同的底邊若r=R，構(gòu)成菱形1.如圖所示，半徑為R、圓心為O的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，直徑ab水平。電子帶電荷量為、質(zhì)量為m，以速率v從a處始終沿紙面射入磁場，當(dāng)電子在a處的速度方向與aO夾角為30°、斜向下時(shí)，離開磁場時(shí)的速度方向相比進(jìn)入時(shí)的改變了60°。不計(jì)電子的重力，下列說法正確的是（）

A．圓形區(qū)域中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．改變?nèi)肷浞较?，?dāng)電子經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)，電子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為C．改變?nèi)肷浞较?，電子離開磁場時(shí)的速度方向不變D．改變?nèi)肷浞较颍娮与x開磁場時(shí)的速度方向可能改變2.（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O，筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以速度v沿半徑SO方向射入磁場中。粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過程中沒有動能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，則圓筒的半徑為（）A． B． C． D．3.（2024·山東臨沂·二模）如圖所示，半徑為R圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向外。質(zhì)量為m、電荷量為的帶電粒子由A點(diǎn)沿平行于直徑的方向射入磁場，最后經(jīng)過C點(diǎn)離開磁場。已知弧對應(yīng)的圓心角為60°，不計(jì)粒子重力。則（）A．粒子運(yùn)動速率為B．帶電粒子運(yùn)動過程中經(jīng)過圓心OC．粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為D．粒子在磁場中運(yùn)動的路程為4．（2024·廣東深圳·二模）如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于圓所在的平面。一速度為v的帶電粒子從圓周上的A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場，入射點(diǎn)A與出射點(diǎn)B間的圓弧為整個圓周的三分之一?，F(xiàn)有一群該粒子從A點(diǎn)沿該平面以任意方向射入磁場，已知粒子速率均為，忽略粒子間的相互作用，則粒子在磁場中最長運(yùn)動時(shí)間為（）A． B． C． D．5.粒子物理研究中使用的一種球狀探測裝置橫截面的簡化模型如圖所示。內(nèi)圓區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，外圓是探測器。兩個粒子先后從P點(diǎn)沿徑向射入磁場，粒子1沿直線PM通過磁場區(qū)域后打在探測器上的M點(diǎn)。粒子2經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后打在探測器上的N點(diǎn)。裝置內(nèi)部為真空狀態(tài)，忽略粒子重力及粒子間相互作用力。下列說法正確的是（）

A．粒子1可能為質(zhì)子B．粒子2可能為電子C．若增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1可能打在探測器上的Q點(diǎn)D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探測器上的Q點(diǎn)6.如圖，圓形虛線框內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，是以不同速率對準(zhǔn)圓心入射的正電子或負(fù)電子的運(yùn)動徑跡，a、b、d三個出射點(diǎn)和圓心的連線與豎直方向分別成角，下列判斷正確的是（）

A．沿徑跡運(yùn)動的粒子均為正電子B．沿徑跡運(yùn)動的粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最短C．沿徑跡運(yùn)動的粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間之比為2∶1D．沿徑跡運(yùn)動的粒子動能之比為3∶17.如圖所示，紙面內(nèi)有一圓心為O，半徑為R的圓形磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里。由距離O點(diǎn)處的P點(diǎn)沿著與連線成的方向發(fā)射速率大小不等的電子。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子的重力且不考慮電子間的相互作用。為使電子不離開圓形磁場區(qū)域，則電子的最大速率為（）A． B． C． D．8.如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)，ac為直徑。一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點(diǎn)以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場區(qū)域，從a點(diǎn)垂直于x軸離開磁場，不計(jì)粒子重力。下列判斷不正確的是（）

