2024-2025學(xué)年山東省德州市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線，，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．直線與以點為圓心的圓相交于兩點，且，則圓的方程為（

）A． B．C． D．3．與橢圓有相同焦點，且長軸長為的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．4．下列說法中，正確的是（）A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知O為空間中任意一點，A，B，C，P四點共面，且A，B，C，P中任意三點不共線，若，則D．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為30°，則直線l與平面所成的角為30°5．已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（）A． B． C． D．6．記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）A．240 B．225 C．120 D．307．已知拋物線，直線l過拋物線的焦點且與拋物線交于A，B兩點，若弦的長為8，則直線l的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或8．空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.已知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，則直線l與平面所成角的大小為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是等差數(shù)列的前n項和，，且，則（）A．公差 B．C． D．當(dāng)時，最大10．雙曲線：的焦點為，，過的直線與雙曲線的左支相交于兩點，過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，則（

）A．B．C．平行四邊形各邊所在直線斜率均不為D．11．如圖，在正方體中，P為棱的中點，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則動點的軌跡是一條線段C．存在點，使得平面D．若直線與平面所成角的正切值為2，那么點的軌跡是以為圓心，半棱長為半徑的圓弧三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項和滿足，則.13．在平行六面體中，，，，點在上，且，用表示，則.14．已知橢圓，且，直線與橢圓相交于兩點.若點是線段的中點，則橢圓的半焦距.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線過點為坐標(biāo)原點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若點到直線的距離為3，求直線的方程．16．如圖，在四棱柱中，四邊形是正方形，，點為的中點．(1)用向量表示；(2)求線段的長及直線與所成角的余弦值．17．?dāng)?shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列并求其通項公式．(2)數(shù)列的前n項和為，問是否存在最小值？若存在，求的最小值及取得最小值時n的值；若不存在，請說明理由．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，M為棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，①求二面角的余弦值；②在棱上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．19．設(shè)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點，是橢圓的短軸的一個端點，(1)求橢圓的方程.(2)如圖，是橢圓上不重合的三點，原點是的重心.（i）當(dāng)直線垂直于軸時，求點到直線的距離；（ii）求點到直線的距離的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，得，化簡得，解得或．當(dāng)時，直線，直線；當(dāng)時，直線，直線．綜上所述：等價于或．故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分條件．故選：B．2．【正確答案】A【詳解】因為圓心到直線的距離，所以圓的半徑，所以圓的方程為．故選：A．3．【正確答案】C【詳解】因為橢圓的焦點坐標(biāo)為，所以所求橢圓的焦點在軸上，設(shè)其方程為，則．因為所求橢圓的長軸長為，即，所以，所以，所以所求橢圓的方程是．故選：C．4．【正確答案】B【分析】根據(jù)對稱規(guī)則可判斷A錯誤，利用向量共線的條件可得，可得B正確，由共面定理可知C錯誤，再由線面角定義可得D錯誤.【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，故A錯誤；對于B，直線l的方向向量為，平面的法向量為，因為，所以，則，故B正確；對于C.已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且A，B，C，P中任意三點不共線，若，則，解得，故C錯誤；對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為30°，則直線l與平面所成的角為，故D錯誤.故選：B.5．【正確答案】C【分析】直接由兩平面夾角的向量公式計算可求.【詳解】由向量與，得，又，則，所以平面，的夾角的大小為.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，又因為，可得，則等差數(shù)列公差，可得，所以.故選：A.7．【正確答案】B【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義求解即得.【詳解】拋物線的焦點，依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，，，由消去y，整理得，，于是，解得，，所以直線l的方程為或.故選：B8．【正確答案】B【分析】根據(jù)平面方程對應(yīng)的法向量，由三個平面方程得出法向量，由線面角的向量求法計算可得結(jié)果.【詳解】依題意，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.設(shè)直線l的方向向量為，，，，即令，則.設(shè)直線l與平面所成的角為，則，.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，則，則，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；由于，，則時，；時，，所以當(dāng)時，最大，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判定A，由平行四邊形與雙曲線的對稱性及雙曲線定義可判定B，利用雙曲線的性質(zhì)可判定C，設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線利用韋達(dá)定理及弦長公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判定D.【詳解】由題意可得，，則，故A錯誤．由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，則，B正確．設(shè)任一邊所在直線為（斜率存在時），聯(lián)立雙曲線，聯(lián)立得，則，即，C正確．由，設(shè)：；，，，聯(lián)立得，∴，，則，設(shè)，則，∴，又單調(diào)遞減，則，∴，故，D錯誤．故選：BC11．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)正方體的棱長為．對選項A，三棱錐的體積即三棱錐的體積，因為的面積為定值，點到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值．故A正確；對選項B，如圖，分別取的中點，連接．由且，知四邊形是平行四邊形，所以．因為平面平面，所以平面．同理可得平面，因為平面，所以平面平面，則點的軌跡為線段，故B正確；對選項C，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則．設(shè)為平面的一個法向量，則即，得取，則．若平面，則，即存在，使得，則，解得，與矛盾，故不存在點使得平面，故C錯誤；對于選項D，因為平面，所以即為直線與平面所成的角．因為直線與平面所成角的正切值為2，所以．因為點為正方形內(nèi)一動點（含邊界），所以點的軌跡是以為圓心，半棱長為半徑的圓?。ㄕ叫蝺?nèi)），且其圓心角為，故D正確．故選：ABD．12．【正確答案】10【分析】由公式，將代入即可得結(jié)果.【詳解】由題得.故10.13．【正確答案】【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】如下圖所示：