A．該粒子的速度為B．該粒子從b點(diǎn)運(yùn)動到a點(diǎn)的時(shí)間為C．以從b點(diǎn)沿各個方向垂直進(jìn)入磁場的該種粒子從邊界出射的最遠(yuǎn)點(diǎn)恰為a點(diǎn)D．以從b點(diǎn)沿各個方向垂直進(jìn)入磁場的該種粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間是9.（2024·四川眉山·模擬預(yù)測）如圖所示，為某速度選擇器的主要工作區(qū)域，圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），O點(diǎn)為磁場的圓心，水平虛線為圓的一條直徑。S點(diǎn)有一粒子發(fā)射源能在紙面內(nèi)沿SO向外發(fā)射一系列比荷均為k的正粒子，M、N為水平虛線下方半圓的三等分點(diǎn)，P為水平虛線下方半圓的一個四等分點(diǎn)。粒子發(fā)射速率為v0時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間為t0并從M點(diǎn)離開磁場，粒子初速度范圍為[0.1v0，10v0]，可連續(xù)變化，且不同速度的粒子數(shù)量相同。下列說法正確的是（）A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．從P點(diǎn)射出的粒子的速率為C．粒子的速度越小，在磁場中運(yùn)動時(shí)間越短D．從弧SM射出的粒子數(shù)小于從弧MN射出的五．環(huán)形磁約束模型【模型構(gòu)建】臨界圓臨界半徑勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：1.（2024·遼寧·三模）地磁場能抵御宇宙射線的侵入，赤道剖面外地磁場可簡化為包圍地球且厚度為地球半徑的的勻強(qiáng)磁場，方向垂直該剖面，圖中給出的速度在圖示平面內(nèi)，從O點(diǎn)沿平行于垂直地面兩個不同方向入射的a、b、c三種比荷相同的帶電粒子（不計(jì)重力）在地磁場中的三條運(yùn)動軌跡，其中，a、c粒子入射速度大小分別為va、vc，方向與地面平行，b粒子入射速度方向與地面垂直，且它們都恰不能到達(dá)地面。則下列相關(guān)說法中正確的是（）A．三個粒子在磁場中圓周運(yùn)動的周期B．a(chǎn)粒子帶負(fù)電，b、c粒子帶正電C．D．2.如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(nèi)（含邊界）有垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q（）的粒子由大圓上的A點(diǎn)以速率v沿大圓切線方向進(jìn)入磁場，粒子僅在磁場中運(yùn)動，不計(jì)粒子的重力，則粒子運(yùn)動速率v可能為（）A． B． C． D．3.（2024·山東日照·模擬預(yù)測）據(jù)報(bào)道，我國空間站安裝了現(xiàn)代最先進(jìn)的霍爾推進(jìn)器用以空間站的軌道維持。如圖乙，在很窄的圓環(huán)空間內(nèi)有沿半徑向外的磁場1，其磁感強(qiáng)度大小可近似認(rèn)為處處相等；垂直圓環(huán)平面同時(shí)加有勻強(qiáng)磁場2和勻強(qiáng)電場（圖中沒畫出），磁場1與磁場2的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，已知電子電量為e，質(zhì)量為m，若電子恰好可以在圓環(huán)內(nèi)沿順時(shí)針方向做半徑為R、速率為v的勻速圓周運(yùn)動。則以下說法錯誤的是（）A．電場方向垂直環(huán)平面向外 B．電子運(yùn)動周期為C．垂直環(huán)平面的磁感強(qiáng)度大小為 D．電場強(qiáng)度大小為4.2023年1月7日，中科院聚變大科學(xué)團(tuán)隊(duì)利用有“人造太陽”之稱的全超導(dǎo)托卡馬克大科學(xué)裝置（EAST），發(fā)現(xiàn)并證明了一種新的高能量約束模式，對國際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆和未來聚變堆運(yùn)行具有重要意義。其基本原理是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動，使之束縛在某個區(qū)域內(nèi)。如圖所示，環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為，外半徑為，被束縛的帶電粒子的比荷為k，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個方向的速度，速度大小為v。中空區(qū)域中的帶電粒子都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在半徑為的區(qū)域內(nèi)，則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是（）A． B．C． D．5.（2024·貴州遵義·三模）如圖所示，空間存在垂直紙面向外的環(huán)形勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場內(nèi)外邊界為兩個同心圓，半徑分別為R、3R?，F(xiàn)有質(zhì)量為m電荷量為q的粒子，沿半徑方向垂直于磁場進(jìn)入環(huán)形區(qū)域，粒子恰好不能進(jìn)入小圓區(qū)域，不計(jì)重力。則粒子在磁場中運(yùn)動的（

）A．軌道半徑為1.5R B．軌道半徑為3RC．運(yùn)動時(shí)間為 D．運(yùn)動時(shí)間為6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）宇宙射線中含有大量的質(zhì)子，為防止質(zhì)子對宇航員的危害，某科研團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了如圖甲所示的防護(hù)裝置，圖乙為其截面圖。半徑為R的圓柱形區(qū)域是宇航員的防護(hù)區(qū)，在半徑分別為R和2R的同心圓柱之間加有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場。已知質(zhì)子沿各個方向運(yùn)動的速率均為電荷量為e，質(zhì)量為m。不計(jì)質(zhì)子間相互作用。若垂直磁場入射的所有質(zhì)子都無法進(jìn)入防護(hù)區(qū)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小至少為（）A． B． C． D．7．（2024·山東聊城·二模）2023年4月，我國有“人造太陽”之稱的托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的世界紀(jì)錄。其中磁約束的簡化原理如圖：在半徑為和的真空同軸圓柱面之間，加有與軸線平行的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，。假設(shè)氘核沿內(nèi)環(huán)切線向左進(jìn)入磁場，氚核沿內(nèi)環(huán)切線向右進(jìn)入磁場，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計(jì)重力及二者之間的相互作用，則和的速度之比為（）A．2∶1 B．3∶2 C．2∶3 D．1∶28．（2024·貴州貴陽·一模）一磁約束裝置的簡化示意圖如圖所示。在內(nèi)、外半徑分別為R、R的環(huán)狀區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從P點(diǎn)沿圓的半徑方向射入磁場后恰好不會穿出磁場的外邊界，且被約束在大圓以內(nèi)的區(qū)域內(nèi)做周期性運(yùn)動，不計(jì)粒子重力。則該粒子的運(yùn)動周期為（）A． B．C． D．六．三角形或四邊形邊界磁場模型1．（2025·江西南昌·一模）如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向外，。一質(zhì)子以的速度沿平行于ab的方向從O點(diǎn)射入三角形區(qū)域，經(jīng)時(shí)間t從ON的中點(diǎn)M離開磁場，若一粒子以的速度從O點(diǎn)沿相同的方向射入，則粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為（

）A． B．t C． D．2t2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖所示，射線AB、AC為一足夠大的勻強(qiáng)磁場區(qū)域的邊界，內(nèi)部磁場方向垂直紙面向里。兩個質(zhì)量相同且?guī)М惙N電荷的粒子a、b以相同的速度先后從AB邊上的D點(diǎn)垂直AB邊射入磁場，兩粒子運(yùn)動的軌跡均與AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子間的相互作用力，，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)粒子帶負(fù)電B．a(chǎn)、b兩粒子運(yùn)動軌跡半徑之比為3：1C．a(chǎn)、b兩粒子所帶的電荷量之比為1：4D．b粒子在磁場中的軌跡直徑等于兩切點(diǎn)的距離3.（2024·廣東·二模）如圖所示，斜邊長度為L的等腰直角三角形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場（三角形邊界上也存在磁場）。一電荷量為q，質(zhì)量為m的帶正電的粒子（不計(jì)重力）從斜邊上的P點(diǎn)進(jìn)入磁場，速度方向與間的夾角，且。經(jīng)過一段時(shí)間，粒子從上的D點(diǎn)（未畫出）離開磁場，則下列說法正確的是（）A．磁場方向垂直于紙面向里B．粒子的最大速度為C．D點(diǎn)到P點(diǎn)的最大距離為D．粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為4.如圖，一個邊長為l的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為的粒子以某一速度從M點(diǎn)垂直于磁場射入，粒子恰好從的中點(diǎn)射出磁場。已知粒子射入磁場時(shí)的速度方向與的夾角為，不計(jì)粒子重力，粒子射入磁場的速度大小為（）