由題意可知，，可得，所以，，故答案為.14．【正確答案】【分析】利用點差法來求解橢圓方程中的值，然后根據(jù)橢圓中a,b,c的關(guān)系求出半焦距.【詳解】設(shè)，，因為在橢圓上，所以.兩式相減得，即.因為點是線段的中點，所以，.斜率，得，即,解得.當(dāng)時，橢圓方程為，可得，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為點，所以直線的斜率為．因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為．又直線過點，則直線的點斜式方程為，整理得．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時原點到直線的距離為，滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即．根據(jù)題意及點到直線的距離公式，得，所以．兩邊平方，化簡得，解得．此時直線的方程為，整理得．綜上，直線的方程為或．16．【正確答案】(1)(2)；【詳解】（1）方法一：由題意知方法二：因為為的中點，所以．故.（2）因為四邊形是正方形，，所以，所以，即線段的長為．因為，所以．又，所以，即直線與所成角的余弦值為．故線段的長為，直線與所成角的余弦值為.17．【正確答案】(1)證明見解析，；(2)存在，，.【詳解】（1）由，得，又，則，即，整理得，由，得，所以是以首項，公差的等差數(shù)列，.（2）由（1）知，數(shù)列是遞增等差數(shù)列，由，得，因此前3項均為負(fù)數(shù)，從第4項起為正數(shù)，所以數(shù)列的前n項和存在最小值，此時，.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)①；②存在；【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接．為棱的中點，．，四邊形是平行四邊形，．又平面平面平面．（2）解：．平面平面，平面平面平面，平面．又平面．又兩兩垂直．以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則．為棱的中點，．①，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以為平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以為平面平面的一個法向量，所以，根據(jù)圖形得二面角為銳角，則二面角的余弦值為．②假設(shè)在棱上存在點，使得點到平面的距離是．設(shè)，則．由①知平面的一個法向量為，，點到平面的距離是，解得．在中，．19．【正確答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)已知可得，，再結(jié)合求出橢圓方程.（2）（i）設(shè)出三點坐標(biāo)根據(jù)重心坐標(biāo)公式和已知條件列出方程得到的縱坐標(biāo)為，從而解出橫坐標(biāo)，進(jìn)而解出結(jié)果.（ii）討論直線有無斜率兩種情況，有斜率時設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，重心坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，代入橢圓得到一個關(guān)系式，利用點到直線距離公式表示點到直線的距離并化簡，結(jié)合式子結(jié)構(gòu)，綜合兩種情況解出結(jié)果.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，，由的面積為，得，因此，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，