A． B． C． D．七．?dāng)?shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用適用條件速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法1.(多選)如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向垂直飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，下列判斷正確的是()A．電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長，其軌跡線越長B．電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長，其軌跡線所對應(yīng)的圓心角越大C．在磁場中運(yùn)動時(shí)間相同的電子，其軌跡線不一定重合D．電子的速率不同，它們在磁場中運(yùn)動時(shí)間一定不相同2.(多選)（2024·寧夏銀川·三模）如圖所示，邊長為L的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略），所有質(zhì)子均能通過D點(diǎn)，已知質(zhì)子的比荷，則質(zhì)子的速度可能為（）A． B． C． D．3.(多選)如圖所示，在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)（不含邊界）有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點(diǎn)在紙面內(nèi)沿與ON成角的方向射入磁場。粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是（

）

A．粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為B．若粒子恰好從圓弧邊界離開磁場，則粒子的速度大小為C．若粒子恰好從O點(diǎn)正上方的P點(diǎn)離開磁場，則粒子的速度大小為D．選擇合適的速度，粒子可能從M點(diǎn)離開磁場4.(多選)（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）如圖所示，矩形邊界內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里，邊足夠長，邊長為L?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電量為q的不同速率的帶正電粒子，從的中點(diǎn)E射入磁場且速度方向與成角，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，下列說法正確的是（）A．粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為B．從邊射出粒子的最小速度為C．從邊射出粒子的最小速度為D．邊上有粒子射出的區(qū)域長度為5.(多選)（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖所示，在豎直面內(nèi)有一半徑為R的能吸收帶電粒子的半圓形裝置，在裝置外有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊界ab為過圓心O的一水平直線。一群質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以不同的速率從A點(diǎn)豎直向上進(jìn)入磁場，AO的長度為，粒子重力和粒子間的相互作用不計(jì)，，下列說法正確的是（）A．能夠被裝置吸收的粒子的最大速度為B．能夠被裝置吸收的粒子的最小速度為C．能夠被裝置吸收的粒子中，運(yùn)動時(shí)間最短的粒子速度大小為D．能夠被裝置吸收的粒子中，運(yùn)動時(shí)間最短的粒子運(yùn)動時(shí)間為模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動半徑為R＝eq\f(mv0,qB)。如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法1.如圖所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中有一固定豎直擋板，擋板足夠長，P處有一粒子源，PO連線垂直擋板，P到O的距離為L。粒子源能垂直磁場沿紙面向各個方向發(fā)射速度大小均為v的帶正電粒子。粒子質(zhì)量均為m，電荷量均為q，到達(dá)擋板的粒子都被吸收，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。（1）若有粒子能到達(dá)擋板，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B應(yīng)滿足的條件；（2）若粒子到達(dá)擋板上側(cè)最遠(yuǎn)處為M點(diǎn)，下側(cè)最遠(yuǎn)處為N點(diǎn)，且，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。

2.(多選)（2024·河北邯鄲·三模）如圖所示，在x軸上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場。x軸上放置一無限長擋板，擋板上M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，坐標(biāo)為的P點(diǎn)存在一粒子源，可以在平面內(nèi)向各個方向均勻發(fā)射速率為v，比荷為的正電粒子，不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用，下列說法正確的是（）A．帶電粒子在磁場中順時(shí)針運(yùn)動B．若，則打在擋板上的粒子數(shù)占總數(shù)的C．若，則擋板上有粒子打到的線段長度為D．若，將擋板撤去，則MN之間各處均有粒子通過3.(多選)如圖所示，S為一離子源，為足夠長的熒光屏，S到的距離為，左側(cè)區(qū)域有足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。某時(shí)刻離子源S一次性沿平行紙面各個方向均勻地噴發(fā)大量的質(zhì)量為m、電荷量為q、速率為的正離子（此后不再噴發(fā)），不計(jì)離子重力，不考慮離子之間的相互作用力。則（）

A．打中熒光屏的最短時(shí)間為 B．打中熒光屏的最長時(shí)間為C．打中熒光屏的寬度為 D．打到熒光屏的離子數(shù)與發(fā)射的離子數(shù)比值為4.(多選)（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖所示，圓心為O，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。M為磁場邊界上一點(diǎn)，有無數(shù)個帶電量為q（q>0），質(zhì)量為m的相同粒子（不計(jì)重力及粒子間相互作用）在紙面內(nèi)向各個方向以相同的速率通過M點(diǎn)進(jìn)入磁場，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子運(yùn)動時(shí)間為，N為磁場邊界上的另一個點(diǎn)，。下列說法正確的是（）A．粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速率為B．從N點(diǎn)離開磁場的粒子運(yùn)動時(shí)間為C．若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到，會有粒子沿ON方向從N點(diǎn)射出磁場D．若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小減小為0.5B，劣弧MN的每一點(diǎn)都會有粒子射出5．(多選)（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖所示，長ab=18cm、寬bc=16cm的矩形區(qū)域中分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（含邊界），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1T，在矩形的中心О點(diǎn)有一正電荷粒子源，可在紙面內(nèi)沿各個方向發(fā)射比荷k=2×108C/kg的粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力。下列說法中正確的是（）A．粒子在磁場中做完整圓周運(yùn)動的最大速度為1.0×107m/sB．粒子分別從b點(diǎn)、c點(diǎn)射出的最小速度之比為8︰9C．若粒子的速度為1.6×107m/s，其在磁場中運(yùn)動的最短時(shí)間為D．若粒子的速度為1.6×107m/s，其在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為6.（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形ABCD區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，AD邊長為L，AB邊長為。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正粒子從A點(diǎn)沿紙面以與AD成30°角的方向射入磁場，粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡恰好與CD相切，不計(jì)粒子所受的重力。(1)求粒子射入磁場時(shí)的速度大?。?2)求粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t；(3)若僅減小粒子射入磁場時(shí)的速度大小，求粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間。模型三“平移圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法1.如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，∠B＝eq\f(π,6)?，F(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v(未知)的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t，而運(yùn)動時(shí)間最長的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為eq\f(4,3)t(不計(jì)粒子重力)。則下列說法正確的是()A．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期為4tB．該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(πm,2qt)C．粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為eq\f(2,5)dD．粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為eq\f(\r(3)πd,7t)2.如圖所示，邊長為L的正方形有界勻強(qiáng)磁場ABCD，帶電粒子從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場，恰好從C點(diǎn)飛出磁場；若帶電粒子以相同的速度從AD的中點(diǎn)P垂直AD射入磁場，從DC邊的M點(diǎn)飛出磁場(M點(diǎn)未畫出)。設(shè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)所用的時(shí)間為t1，由P點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)所用時(shí)間為t2(帶電粒子重力不計(jì))，則t1∶t2為()A．2∶1B．2∶3C．3∶2D．eq\r(3)∶eq\r(2)3.（2024·江西·一模）如圖所示，在和之間有大量相同帶電粒子以同一速度沿水平方向射入以為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場半徑為R，該圓形磁場方向垂直紙面向外，與圓心在同一水平直線上，和間距離為，已知所有粒子均從點(diǎn)正下方的點(diǎn)射出圓形磁場區(qū)域，立即進(jìn)入下方垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，并都能打到水平擋板的下表面，擋板的左側(cè)緊貼點(diǎn)，已知下方磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度是上方磁場的兩倍，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。則擋板下表面有粒子打到的區(qū)域長度為（）A． B． C． D．4.（2024·安徽淮北·二模）在電子技術(shù)中，科研人員經(jīng)常通過在適當(dāng)?shù)膮^(qū)域施加磁場控制帶電粒子的運(yùn)動。如圖所示，正方形邊長為，一束相同的正離子以相同的速度垂直邊射入，如果在的某區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為、方向垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，最終所有離子均從點(diǎn)射出，則（

）A．磁場方向垂直紙面向里 B